1、1微分中值定理的证明及其应用微分中值定理的证明及其应用 牛锦波 （数学与计算科学系 09 专升本班） 指导教师：李超 摘要：微分中值定理在数学分析中具有重要作用，通过它我们可以研究函数的性态。本文主要探讨了微分中值定理及其详尽证明，并揭示了三种中值定理之间的关系以及微分中值定理的求解方法与应用。通过本文的讨论，旨在深刻分析三种中值定理之间的关联以及它们在相关命题中的重要应用。 关键字：微分中值定理、证明、关系、方法、应用 The mid-value theorems of proof and its application NiuJinBo （Department of Mathematics
2、 and Computer Science Top-09 classes) 2Instructor: Li Chao Abstract:：This paper describes the differential mean value theorem and give detailed proof, then revealed the three relationships between the mean value theorem and the Mean Value Theorem and its solution method in solving problems in the ap
3、plication. Keywords: differential mean value theorem, proof, relation, method, application 1.绪论 在数学分析中，微分中值定理扮演了极其重要的角色。在近几年的数学类硕士研究生考试中，有关微分中值定理的命题也屡见不鲜。因而探究这类问题不仅能使我们对微分中值定理理论有进一步的理解与认识，而且对于我们的解题来说也极有必要。 微分中值定理主要包括：Rolle 定理、lagrange 定理和cauchy 定理。它们是微分学的三个基本定理，也是微分学理论的基础。通过微分中值定理，我们可以研究出函数的性态（单调性，凹
4、凸性等） 。这三个定理的共同点是：在一定条件下，可以肯定它们在所给开区间内至少存在某一点，使得所研究的函数在该点具有一定的微分性质。 本文将从四个方面研究微分中值定理。首先将论述并证3明这三个中值定理；接着将指出了它们之间的内在联系；进而将继续探讨微分中值定理的求解方法；最后将给出微分中值定理在几个相关命题中的应用。全文大体分为着四个部分，旨在对微分中值定理能有一个更为深刻的探究。 2.微分中值定理的证明 2、1 rolle 中值定理的证明 rolle 中值定理：若函数 f(x)满足下列三个条件：（1）f(x)在闭区间a、b上连续；（2）f(x) 在开区间（a、b）内可导；（3）f(a)=f(
5、b)，则在开区间（ a、b ）内至少有一点 ?，使f?(?)?0 (a?证明：因为函数 y?f(x)在闭区间a、b上连续，根据闭区间上连续函数的性质，它在a、b上必有最小值m 和最大值 M。 如果 m=M，则函数 y?f(x)是a 、b上的一个常量函数，从而在（a、b）内导数 f?(x)?0，这时开区间（ a、b）内任意一点都可以作为定理结论中的点?。 如果 m?M，即m?M，由于 f(a)?f(b)，因此在开区间（a、b）内至少存在一点? (a?b)，使 f(?)?m 或 f(?)?M，下面来证明 f?(?)?0。 设 f(?)?m (a?b)，因为 m 是函数 y?f(x)在a、b的最小值
6、，因此对a、b上的任意一点?x，有 f(?x)?f()?m?由于当?x?0 时，4f(?x)?f(?)?x?0，即 f(?x)?f()?0? 而函数 y?f(x)在点 ?可导，所以 f?(?)?f?(?)?lim?x?0f(?x)?f(?)?x?0 （1） 类似的，当?x?0 时，f(?x)?f(?)从而有 f?(?)?f?(?)?lim?0?xf(?x)?f(?)?x ?0 （2） ?x?0?有（1） （2）两式即知，只有 f?(?)?0 f(?)?M 的情形可以类似地证明。 2.2 lagrange 中值定理的证明 lagrange 中值定理：若函数 f(x) 满足下列两个条件：（1）f(
7、x)在闭区间a、b上连续；（2）f(x)在开区间（a、b）内可导，则在（a、b ）内至少有一点 ?，使 f?(?)?f(b)?f(a)b?a (a?b) f(b)?f(a)b?a(x?a) 证明：作辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?其中 a?x?b，由于已知f(x)在a、b 上连续，在（a、b）内可导，所以函数?(x)也在a、b上连续，在（a、b）内可导，并且?(a)?(b)?0， 于是，?(x) 满足 rolle 定理的所有条件，从而在区间（a、b）内至少有一点5?，使?(?)?0 由于： ?(x)?f?(x)?所以 f(b)?f(a)b?af(b)?f(a)f?(?)?0b?af(b)
8、?f(a)b?a (a?x?b) 取证得 f?(?)?若令（1）式中的?ab?a (a?b) （1） ?，则?a?(b?a)，且? （1）式可写成 f(b)?f(a)?f?a?(b?a)(b?a) ? （2） （1） 、 （2）式称为 lagrange 中值公式。 2.3 cauchy 中值定理的证明 cauchy 中值定理：若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件：（1）f(x)和 g(x)在闭区间a、b上都连续；（2）f(x) 和 g(x)在开区间（a、b）内都可导；（ 3）g?(x)?0 (a?x?b)则在开区间（a、b）内至少有一点?，使f(b)?f(a)g(b)?g(a)?f?(?)
9、g?(?) (a?b) 证明：先用反证法证明 g(a)?g(b) 如果 g(a)?g(b)，则根据 g(x)在a、b上连续，在（a、b）内可导的已知条件，由 rolle 定理可知，在（a、b）内有一点 x0，使 g?(x0)?0，这与已知条件（3）矛盾，所以 g(a)?g(b)， 因为 g(a)?g(b)，所以可作辅助函数 ?(x)?f(x)?f(b)?f(a)g(b)?g(a)g(x)?g(a) (a?x?b) 有已知条件（1） 、 （2）可知，?(x)在a、b上连续，在6（a、b）内可导，并且?(a)?(b)?f(a) 所以，由 rolle 定理可知，在（a、b）内至少有一点?，使?(?)
10、0? (a?b) 由于 ?(x)?f?(x)?所以， f(b)?f(a)g?(x) (a?x?b) b?af(b)?f(a)f?(?)?g?(?)?0 (a?b) b?a 即证得 f(b)?f(a)g(b)?g(a)?f?(?)g?(?) (a?b) 3.三个重要定理之间的关系 Cauchy 定理是 lagrange 定理的推广，lagrange 定理是cauchy 定理中 g(x)?x 的特殊情况，三个中值定理之间的关系可由下表看出： 4.微分中值定理的求解方法 4.1 直接应用微分中值定理 例 1：设 f(x)在a、b上连续，在（a、b）内除仅有的一个点外都可导，求证：，使得：f(b)?f
11、(a)?(b?a)f?(c)? c?（ a、b）证明：设函数 f(x)在点 d?(a,b)处不可导，分别在(a,d)上和(d,b)上对 f(x)用微分中值定理，我们得： 7f(d)?f(a)?(d?a)f?(c1)和 f(b)?f(d)?(b?d)f?(c2) 其中，c1?(a,b)和 c2?(d,b)。将以上两个等式相加，我们得： f(b)?f(a)?(d?a)f?(c1)?(b?d)f?(c2) 由此我们得到 f(b)?f(a)?(d?a)f?(c1)?(b?d)f?(c2) ?(d?a)f?(c)?(b?d)f?(c)?(b?a)f?(c) 其中，f?(c)?max?f?(c1),f?(
12、c2)?; ?c1,f?(c1)?f?(c2) c?c2,f?(c1)?f?(c2)例 2、设 f?(x)在点x?a 处得有极限存在且有限。求证：f(x)在点 x?a 的有极限也存在且有限。 证明：因为 limf?(x)存在且有限，所以存在?0，使得f?(x)在(a,a?1)x?a?0 内有界，设 f?(x)?M (?x?(a,a?1)，则对任意给定的?0，取 ?min?,?1?，根据?M?lagrange 中值定理，对 ?x1,x2?(a,a?),?(min?x1,x2?,max?x1,x2?), 使得f(x2)?f(x1)x2?x1?f?(?)?M ?f(x2)?f(x1)?Mx2?x1?
13、 故由 Cauchy 收敛原理知 limf(x)存在且有限。 x?a?04、2 用辅助区间法 例 1、 设 f(x)在o,1上连续，在(0,1)上可导，f(0)?f(1)?80,f()?1， 21 求证：?(0,1)，使得 f?(?)?1。 证明：令 F(x)?f(x)?x，则 1111?F()?f()?0?1?(,1), 2222?2F(1)?f(1)?1?1?0?使得 F(?)?0,即 f(?)?。 因为 f(x)在0,?上连续，在(0,?)内可导，所以在 0,1上用lagrange 中值定理，则?(0,?)，使得 f?(?)?f(?)?f(0)?0?0?0?1 例 2、 设 f(x)在o
14、,1上连续，在(0,1)上可导，f(0)?f(1)?0, 百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网 ,您的在线图书馆! 求证：对于?x0?(0,1),?(0,1)，使得 f?(?)?f(x) 证明：令 F(x)?f(x)?xf(x0)，则 F(0)?0 且 F(x0)?f(x0)?x0f(x0)?(1?x0)f(x0) F(1)?f(1)?f(x0)?f(x0) 由此推出，F(x0).f(1)?(1?x0)(f(x0)2 下面分两种情况讨论： 第一种情况，f(x0)?0 ，根据 rolle 定理，有?(0,x0)?(0,1) 使得 F?(?)?0，既得 f?(?)?f(x0)，
15、从而得证。 第二种情况，f(x0)?0 ，则 F(x0)和 F(1)异号，于是根9据连续函数的中值定理，?(x0,1)，使得 F(?)?0，现在对F(x)在0,?上用 rolle 定理，我们有 ?(0,?)?(0,1)，使得 F?(?)?0，即得 f?(?)?f(x0)，从而得证。 4、3 用辅助函数法 例 1、 设 f(x),g(x)在a,b 上连续，在 (a,b)内可导，且 g(a)?0，f(b)?0 ，f(x).g(x)?0，(?x?(a,b) ?g?(?)g(?) 求证：?(a,b)，使得分析： f?(?)f(?) （1） （1） 是成立?(a,b)，使得 f?(?)g(?)?g?(?
16、)f(?)?0 ?f?(x)g(x)?g?(x)f(x)在(a,b)内有零点 ?f(x).g(x)?在(a,b)内有零点。 可作辅助函数 F(x)?f(x)g(x)，主要步骤如下图： f(x),g(x)在a,b上连续，在 g(a)?0，f(b)?0 (a,b) 内可导， 例 2、 设 f(x)在a,b上一阶可导，在(a,b)内二阶可导，且f(a)?f(b)?0，f?(a).f?(b)?0 试证：（1）存在?(a,b)，使 f(?)?0; （2） 存在?(a,b)，使 f?(?)?f(?) 10解：（1）依题意，存在 x1,x2 满足 a?x1?x2?b，使得 ?f?(a)?0?x1?af(x1
17、)f(x2)? ?0?f(x1)f(x2)?0 ?f(x2)(x?a)(x?b)12f?(b)?0?x2?b?f(x1)故存在?(x1,x2)?(a,b)，使 f(?)?0 （3） 令 F(x)defe?xf(x)，注意到 F?(x)?ex(f?(x)?f(x)，因为 F(a)?F(?)?F(b)?0，所以根据 rolle 定理，存在?1?(a,?),?2(?,b)，使得F?(?1)?F?(?2)?0?f?(?)?f(?),f?(?2)?f(?2)， 再令 G(x)?f?(x)?f(x)，并改写 f?(x)?f(x)?G?(x)?G(x)，则因为 ?(?1,?2) G?(?1)?G(?2)?0
18、?rolle 使得exG(x)?x?0，即得 f?(?)?f(?)?G?(?)?G(?)?0。 4、4 用反证法 例 1、 设 f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，f(a)?f(b) ，且 f(x)不恒为常数， 求证：存在?(a,b)，使得 f?(?)?0。 证明：用反证法。若?x?(a,b)都有 f?(x)?0，则 f(x)在(a,b)内单调下降，因此 11?x?(a,b)?f(a)?f(x)?f(b)?f(a)?f(b)f(x)?f(a) 即 f(x)?f(a)，与 f(x)不恒为常数矛盾，从而存在?(a,b)，使得 f?(?)?0。 例 2、 设 f(x)在?0,1?上连续，在
19、(0,1)内可导，f(0)?0 求证：如果 f(x)在(0,1)上部恒等于零，则存在?(0,1) ，使得f(?).f?(?)?0，即 对?x?(0,1)，有 f(x)f?(x)?0?f2(x)?2f(x)f?(x)?0 (?x?(0,1) ? f2(x)在(0,1)内单调下降。 2?f(x)?0(?x?(0,1)22 又 f(0)?0，故有 0?f(x)?f(0)?0? ?f(x)?0(?x?(0,1)? 又 f(x)在?0,1?上连续，进一步有 f(0)?limfx(?)f0,?(1)fxlim? ()x?10x?0?00 于是 f(x)?0 (?x?0,1，与)f(x)在?0,1?上恒等于
20、零矛盾。 5.微分中值定理的应用 微分中值定理在数学分析的解题中具有广泛应用。本文最后将从判断函数方程根的存在性，求极限，证明不等式，研究函数的单调性，证明中值点的存在性，证明恒等式这六个方面论述微分中值定理在解题的应用。 5、1 判断函数方程根的存在性 12例 1、求证方程 4ax?3bx?2cx?a?b?c 在(0,1)内至少有一个根。 32 证明：令 F(x)?ax4?bx3?cx2?(a?b?c)x，则 f(x)在?0,1?上连续，(0,1)内可导，且有 f(0)?f(1)，故由 rolle 定理，?(0,1)，使得 f?(?)?0，即?(0,1) 满足方程 4ax3?3bx2?2cx
21、?a?b?c。 例 2、设a0n?1?a1n?an?0，求证方程 a0xn?a1xn?1?an?0，在(0,1)内a1n 至少有一个根。 证明：令 f(x)?a0n?1xn?1?x?anxn 则 f(x)在?0,1?上连续， (0,1)内可导，且在题设条件下有f(1)?0，故f(0)?f(1)由rolle 定理条件，?(0,1)，使得 f?(?)?0，即?(0,1)满足方程， a0xn?a1xn?1?an?0 5、2 求极限 例 1、lime?exsinxx?0x?sinx 解：对函数 f(x)?ex 利用 lagrange 中值定理，得 13e?exsinxx?sinx?f?sinx?(x?
22、sinx)，0?1 又因为 f?(x)?ex 在 R 上处处连续，所以 lime?exsinx x?0x?sinxtanx0?limf?sinx?(x?sinx)?f?(0)?e?1 x?0 例2、lime?exx?0sinx?xcosx 解：对函数 f(x)?ex 利用 lagrange 中值定理，得 etanx?ex?f?x?(tanx?x)(tanx?x)，0?1 又因为 f?(x)?ex 在 R 上处处连续，所以 limetanx?exx?0sinx?xcosx?limetanx?ex0?limf?x?(tanx?x)?f?(0)?e?1 x?0x?0(tanx?x)cosx5、3 证
23、明不等式 例 1、 试证x1?x?ln(1?x)?x (x?0) 证：作辅助函数 F(t)?ln(1?t)，则 F 在0,x上连续且可导，由 lagrange 中值定理，得 F(x)?F(0)?F?(?)(x?0) (0?x) 即有，ln(1?x)?x1?11?x 11? 由于 0?x，故从而，x1?x?1 14?ln(1?x)?x (x?0) 例 2、sinx?siny?x?y 证：令 F(x)?sinx，则 f(x)在(?,?)上可导，?x,y?(?,?)，f(x)在x,y上满足 lagrange 中值定理，故?(x,y)，使得 sinx?sinyx?y?cos?1 故?x,y?(?,?)
24、，sinx?siny?x?y。 5、4 证明单调性 例 1、 设 f(0)?0， f?(x)在(0,?)上单调增加，证明增加。 证明：由 Cauchy 中值定理得： f(x)x?f(x)?f(0)x?0?f?(?)1,0?xf(x)x 在(0,?)上单调由 f?(x)单调增加，0?x，故 f?(?)?f?(x)，有 则f(x)xxf?(x)?f(x)x2?f?(x)，即 xf?(x)?f(x)?0 ?0，即f(x)x?0 例 2、 证明：若函数 f(x)在0,a可导，f?(x) 单调增加，且f(0)?0，则函数f(x)x 在(0,a)也单调增加。 证明：?x1,x2?(0,a)，且 x1?x2
25、，有 15百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网 ,您的在线图书馆! f(x2)x2?f(x1)x1?x1f(x2)?x2f(x1)x1x2 ?x1f(x2)?x1f(x1)?x1f(x1)?x2f(x1)x1x2 ?x1f(x2)?f(x1)?(x1?x2)f(x1)?f(0)x1x2x1f?(?2)(x2?x1)?(x1?x2)f?(?1)x1x1x2x1(x2?x1)f?(?2)?f?(?1)x1x2,(f(0)?0) ? ? 其中，0?1?x1?2?x2，已知 f?(?2)?f?(?1)，有 f(x2)x2?f(x1)x1?0 或f(x2)x2?f(x1)x1 即函数
26、f(x)x 在(0,a)单调增加。 5、5 证明中值点的存在性 例 1、对下列函数，在x,x?x（或x?x,x） ，上求lagrange 中值定理的中16值，?(x,?x)及?(x,?x)，(1)f(x)?ax2?bx?c (a?0) (2) f(x)?ex 解：所给函数处处可导，所以?x?(?,?)，在x,x?上，x（或x?x,x ）f(x)满足lagrange 中值定理条件，故?(x,x?x)（或?(x?x,x)） 使得 f(x?x)?f(x)?f?(?)?x （1） 且?(0,1)，使得 f(x?x)?f(x)?f?(x?x)?x （2） （1） 当 f(x)?ax2?bx?c 时， (
27、a?0)，则（1）即为 (2ax?a?x?b)?(2a?b)?x 由?x?0 任意，a?0，故有 ?(x,?x)?x?12?x?(x,x?x) （或?(x?x,x)） 又由（2）知，?(x,?x)?x?x 故?(x,?x)?12?(0,1) （2） 当 f(x)?ex 时， （1）即为 ex(e?x?1)?e?x 故?(x,?x)?x?lne?x?1?x?x?1?xlne?x?1?x?x 又由?(x,?x)?x?x，得 ?(x,?x)?1?xlne?x?1?x ?3?x2,0?x?1?2 例 3、 设 f(x)?，在区间 0,1上对函数f(x)求 lagrange 中值1?,1?x?x 定理的
28、?值。 解：注意当 x?0,1)及 x?1 时，f(x)分别为初等函数，且17可微，又因为 f(x)f(x)?f(1)x?1?1x?lim?1 x?1x?121 在 x?1处连续，且 f?(1)?limx?1?3?x f?(1)?limx?1f(x)?f(1)x?1?lim?x?1?12?1?f?(1) x?1 故 f(x)在0,?)上可导，从而在0,2?0,?)上满足 lagrange 中值定理条件，?(0,2)，使得f?(?)?f(2)?f(0)2?0?12 因为 ?x,x?(0,1)? f?(x)?1?,x?(1,?)?2?x12f?(?)? ?(0,1) 得： ?1?12?(0,1)
29、14?(0,1) 由?1?0?2?1 得： ?1?令 f?(?)? 1?2?12，?(0,?) 得?2?2?(1,2) 由?2?0?2?2，得：?2?12?22?(0,1) 即对 f(x)在0,2上由 lagrange 中值定理，?1,?2?(0,2) ，使 f?(?1)?f?(?2)?f(2)?f(0)2?0?12 其中，?1?12,?2?2。 5、6 证明恒等式 例 1、 设 f(x)在a,b上连续，(a,b)上可导，求证?(a,b)，18使得 222?f(a)?f(b)?(b?a)f?(?) 证明：令 F(x)?(b2?a2)f(x)?f(a)?f(b)x2 由题设，F(x)在a,b 上
30、连续，(a,b) 内可导，且有 F(a)?bf(a)?af(b)?F(b)22 故由 rolle 定理，?(a,b) ，使 F?(?)?0 即： (b2?a2)f?(?)?2?f(a)?f(b)。 例 2、 例 2、设设 f(x)在a,b上连续，(a,b)上可导，(b?a?0)，求证?(a,b)，使得 f(a)?f(b)?lnbaf?(?) 证明：令 g(x)?lnx，当 b?a?0 时，g(x) 在a,b 上连续，在(a,b)内可导，且 g?(x)?1x?0，于是 f(x),g(x)在a,b上满足 cauchy 中值定理条件， f(b)?f(a)g(b)?g(a)f(b)?f(a)lnb?l
31、na 所以?(a,b)，使得?f?(?)g?(?)f?(?)1 即 ? ? 所以有 f(b)?f(a)?lnba?f?(?)。 19例 3、 设 f(x)在a,b上连续(ab?0)，在(a,b)上可微，证明：?(a,b)，使 1abf(b)1xa?bf(a)?f(?)?f?(?) 证明：令 F(x)?f(x)x,G(x)?1x2，则由条件，F(x),G(x)在a,b上连续，cauchy 中值定理，?(a,b)， 在(a,b) 内可导，且 G?(x)?使 即 ?0，故由F(b)?F(a)G(b)?G(a)?F?(?)G?(?)af(b)?bf(a)a?b?f(?)?f?(?) 将左端写为行列式，
32、即有： 1abf(b)a?bf(a)?f(?)?f?(?) 例 4、 证明 arctanx?arccotx?2 11?x2 证明：?x?R，有(arctanx?arccotx)?2?11?x2?0 则 arctanx?arccotx?c（常数） 令x?0，有 c?，即 ?2 arctanx?arccotx?。 参考文献： 1 华东师范大学数学系 .数学分析M,上册.高等教育出版社，2001。 2 林源渠、方企勤 .数学分析解题指南M.北京：北京大学出版社，2003。 203 李惜雯.数学分析例题解析及难点注释：上册M（一元函数部分）.西安：西安交通大学出版社，2004。 4 刘玉琏.数学分析讲义练习题选解M.北京：高等教育出版社，1996。 5 徐森林、薛春华.数学分析M（第一册） ，北京：清华大学出版社，2005.9. 6 Walter Rudin.Principles of Mathematical AnalysisM, Beijing: China Machine Press,2004.1 百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网 ,您的在线图书馆!
