1、三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设 AB、BC 的中垂线交于点 O，则有OA=OB=OC，故 O 也在 A 的中垂线上，因为 O 到三顶点的距离相等，故点 O 是 ABC 外接圆的圆心因而称为外心设 ABC 的 外 接 圆 为 G(R)， 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为a、 b、 c， p=(a+b+c)/2 1： （ 1） 锐 角 三 角 形 的 外 心 在 三 角 形 内 ； （ 2） 直 角 三 角 形 的 外 心 在 斜 边 上 ， 与 斜 边 中 点
2、重 合 ； （ 3） 钝 角 三 角 形 的 外 心 在 三 角 形 外 . 2： BGC=2 A， （ 或 BGC=2(180- A). 3： 点 G 是 平 面 ABC 上 一 点 ， 那 么 点 G 是 ABC 外 心 的 充要条件是 ： 点 是 的外心 (或 2= 2= 2)(点 到三顶点距离相等)G( + ) =( + ) =( + ) =0( 为三边垂直平分线的交点)4： 点 G 是 平 面 ABC 上 一 点 ， 点 P 是 平 面 ABC 上 任 意 一 点 ， 那 么 点 G 是 ABC 外心 的 充 要 条 件 是 ： =(tanB+tanC) +(tanC+tanA) +
3、(tanA+tanB) )/2(tanA+tanB+tanC). PPP或 =(cosA/2sinBsinC) +(cosB/2sinCsinA) +(cosC/2sinAsinB) . P5： R=abc/4S ABC. 正 弦 定 理 ： 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。6.外心坐标：给定 求外接圆心坐标 O（x，y）123(,)(,)(,)xyxy. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：222211()()()()xyxy3322.化简得到：2221211()()xyxy3323令 ； ;121()Ax1()
4、By221Cxy； ;2323223AB CO即;11AxByC;22.最后根据克拉默法则：121121,AxyABB因此，x，y 为最终结果；7.若 O 是ABC 的外心，则 SBOC ：S AOC ：S AOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C 故sin 2A +sin 2B +sin 2C =O0证明：设 点在 内部，由向量基本定理，有，则 设：RrnmCrnOm,0 rnmSSAOBCBO:，则点 为DEF 的重心， 又FEBDA,， ， ，OFBCSnr1DOACr1DOEABn1nBA:若 O 是 ABC 的外心，则 S BOC： S A
5、OC： SAOB=sinBOC ： sinAOC ： sinAOB =sin 2A： sin 2B： sin 2C故 sin 2A +sin 2B +sin 2C =O0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设A、C 的平分线相交于 I、过 I 作IDBC ， IEAC，IFAB 则有 IE=IF=ID因此 I 也在C 的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成设ABC 的内切圆为O( 半径 r)，角 A、B 、C 的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心到三边的距离
6、相等，都等于内切圆半径 r。3、r=S/p。证明：S ABC=SOAB+SOAC+SOBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得 结论。4、ABC 中，C=90，r=(a+b-c)/2。I KHEFDAB CM5、BOC =90+A/2 。6、点 O 是平面 ABC 上任意一点，点 O 是 ABC 内心的充要条件是：。0aAbBcC7、点 O 是平面 ABC 上任意一点，点 L 是ABC 内心的充要条件是：/(a+b+c)。()L8、ABC 中， ，那么ABC 内心 L 的坐标是：123(,(,(,)xyxy。123,axbcabc 9、(欧拉 定理)ABC 中，R 和 r 分别为外接圆为和
7、内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则 OL2=R2-2Rr。10、内角平分线分三边长度关系：如图： ABC 中，AD 是A 的角平分线，D 在BC 上， a、b、c 分别是A、B、C 的对边，d=AD。设 R1 是 ABD 的外接圆半径，R2 是ACD 的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，R1/R2=sinC/sinB=c/b.又 BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，CAD= BAD，BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、内切圆半径 r= 三、三角形的重心1.重心到顶
8、点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1 。2.重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。3.重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 。123123,xy5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。6.(莱布尼兹公式)三角形 ABC 的重心为 G，点 P 为其内部任意一点，则22239APBCABCG7.在三角形 ABC 中，过重心 G 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q ，则 AB/AP+AC/AQ=3AB CDEFG8.从三角形 ABC 的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的 6 个
9、切点为 ，则 均在以重心 G 为圆心， 为半径的圆周上iPi 2218ABCr四、三角形的垂心证明垂心定理分析 我们可以利用构造外心来进行证明。证明 如图，AD 、BE、CF 为 ABC 三条高，过点 A、B、C 分别作对边的平行线相交成ABC，显然 AD 为 BC的中垂线；同理BE、 CF 也分别为 AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证设ABC 的三条高为 AD、BE、CF，其中D、E 、 F 为垂足，垂心为 H，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/2 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三
10、角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心 H 关于三边的对称点，均在ABC的外接圆上。4、 ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个 )相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。5、 H、A、 B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心( 并称这样的四点为一垂心组)。6、 ABC，ABH，BCH， ACH 的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q，则 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、 设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则BAO=HA
11、C，ABH=OBC，BCO=HCA。9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形( 顶点在原三角形的边上) 中，以垂足三角形的周长最短（ 施瓦尔兹三角形 ，最早在古希腊时期由海伦发现） 。11、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。12、 设锐角 ABC 内有一点 P，那么 P 是垂心的充分必要条件是F EBACD CBAPB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。13、设 H 为非直角三角形的垂心，且
12、D、E、F 分别为 H 在 BC，CA，AB 上的射影，H1， H2，H3 分别为AEF ， BDF，CDE 的垂心，则 DEFH1H2H3 。14、三角形垂心 H 的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。15、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍。 （垂心伴随外接圆，必有平行四边形）推论（垂心余弦定理）：锐角三角形 ABC 的垂心为 H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距，推广到任意三角形）16、等边三角形的垂心把三角形的高分成 2:1 两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。17、垂心的重心坐标反而比外心简单一点。
13、先计算下列临时变量（与外心一样）：d1,d2,d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c 2=d1d3，c 3=d1d2；c=c 1+c2+c3。垂心坐标：( c1/c，c 2/c，c 3/c )ABC 中， ，垂心 H(m,n); 3,)(,(,AxyBCxy分别做高线: AHBC;BHAC; 且2311ynxm132nxmA解得: 22221321313123131132yyxyyyyxx22212313213131132xx xxnyxyy五、三角形的旁心1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2：旁心到三角形三边
14、的距离相等。3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。KI1I3EI2D NF IMACB5: 的内心为 ，而 边外的旁心分别为 ；ABCI,BCA123,I分别是三条内角平分线， 交三角形外接圆于 ， 交外接圆于 ，,DEFIMK交 于 ，显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直，并且有2IN、 ；(1)2,ABCI、 ；D、 ； ；(3)1MI23KIBKC、 ； ；42ABCANA、 ；(5)、 ；（称为对称比定理） 61ID、 ， （俗称“鸡爪”定理） (7)MBC6: 12()()()22ASabcrcarcb
15、r7：旁心与内心的关系 如图， 为ABC 的内心， 是ABC 的三个旁心。注意： 的I,ABCI ,ABCII中点 D、E 、F 都在 ABC 外接圆上。这一点对内心来确定旁心的位置大有作用。 又由内心张角公式得： ， 1()2I又因为 、C、 、B 四点共圆，故 AI 1()2AI同理， ;1()2C这便是旁心张角公式 CI8：旁心于半周长(p)形影不离 如图： 是ABC 的旁心，作 垂直于AIAIEAB 于 E， 垂直于 AC 于 F。 易得：BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC,故 AE=AF=p 9：旁心与三角形三个顶点构成三
16、组三点共线 如图： 分别是ABC 的三个旁心，由于,ABCI是对顶角的平分线亦为反向延长线，故 三点,BCI ,BCIA共线。特别性质：1.三角形所在平面内一点的向量与面积关系结论： 设 点在 内部，若 ，则OABCRrnmOCrBnAm,0rnmSSABCOB:证明： 已知 点在 内部，且 rr,设： ，则点 为DEF 的重心，OFCrEnD,又 ， ， ，OFBCSr1DASm1DOEABSmn1 rBAO:说明: 此结论说明当点 在 内部时，点 把 所分成的三个小三角形的面C积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例：设点
17、在 ABC内部，且 40OAB，则 AB的面积与OBC的面积之比是：第 8 条性质A2：1 B3：1 C4 ：3 D3：2分析：由上述结论易得： ，所以1:AOBOCSS，故选 D:46:OBCAS当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设 点在 内部，且角 所对应的边分别为ACBA, cba,结论1：若 为 重心，则 OBC0O分析：重心在三角形的内部，且重心把 的面积三等分.结论2 ： 为 内心，则AcBbAa分析：内心在三角形的内部，且易证 SBOC ：S COA ：S AOB = cba:结论3： 为 的外心，则 OBC02sins
18、i2sinOCO分析： 易证 SBOC ：S COA ：S AOB =sin2A：sin2B：sin2C.由结论3及结论： 为 的外心， 为 的垂心，则AHAB可得结论4。AH结论4：若 为 垂心，则BC2sini2sinC2sini2sin0i H即 0cossicosicossi HCBAHBACBA证明：对任意 有 ，其中 为外心， 为垂心，OC ，OHH则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数 ，使得zyx,， 0CzByAx即 ，由结论3得：0CyxB2sinsi2sinOO所以有： ，CyxzAsiCBAzyAx2sini2siniii22BCtAsBCO所以可得： H
19、ACB2sini2sinHBC2sinsi0i2snA化简后可得：0cossincosincosi BABAHB应用举例：例1 ： 已知 为 的内心，且 ，则角 的余弦值为 。OC0432OC分析：由结论2可得 ，所以由余弦定理可得：:cba 87432916cosA例2 ：已知 的三边长为 ，设 的外心为 ，若AB2,6,1ABABO， CtsO求实数 的值。,分析： ，整理后即得： .OCBtAsOCstBtOA1由结论3可得： ，又易得Ast2in1i，6153i,452in,8152sinCBA. 3,7ts点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组：解方程组可得结果。 例3
20、 ： 设 是 的垂心，当 时， ，求实数HABC6,5BCAnmAH的值 .nm分析： 由结论4可得： .0cossincosincossi H而 ，整理后得：CB1HCABA由 ，可得 ，BCnAmH01HCnBmHA . 而 ，cos1 2573625s解得 ， .327,1432点评：此题的通用解法应该是仿例2的点评，构造与基底相关的方程组。通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生能力的要求。所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极大地提高学生的数学素质及思维能力。
21、特别性质：2.三角形四心与面积关系设 O 是 ABC内任一点，以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。并设 AOC,B).sinr,co(),sinq,co(),0p中 显然 ,不共线，由平面向量基本定理，可设 ),Ry,(A则 )sin(rpyqsixsinyrixq0cop中OCBipOA)si(r 0OCSBASS )sin(si),(2,C,B AOCBAC 中（）若 O 是 的内心，则 cbaCO： 故 sinsisin0cbAa或 必要性得证同时还可得到以下结论（）若 O 是 BC的重心，则 ABCOACBOS31S故 0A（）若 O 是 的外心则 C2sin
22、:BiA2sinsiACsinBsiSSACB ：故 0O2in2si OFED CBA（）若 O 是 ABC(非直角三角形)的垂心，则 CtanBAtaSSOB： 故 0nttan证明： （A 11si si22BOC AA 1tancos2OB、E、O 、F 四点共圆）同理 intancoABSOBC A11ss22OCA因此只需证 cococoAA先证第一个等式 ssBBCA（E 、C、D、O 四点共圆, 为coEO,CAOE的补角；E 、O、F、 A 四点共圆, 为 的补角）所以上式成立，D,F即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。特别性质：3.三角形四心与面积关系1.欧
23、拉点：三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。2.欧拉圆：又称“九点圆” ，即 3 个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。3.欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。证明：作ABC 的外接圆，连结并延长 BO，交外接圆于点 D。连结 AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设 AM 交 OH 于点 G BD 是直径 BAD、BCD 是直角 ADAB，DCBC CHAB，AHBC DACH，DCAH 四边形 ADCH 是平行四边形 AH=DC M 是 BC 的中点，O 是 BD 的中点 OM= 1/2DC OM= 1/2AH OMAH OMG HAG AG/MG=AH/MO=2/1 G是ABC 的重心 G 与 G重合 O、G、H 三点在同一条直线上
