1、章末复习,第四章 圆与方程,学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.圆的方程 (1)圆的标准方程： . (2)圆的一般方程： . 2.点和圆的位置关系 设点P(x0，y0)及圆的方程(xa)2(yb)2r2. (1)(x0a)2(y0b)2r2点P . (2)(x0a)2(y0b)2r2点P . (3)(x0a)2(y0b)2r2点P . 3.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的
2、圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d r相离；d_r相切；d r相交.,(xa)2(yb)2r2,x2y2DxEyF0(D2E24F0),在圆外,在圆内,在圆上,4.圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则,5.求圆的方程时常用的四个几何性质,6.与圆有关的最值问题的常见类型 (1)形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题. 7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直
3、线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.,(2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 8.空间中两点的距离公式 空间中点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|_.,题型探究,类型一 求圆的方程,例1 一个圆和已知圆x2y22x0外切，并与直线l：x 0相切于M(3， )点，求该圆的方程.,解答,解 圆C与圆x2y22x0外切， 故两个圆心之间的距离等于半径的和，,设圆C的圆心坐标为(a，b)，,反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：
4、第一步：选择圆的方程的某一形式. 第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组). 第三步：解出a，b，r(或D，E，F). 第四步：代入圆的方程. 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.,跟踪训练1 (1)如图所示，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2，则圆C的标准方程为_.,解析,答案,解析 取AB的中点D，连接CD，AC，则CDAB.,解答,解 设圆的方程为(xa)2(yb)
5、2r2，,(ab)24， 又b2a， a2，b4或a2，b4， 故所求圆的方程是(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.,例2 已知点M(3，1)，直线axy40及圆C：(x1)2(y2)24. (1)求过M点的圆的切线方程；,解答,类型二 直线与圆的位置关系,解 圆心C(1，2)，半径为r2. 当直线的斜率不存在时，方程为x3. 由圆心C(1，2)到直线x3的距离为d312r知，此时直线与圆相切. 当直线的斜率存在时，设直线方程为y1k(x3)， 即kxy13k0.,故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.,(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；,解答,(3)若直线axy
6、40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为 求a的值.,解答,反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l 解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线.,跟踪训练2 已知点P(0，5)及圆C：x2y24x12y240. (1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 求l的方程；,解答,设D是线段
7、AB的中点，则CDAB，,在RtACD中，可得|CD|2. 设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.,此时直线l的方程为3x4y200. 又当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0， 所求直线l的方程为x0或3x4y200.,(2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程.,解答,解 设过点P的圆C的弦的中点为E(x，y)， 则CEPE，所以kCEkPE1，,化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.,例3 已知一个圆的圆心坐标为A(2，1)，且与圆x2y23x0相交于P1，P2两点，若点A到直线P1P2的距离为 求这个圆的方程.,解答,类型三 圆与圆的位置关系
8、,解 设圆的方程为(x2)2(y1)2r2， 即x2y24x2y5r20， 所以直线P1P2的方程为x2y5r20.,解得r26. 故所求圆的方程是(x2)2(y1)26.,反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20. (2)公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.,跟踪训练3 已知两圆(x
9、1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1，2)，则点Q的坐标为_.,解析,答案,(2，1),解析 两圆的圆心坐标分别为O1(1，1)和O2(2，2)， 由平面几何知，直线O1O2垂直平分线段PQ，,直线PQ的方程为y2x1，即yx1. 由点P(1，2)在圆(x1)2(y1)2r2上，,Q(2，1).,例4 圆x2y22ax2ay2a210与x2y22bx2by2b220的公共弦长的最大值为,解析,答案,解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(xa)2(ya)21和(xb)2(yb)22， 两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，,类型四 圆中的最值问
10、题,则当公共弦为圆(xa)2(ya)21的直径时，公共弦长最大，最大值为2.,反思与感悟 与圆有关的最值问题包括 (1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax|OP|r，dmin|OP|r|. (2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmaxmr，dmin|mr|. (3)已知点的运动轨迹是(xa)2(yb)2r2， x2y2等式子的最值，一般是运用几何法求解.,跟踪训练4 已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值为_.,解析,答案,解析 圆x2y22x
11、2y10的圆心为C(1，1)，半径为1， 由题意知，当圆心C到点P的距离最小， 即为圆心到直线的距离最小时，四边形的面积最小，,达标检测,1,2,3,4,1.以点(3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是 A.(x3)2(y4)216 B.(x3)2(y4)216 C.(x3)2(y4)29 D.(x3)2(y4)29,答案,5,1,2,3,4,5,2.若过点P( 1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 A.030 B.060 C.030 D.060,解析,答案,1,2,3,4,5,3.两圆x2y26x16y480与x2y24x8y440的公切线的条数为 A.4 B.
12、3 C.2 D.1,解析 两圆的标准方程分别为(x3)2(y8)2121； (x2)2(y4)264，则两圆的圆心与半径分别为 C1(3，8)，r111；C2(2，4)，r28.,解析,答案,r1r2|C1C2|r1r2， 两圆相交，则公切线共2条.,1,2,3,4,5,4.一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为 则该圆的方程为_.,解析,答案,x2y26x2y10或x2y26x2y10,1,2,3,4,5,解析 方法一 所求圆的圆心在直线x3y0上， 设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与y轴相切，半径r3|a|，,故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x
13、3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2y26x2y10.,故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2y26x2y10.,1,2,3,4,5,方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，,又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0， ,1,2,3,4,5,方法三 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，,在圆的方程中，令x0，得y2EyF0. 由于所求圆与y轴相切，0，则E24F. ,即(DE)2562(D2E24F). ,1,2,3,4,5,D3E0. ,故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.,1,2,3,
14、4,5,5.已知直线xmy30和圆x2y26x50. (1)当直线与圆相切时，求实数m的值；,解 因为圆x2y26x50可化为(x3)2y24， 所以圆心坐标为(3，0). 因为直线xmy30与圆相切，,解答,1,2,3,4,5,(2)当直线与圆相交，且所得弦长为 时，求实数m的值.,得22m220m2160，即m29. 故m3.,解答,圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，经常使用的几何性质有 (1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.,规律与方法,
