1、第十章 电磁感应10-1 法拉第电磁感应定律一、电磁感应现象，感应电动势电磁感应现象可通过两类实验来说明：1实验1）磁场不变而线圈运动2）磁场随时变化线圈不动2感应电动势由上两个实验可知：当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何（如：线圈运动，变；或不变线圈运动） ，回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。3电动势的数学定义式定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即（10-1）lKd： 非 静 电 力说明：（1）由于非静电力只存在电源内部，电源电动势又可表示为 正 极负 极 l表明：电源电动势的大小等于把单位正电
2、荷从负极经电源内部移到正极时，非静电力所做的功。（2）闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普遍式表示： lKd： 非 静 电 力（3）电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经电源内部到正极的方向规定为电动势的方向。二法拉第电磁感应定律1、定律表述在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。数学表达式： dtki在 SI 制中， ， （ ） ，有1kSVWb:;:（10-2）ti上式中“-”号说明方向。2、 方向的确定i为确定 ，首先在回路上取一个绕行方向。规定回路绕行方向与回路所围面积的i正法向满足右手旋不定关系。在此基础上
3、求出通过回路上所围面积的磁通量，根据计算 。dtii,00idt,00idt沿 回 路 绕 行 反 方 向沿 回 路 绕 行 方 向:i此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。楞次定律表述：闭合回路感应电流形成的磁场关系抵抗产生电流的磁通量变化。说明：（1）实际上，法拉第电磁感应定律中的“-”号是楞次定律的数学表述。（2）楞次定律是能量守恒定律的反映。例 10-1：设有矩形回路放在匀强磁场中，如图所示， 边也可以左右滑动，设以匀速AB度向右运动，求回路中感应电动势。解：取回路顺时针绕行， , ,lABxD则通过线圈磁通量为 LS0cosSB由法拉第电磁感应定律有：0dtxvBltxdi“-
4、”说明： 与 绕行方向相反，即逆时针方向。由楞次定律也能得知， 沿逆时针i i方向。讨论：（1）如果回路为 匝，则 （ 为单匝线圈磁通量）N（2）设回路电阻为 （视为常数） ，感应电流RdtRIii 1在 内通过回路任一横截面的电量为1t212tttittR1dIq2211可知 与（ ）成正比，与时间间隔无关。q12例 10-1 中，只有一个边切割磁力线，回路中电动势即为上述产生的电动势。可见该边就是回路电源。该电源的电动势是如何形成的？或者说产生它的非静电力是什么？从图中可知，运动时，其上自由电子受洛仑兹力作用，从而 B 端有过剩的正电荷，A 端有过剩的负电荷，形成了 B 端是电源正极，A
5、端为负极，在洛仑兹力作用下，电子从正极移向负极，或等效地说正电荷从负极移向正极。可见，洛仑兹力正是产生动生电动势的非静电力。10-2 动生电动势一、产生动生电动势的非静电力产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力。二动生电动势 公式的导出i一个电子受洛仑兹力为 （10-3）vef它是产生动生电动势的非静电力。单位正电荷受洛仑兹力为：（正电荷 e 受洛仑兹力为- ）f（10-4）vef)(由电动势定义，则动生电动势为：ldliBvl)(ldvA)( 0边 外 其 他 没 动 ， 即除动生电动势公式 （10-5）lBvAi说明：（1） 的方向为沿 在 上分量的方向。i )(d沿 方向，即0i 点 电 势
6、 高 ；点 比 Ai 点 电 势 低 。点 比方 向 ， 即沿（2）用 可求出运动回路电动势。lvli)(用 可求出非闭合回路运动的动生电动势。这时， 相当一个开dBAi A路电源，其端电压与 在数值上相等，但意义不同： 是单位正电荷从 移到i AUB时静电力作的功， 是单位正电荷从 移到 时非静电力（洛仑兹力）作的功。A三、动生电动势计算举例例 10-2：用 j 解例 1ldBvAi)(解：整个回路的电动势即由 运动引起的动生电动势（其他部分 )0v段产生的动生电动势为ldldi)(0cosvin2ldvBsl( 为标量，标量叠加)iiiBAvl0可知， （ 就是中学中常用的公式。 ）点 。
7、点 电 势 高 于方 向 ， 即沿 Ai vBli*如图所示，长为 的细导体棒在匀强磁场中，绕过 处垂直于纸面的轴以角速度 匀l 速转动。求 ?Ai的解：方法一：用 解（ 沿 方向）段产生的动生电动势为：ldBvi)(lAdi已知： 与 同向。Bvl ldi棒产生的电动势为AiilBvA)(ld021l，即 比 点电势高。 ii沿 方 向 A（ 上分量方向）ldBvi 在的 方 向 为 沿方法二：用 解ti设 t=0 时，AB 位于 AB位置，t 时刻转到实线位置，取 ABBA 为绕行方向（AB BA 视为回路） ，则通过此回路所围面积的磁通量为 SB0cos21ltdti2lB， 沿 方向。
8、0iiA回路中只有 产生电动势A 段电动势值为21li沿 方向。i注意： A可 用 在 非 闭 合 回 路 上 。是 相 对 回 路 而 言 的 。ldBvtii 例 10-4：如图所示，一无限长载流导线 ，电流为 I，导体细棒 CD 与 共面，并AA互相垂直，CD 长为 ,C 距 为 a,CD 以匀速度 沿 方向运动，求 CDlv中 ?i解： 段 产 生 的 动 生 电 动 势 为xdxdBvdi)(垂直指向纸面指向 方向，CD即与 反向。xd大小为 。BvVdxIvxi2cos0CD 产生的 为ialIvdxlaii n20 上 投 影 分 量 方 向 。 ）在沿点 电 势 高 。 （点
9、比即沿 xdBvDCiii ,例 10-5：如图所示，平面线圈面积为 S ，共 N 匝，在匀强磁场 中绕轴 以 速度O匀速转动。 轴与 垂直。t=0 时，线圈平面法线 与 同向。OBn（1） 圈中 ?i（2） 线圈电阻为 R，求感应电流 ?iI解：（1）设 t 时刻， 与 夹角为 ，此时线圈磁通量为：ntNBScos由法拉第电磁感应定律知： )(sinmax0iiiNBStd（2） ）max00(siniiiii IRNBSItRI10-3 感生电动势 涡旋电场一、产生感生电动势的非静电力导体在磁场中运动时，其内的自由电子也跟随运动，因此受到磁力的作用，我们已经知道，洛仑兹力是动生电动势产生的
10、根源，即是产生动生电动势的非静电力。对于磁场随时间变化而线圈不动的情况，导体中电子不受洛仑兹力作用，但感生电流和感应电流的出现都是实际事实。那么感生电动势对应的非静电力是什么呢？麦克斯韦分析了这种情况以后提出了以下假说：变化的磁场在它周围空间产生电场，这种电场与导体无关，即使无导体存在，只要磁场变化，就有这种场存在。该场称为感生电场或涡旋电场。涡旋电场对电荷的作用力是产生感生电动势的非静电力。 （涡旋电场已被许多事实所证实，如电子感应加速器等。 ）说明：涡旋电场与静电场的异同点。相同点：二者对电荷均有作用力。不同点：（1）涡旋电场是变化磁场产生的，电力线是闭合的，为非保守场（。)0ldEl涡（
11、2）静电场是由电荷产生的，电力线是闭合的，为保守场（。ll涡二、感生电动势计算公式由电动势定义知：感生电动势为：（ ） （10-6）ildEl涡 涡EK再根据法拉第电磁感应定律，可有= （10-7）ill涡 t说明：法拉第建立的电磁感应定律的原始形式 只适用于导体构成的闭合回路idt情形；而麦克斯韦关于感应电场的假设所建立的电磁感应定律 = ，ildEl涡 t则闭合回路是否由导体组成的无关紧要，闭合回路是在真空中还是在介质中都适用。这就是说，只要通过某一闭合回路的磁通量发生变化，那么感应电场沿此闭合回路的环流总是满足 = 。只不过，对导体回路来说，有电荷定向运动，而ildEl涡 t形成感应电流
12、；而对于非导体回路虽然无感生电流，但感应电动势还是存在的。三、涡旋电场强度及感生电动势计算例 10-6：如图所示，均匀磁场 被局限在半径为 R 的圆筒内， 与筒轴平行， BB0dtB，求筒内外 ？涡 E解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场，其闭合的电力线是一系列同心圆周，圆心在圆筒的轴线处。1）筒内 P 点 ？涡取过 P 点电力线为闭合回路 ，绕行方向取为顺时针，可知l=dEl涡 t=ldEl涡 l涡= 涡涡= r2涡dtBrSdt20cosE涡即 tr21涡 0涡dtB方向如上图所示，即电力线与 绕向相反（实际上，用楞次定律可方便涡El地直接判出电力线的绕行方向） 。2）筒
13、外 Q 点 ？涡 取过 Q 点电力线 为回路，绕行方向为顺时针。l=dEl涡 l涡= l涡= rE2涡及 SBdt= 0cos= tR2dtBrE涡即 t2涡00涡Ed方向如上图所示。涡E注意：（1）在筒外也存在电场。（2）磁通量的计算。（3） 方向可用楞次定律判断。涡（4）回路无导体时，只要 ，则0dtB涡E例 10-7：如图所示，均匀磁场 被限制在半径为 R 的圆筒内， 与筒轴平行，B。回路 abcda 中 ad、bc 均在半径方向上，ab，dc 均为圆弧，半径分0dtB别为 r 、r 、 已知。求该回路感生电动势。解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场的电力线示是一系列同
14、心圆，圆心为 O.用 解ildEl涡取 abcda 为绕行方向，ill涡= + + +dab涡 ldbc涡 ldEc涡 lda涡在 bc、da 上， 垂直于 。l涡 0ldE涡 = +iab涡 ldEc涡= +osl涡 cos涡= dtBr021RldtBr02= l= rdtB212rdtBR= )(2 为逆时针方向。0ii用 解idt通过回路 的磁通量等于阴影面积磁通量lSB=BS=B( )221rRdtBdti (逆时针方向。ii0讨论：在半径方位上不产生电动势，lE垂 直 于涡强调：一题多解，并学会简单方法。10-4 自感与互感现象一、自感现象1自感现象当一回路中有电流时，必然要在自身
15、回路中有磁通量，当磁通量变化时，由法拉第电磁感应定律可知，在回路中要产生感应电动势。由于回路中电流发生变化而在本身回路中引起感应电动势的现象称为自感现象。该电动势称为自感电动势。（实际上，回路中电流不变，而形状改变，则也引起自感电动势。 ）2自感系数（1）定义：设通过回路电流为 I，由毕沙定律可知，这电流在空间任意一点产生的 其大小与 I 成正比，所以通过回路本身的磁通量与 I 成正比，即 B(10-6)L式中：L 定义为自感系数或自感，L 与回路的大小、形状、磁介质有关（当回路无铁磁质时，L 与 I 无关） 。在 SI 单位制中，L 单位为亨利，记作 H。（2）自感电动势与 L 的意义自感电
16、动势记为 ，= L)(dtIdt当回路的形状、大小、磁介质不变时， tLcos（10-7）dtIL当线圈有 N 匝时， ， 为一匝线圈磁通量，即自感系数扩大 N 倍，N 称为磁 通链匝数。说明：（1） （10-6） 、 （10-7）式均可看作 L 的定义式，它们是等效的。（2）L 的意义： 由(1)式知，自感系数 L 在数值上等于回路中电流为 1 个单位时通过回路的磁通量。由(10-7)式知，回路中自感系数在数值上等于电流随时间变化为 1 个单位时回路中自感电动势的大小。例 10-8：如图所示，长直螺线管长为 ，横截面积为 S，共 N 匝，介质磁导率为 （均l 匀介质） 。求 L=?解：设线圈
17、电流为 I，通过一匝线圈磁通量为 SInB通过 N 匝线圈磁通链数为由 有LIVnlSn2)(（ 为螺线管的体积）V说明：（1）由于计算中忽略了边缘效应，所以计算值是近似的，实际测量值比它小些。（2） 只与线圈大小、形状、匝数、磁介质有关。L例 10-9：如图所示，同轴电缆半径分别为 a、b,电流从内筒端流入，经外筒端流出，筒间充满磁导率为 的介质，电流为 I。求单位长度同轴电缆的 ?0L解：由安培环路定律知，筒间距轴 r 处 大小为：HrI2（ ）rI2取长为 h 一段电缆来考虑，穿过阴影面积磁通量为（取 向里）：SdBhdrsd= rba2= hln0abIL单位长电缆自感系数为 abhL
18、ln200二 、互感现象 1、互感现象假设有两个临近的线圈 1、2，如图所示，它们通过电流分别为 I1、 、I 2。I 1 产生的磁场，其部分磁力线（实线）通过线圈 2，磁通量用 21 表示，当 I1 变化时，在线圈 2 中要激发感应电动势 ,同理，I 2 变化时，它产生的磁场通过线圈 1 的磁通量21 12 也变化，在回路 1 中也要激发感应电动势 。如上所述，一12个回路的电流发生变化时，在另外一个回路中激发感应电动势的现象称为互感现象，该电动势称为互感电动势。2、互感系数（1）定义：根据毕沙定律，I 1 在空间任一点产生的磁感应强度大小与 I1 成正比，所以，I 1 产生的磁通量通过线圈
19、 2 的磁通量 21 也与 I1 成正比，即2同理： 1理论和实际都证明 M12=M21=M（10-8）121式中：M 定义为互感系数，或互感。M 与回路的大小、形状、磁介质及二者相对位置有关。在 SI 单位制中，M 单位为 H。（2）互感电动势与 M 意义由法拉第电磁感应定律知， )(12121 dttdt当回路大小、形状、磁介质、线圈相对位置不变时， tcos(10-9)dtIM2121当线圈 1、2 分别有 N1 、N 2 匝数，磁通链数分别为（ 是一个线圈磁通量） 12M 意义：由（3）式知： 在数值上等于其中一个线圈通有一个单位电流时在另外一个线圈中通过的磁通量。由（10-9）知：
20、在数值上等于其中一个线圈中电流变化率为一个单位时在另一个线圈中产生互感电动势的大小。例 10-10：如图所示，一螺线管长为 ，横截面积为 S，密绕导线 N 匝，在其中部再绕l匝另一导线线圈。管内介质的磁导率为 ，求此二线圈互感2？解：设长螺线管导线中电流为 ，它在中部产生 的大小为111l产生的磁场通过第二个线圈磁通链数为：1 Sl12121依互感定义： 有 1Sl2例 10-11：如图所示，两圆形线圈共面，半径依次为 ， ，匝数分别为21R、 21。求互感系数。21、解：设大线圈通有电流 ，在其中心处产生磁场 大小为1 0R ，小线圈可视为处于均匀磁场， 为 O 处值记为 ，21R 1通过小
21、线圈的磁通链数为2102211(RSS同 向 ）与取由 有, （用 困难。 ）1222110-5 磁场能量如图所示，R 为电阻，L 为自感线圈， 为电源电动势。K 为电键。K 刚关闭（设此时 t=0）后，由闭合回路的欧姆定律R （ ）L反 向与 L上式两边同时乘以 ，并对时间积分，有dt ttt Rddd0200tL在 0-t 时间内 tt L0200电源作功反抗自感电动势作功=电路 R 上焦耳热即电源作功一部分用来产生焦耳热，一部分用来克服自感电动势做功。我们知道，当电路上电流从 0 I 时，电路周围空间建立起来逐渐增强的磁场，磁场与电场类似，是一种特殊形态的物质，具有能量。所以，电源反抗自
22、感电动势作的功，必然转变为线圈的磁场能量。所以，磁场能量为 201LdWm（10-10）2此公式与电场能量相类似（ ） ，下面以螺线管为例，求出磁场能量密度表达2QUe式。环行螺线管磁场能量为： VnLWm2211式中 为螺线管体积，可得磁场能量密度函数为V)(2Wm（10-11）1w此式与电场能量密度 相类似。De2说明：（1） 对任意线圈均成立。21LWm（2） 表达式普遍成立。w（3）任意磁场中，能量可表示为 VdVdm212例 10-12：用磁场能量方法解例 10-9。解：由安培环路定律知， 。除两筒间外无磁场能量。在筒间距轴线IrI02为 处， 为：rm2281rBm在半径为 处、宽
23、为 、高为 的薄圆筒内的能量为rdrhdrhIdIVwdWm482在筒间能量为： abIrIhln42 21Lm 单位长同轴电缆为：abhln20第十一章 电磁场基本理论11-1 位移电流 全电流定律法拉第电磁感应定律发现后，麦克斯韦为了解释感生电动势的产生，提出了变化的磁场产生电场的假说，麦克斯韦又认为电场和磁场具有对称性，变化的磁场既然能激发电场，变化的电场也必然能激发磁场。就其产生磁场来说，变化的电场与一电流等效，这个等效电流被称为位移电流。下面介绍有关位移电流的概念。一、问题的提出对于稳恒电流，有 llIdH内对于非稳恒电流，上式是否成立？在讨论此问题之前，先说一下电流的连续性问题。在
24、一个不含电容器的闭合电路中，传导电流是连续的，即在任一时刻，通过导体上某一截面的电流等于通过任何其他截面的电流。但在含电容器的电路中，情况就不同了，无论是电容器充电还是放电，传导电流都不能在电容器的两极间通过，这时电流就不连续了。如图所示，在电容器充电过程中，电路中 I 随时间改变，是非平衡的。现在在极板 A 附近取回路 L，并以 L 为边界形成曲面 和 ，其中 与导线相交， 过二极板1S21S2S之间，与电场线相交， 、 构成一闭合曲面。1S2图 11-1对 而言，有 ，对 而言，有 。上述积分应相等，出现了矛1SlIdH2SldH0盾。故在非平衡电流下，安培定律 不成立，必然要找新的规律。
25、llId内二、位移电流的假设如上图所示，设某一时刻 A 板上有电荷+ ，面密度为 ，B 板上有电荷qq电荷面密度为 。充电时，则导线中传导电流为 I，（S 为极板面积）dt)(tqI传导电流密度为（大小） j在极板间： （电流不连续）0jI我们知道，充电中 是变化的。 和 （电位移通量）也是随时间变化的，它DS的变化率为 dt)S(t)(dtt从上述方程看出，极板间电通量随时间的变化率在数值上等于导线内传导电流；极板间电位移随时间变化等于导线内传导电流密度，并且进一步分析知 和 同向，可设想 和 分别jdtDdtD表示某种电流密度和电流，能把极板 A、B 间中断的电流接下来，构成电流的连续性。
26、于是，麦克斯韦引进了位移电流假设。令： （11-1）dtIeD（11-2）j式（11-1）和（11-2）中的 、 分别称为位移电流和位移电流密度（极板间） 。DIj可见，上面出现的矛盾能够解决了，即前面二个积分相等了。注意：位移电流和传导电流的关系（1）共同点：都能产生磁场（2）不同点：位移电流是变化电场产生的（不表示有电荷定向运动，只表示电场变化） ，不产生焦尔热；传导电流是电荷的宏观定向运动产生的，产生焦尔热。三、全电流环路定律如果电流中同时存在传导电流与位移电流，那么安培环路定率可表示为 内lDdll tIIH即 （11-3）内lDl td式（11-3）称为全电流环路定律。该式右边第一项
27、为传导电流对磁场贡献，第二项为位移电流（既变化电场）对磁场的贡献。它们产生的磁场都来源于电场。麦克斯韦位移电流假设的根源就是变化的电场激发磁场。说明：全电流环路定律普遍适用。11-2 麦克斯韦方程组在一般情况下，电场可能包括静电场和涡旋电场， 涡静 E ssmllll dtBdttddE 涡涡静同理，在一般情况下，磁场既包括传导电流产生的磁场也包括位移电流产生的磁场，即 tIlHDl 内一般情况下，电磁规律可由下面四个方程来描述（11-4）dtIlHsdBtlEqsDll m内内0上面四个方程称为麦克斯韦方程组（积分形式） 。例 11-1：如图所示，有平行板电容器，由半径为 的两块圆形极板构成
28、，用长直导线R电流给它充电，使极板间电场强度增加率为 ，求距离极板中心连线 处dtEr的磁场强度。（1） ；Rr（2） 。解：忽略电容边缘效应，极板间电场可看作局限在半径为 内的均匀电场，由对称性R可知，变化电场产生的磁场其磁力线是以极板对称轴上点为圆心的一系列圆周。（1） 取半径为 的磁力线为绕行回路 ，绕行方向同磁力线方向。由全电流环流Rrrl定律 dtIlHDl 内有 ltd0cosllllrH2EcsDSD02dtEtd0r2可有 tH01dtErB02（2） Rr取半径为 的磁力线为回路，绕行方向同磁力线方向，由 tldDl有 dtERSr2H0202dtER0得 trB02例 11
29、-2：从公式证明平行板电容器与球形电容器两极板间的位移电流均为 ，其中 为电dtvcI容， 为板间电压。v证：（1）平行板电容器 dtvctqdStDdtId （2）球形电容器 24rQdtvrcdtvrdtQrdtjd 2222 441dtvcrjdsjjsdjId 24例 11-3：平行板电容器的正方形极板边长为 ，当放电电流为 时，忽略边缘效m.30A.01应，求：（1） 两极板上电荷面密度随时间变化率；（2） 通过极板中如图所示的正方形回路 abcda 区间的位移电流大小；（3） 环绕此正方形回路的 的大小。ldB解：（1） tStDSdtId 212.3.01mscIt （2） )(
30、112AdtsjjI abcabcdsddabc（3） ？abcdlB)(.0IHd )/(103901477 mwbllabcabcd 13 电磁波简介一、磁波的形成变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的电场。二、磁波的性质研究表明，电磁波的性质主要有如下几点：1、电磁波是横波，也就是电磁波强度 与磁场强度 的振动方向与电磁波的传播方向EH（单位矢量）垂直，即： ， 。k kk2、电场强度 与磁场强度 垂直，即EHE3、 与 随时间的变化是同步的（以后将介绍这种情况称为同位相） ，并且电磁波的H传播方向 就是 的方向。图 示意了平面电磁波某一时刻的波形情况。k4、 与 幅值成比例E令
31、 ， 代表 与 的幅值，理论计算表明， 和 的关系位o oEHororE5、电磁波的传播速度计算表明，电磁波在介质只传播速度 的大小为ro1如果在真空中传播， ，电磁波的速度为rsmco/038即真空中电磁波的传播速度，正好等于光在真空中的传播首都。麦克斯韦根据这一事实，预言光波就是一种电磁波。第十二章 机械振动12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O 在 m 平衡位置。现将 m 略向右移到 A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性力作用下，物体向左运动，当通过位置 O 时，作用在 m 上弹性力等于 0，但是由于惯性作用，m 将继续向 O 左边运动，使
32、弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩，而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左运动，使 m 速率减小，直至物体静止于 B（瞬时静止） ，之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图12-12、简谐振动运动方程由上分析知，m 位移为 x（相对平衡点 O）时，它受到弹性力为（胡克定律）：kF(12-1)式中： 当 0x即位移沿+x 时，F 沿-x，即 0F当 x即位移沿-x 时，F 沿+x，即Fk为弹簧的倔强系数， “”号表示力 F 与位移 x（相对 O 点）反向。定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿
33、第二定律知， m加速度为Fakx（ 为物体质量） 2dt 02xdt k、 m均大于 0 可令 2mk可有： 2xdt(12-2)式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为 sintAx(12-3)或 co (12-4)2式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间 t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。3、谐振动的速度和加速度物体位移： tAxcos速度：dtVin(12-5)加速度：xta222cs(12-6)可知： Amax2tx、 tV、 t曲线如下图 12-2图 12-3说明：（
34、1） kxF是谐振动的动力学特征；（2） a2是谐振动的运动学特征；（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。12-2 谐振动的振幅 角频率 位相上节我们得出了谐振动的运动方程 tAxcos，现在来说明式中各量意义。1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做 A。 反映了振动的强弱。2、角频率（圆频率）为了定义角频率。首先定义周期和频率。物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用 T表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用 v表示。由上可知： Tv1或 v1 T为周期， tAtxcoscos从 t时刻经过 1 个周期时，物体又首次回到原来 t时刻状态， 2T（
35、余弦函数周期为 2）vT2可见： 表示在 秒内物体所做的完全振动次数， 称为角频率（圆频率） mk T2kv1对于给定的弹簧振子， 、 都是一定的，所以 T、 v完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。3、位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当 A、给定后，物体的位置和速度取决于 t， t称为位相（或周相、相位） 。由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。 是 0t时的位相，称为初相。4、 A、 的确定对于给定的系统， 已知，初始条件给定后可求出 A、 。初始条件： 0t时 0x 由 、 v表达式有v
36、cos0Axinv即s0i即0xtgvarc（12-6）20xA（12-7）值所在象限：1） 0x， v： 在第象限2） ， ： 在第象限3） 0， 0： 在第象限4） x， v： 在第象限5、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体 1 和 2 的谐振动方程为 图 12-41costAx22任意 t时刻二者位相差为 121212 ttt0：2 的位相比 1 超前：2、1 同位相：2 的位相比 1 落后例 12-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知 mNk/60.1， kg40.，试求下列情况下 m的振动方程。（1）将 从平衡位置向右移到 mx10.处由静止释放；（2）将 从平衡位置向右移
37、到 处并给以 向左的速率为 s/2.。解：（1） 的运动方程为 tAxcos由题意知：smk/240.61初始条件： t时， x， 0v可得：vxA12200arctgrct 0x v 0mt2os1.2） 初始条件： t时， x1.0， smv/20.0vxA.222010.0 arctgarctgrct 0x， v， 4mt2cos1.可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。例 12-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角 很小时小球做谐振动；(
38、2)求小球振动周期。证：（1）设摆长为 l，小球质量为 m，某时刻小球悬线与铅直线夹角为 ，选悬线在平衡位置右侧时，角位移 为正，由转动定律： JM有 2sindtlg图 12-6 即 02ldt 很小。 si 02lgdt这是谐振动的微分方程（或 与 正比反向）小球在做谐振动。（2） gllT2（注意做谐振动时条件，即 很小）12-3 表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。一、旋转矢量自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A，其模为简谐振动的振幅 ，并使 在图面内绕 o 点逆时针转
39、动，角速度大小为谐振动角频率 ，矢量 称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法 图 12-7（1）旋转矢量 A的矢端 M 在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴上的谐振动，振幅为A（2）旋转矢量 以角速度 旋转一周，相当于谐振动物体在 x 轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。（3） 0t时刻，旋转矢量与 x 轴夹角 为谐振动的初相， t时刻旋转矢量与 x 轴夹角 为 时刻谐振动的位相。说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。（2）必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在 x 轴上的投影点在 x 轴上做谐振动。旋转矢量与谐振动 t曲线的对应
40、关系（设 0）图 12-8三、旋转矢量法应用举例例 12-3： 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 m12.0，周期为 s2。 0t时，位移为m06.，且向 x 轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设 1t时刻为物体第一次运动到 x6.处，试求物体从 1t时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为 tAxcos由题意知 m12.01ST?方法一用数学公式求 cos0Ax m12.,x06. 3 sin0v 3mtx3cos12.图 12-9方法二用旋转矢量法求 根据题意，有如左图所示结果 3mtxcos12.0由上可见， 方法二简单（2） 方法一用数学式子求 t由题意有：
41、3cos12.06.1（ 21Tt231t）31t或 4此时03sin11tAv32ts1设 2t时刻物体从 1t时刻运动后首次到达平衡位置，有：3co.0232t或 （ 2t232t）0sin2tAv 32ts61stt512方法二用旋转矢量法求 t由题意知，有左图所示结果，M 1为 t时刻 A末端位置，M 2为 t时刻 A末端位置。从 2内 转角为6532112 OMtstt6512显然方法二简单。 图 12-10例 12-4：图为某质点做谐振动的 tx曲线。求振动方程。 解：设质点的振动方程为 Acos由图知： m1012T图 12-11用旋转矢量法（见上页图）可知， 2（或 3） cm
42、tx2cos10例 12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动， A为振幅， 0t时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。图 12-1212-4 谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量 E= k（物体动能）+ pE（弹簧势能）已知： 物体位移 tAxcos物体速度 vin21kxmEpk2cossi21ttkAA22n)(2kmttk22cossi1221AkE（11-8）说明：（1）虽然 k、 p均随时间变化，但总能量 pkE且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。（2） kE与 p互相转化。当 0x时， pE， Ekmax。在 Ax处，0， Epma。例 12-6：一物体
43、连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为 。试求 pk21的位置。解：设弹簧的倔强系数为 k，系统总能量为 21AEpk在 时，有 232kxpk143Ax例 12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数 mNk/25，物块 kg6.01，物块kgm4.02， 1与 2m间最大静摩擦系数为 .， 与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使 2在振动中不致从 1m上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：系统的总能量为 21kAE2maxk（此时 0pE）2不致从 1上滑落时，须有 图 12-13g极限情况 2maxA即 k12kgmgEk 212max J48.05.894.0
44、621212-5 同方向同频率两谐振动合成一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。取振动所在直线为 x 轴，平衡位置为原点。振动方程为 11costA221A、 2分别表示第一个振动和第二个振动的振幅； 1、 2分别表示第一个振动和第二个振动的初相。 是两振动的角频率。由于 1x、 2表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移 x在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即 为简单起见，用旋转矢量法求分振
