1、啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊求函数使其在处与相等.称为的插值函数,为插值区间,为插直节点,为被插函数 用这种方法计算
2、矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的方法就是乘幂法啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊数值计算法方法实验指导书啊啊啊啊啊
3、啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊数值计算法方法实验指导书实验一 插值法 3实验二 曲线拟合的最小二乘法 6实验三 矩阵的特征值和特
4、征向量 9实验四 数值积分 122实验一 插值法一、 实验目的1掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。2对四种插值结果进行初步分析。二、 实验内容插值问题的提法是： 给定函数 在 中互异 个点 的函数)(xf,ba1nnxx,210值 或,10()nixfyii nyyx210求函数 使其在 处与 相等。称 为 的插值函数，)(xi iif)()(xf为插值区间， 为插直节点， 为被插函数。,bai x1 拉格朗日插值插值基函数： 为 次多项式)(,)(,)(210llxln nkjjkkkk nk xxxxl ,0110 )()()() 插值基函数的性质：（1） （2）)
5、,0(0)( nkixlik （2） 为插值节点 唯一确定的 次多项式。),1nlk nxx,210（3）拉格朗日插值所包含基函数个数与插值节点个数相同。 2 牛顿插值线性插值可用插商形式表示为 ,)()()( 1000101 xfxfxyxfp 3由差商的定义知,)()(000xfxf, 111,)(, 01010 nnnn xfxxfxf 将上式依次代入得：,)(,)()( 1010100 fff,)(1 nnxfxx ,)(00 取 )(,)( 102101 xxfxfxfNn)()(,0nn,)()( 01nn xfxxxR,01nf所以 )()(xRNxfn且 0,01niiinf3
6、 分段低次插值给定函数 在 中互异 个点 的函数值)(xf,banxx,210，若要求 的近似函数 ，可求一分段函数，使其在每,21niy)(f)(一小区间 上为线性插值函数，即ix,)( 11111 iiiii xyxyxL称为分段线性插值，即用折线代替曲线。4 样条插值区间 的一个划分 上函数 满足：,ba bxxan110: )(xS4（1） 在 为 次多项式。)(xS1,20,1nii k（2） 及其 阶导数在区间 连续，则 为区间 上对k ,ba)(xS,ba应于划分 的 次多项式样条， 为样条节点，nx,110为内点， 称为外点。11,nx nx,0三、实验任务1 已知函数 满足：
7、)(f0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.50.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206）xf(（1） 用分段线性插值；（2） 分段二次插值；（3） 拉格朗日插值。2 已知x 2 4 6 8y 1 3 5 7构造差商表，求牛顿差值函数。四、实验报告实验报告应包括以下内容：（1）题目；（2）写出算法设计思想；（3）程序清单；（4）运行的结果；（5）所得图形；（6）四种插值的比较；（7）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。5实验二 曲线拟合的最小二乘法一、实验目的1了解最小二乘法的定义。2掌
8、握求解最小二乘法的方法。二、实验内容1多项式拟合设已知点 。求 次多项式 来拟合函数niyxi ,21),（ m)(xPm)(xf设 ，求 使mmxaaP10)( a,10最小211210 )(,niiini xyF所以 ni ni jimkijimij axPya100)(即 jnijinijkmk ,21)(110 得线性方程组：ni niminimnimni niininii iimxyaxaxyaxa1 112101 112101 2指数拟合对已知点 在坐标纸上描点，若近似于一条指数曲线，则考niyxi ,2),(虑用指数函数 来拟合数据，即求 使axbeba,最小，由于是非线性方程，
9、求解复杂。niaxiiyaF12)(),(又因为 bl6所以 为直线可用一次多项式拟合求出 。ylnyln3线性最小二乘法的一般形式设已知点 。取线性无关基函数ixi ,21),（构造)(,()(210 xm使)(21xxm为加权系数kiini niii ayy1211)( 求驻点 0)()( 11 1 mkijiini niijii xx即 )()(1 1ijimk niijniik xya令 mkjxijniikjk ,20,)(),(1 jyyijniij ,1)(),(1 ),(,)(),(),(),(, 10101011 000 mmmmmya 三、实验任务1试用最小二乘法求形如 的
10、多项式，使以下列数据拟合2bxayx 19 25 31 38 44y 19.0 32.4 49.1 73.3 97.52用最小二乘法求形如 的经验公式，使其与数据xylnx 1 2 3 4 y 2.5 3.4 4.1 4.4 相拟合。 （计算取 4 位小数） 。四、实验报告实验报告应包括以下内容：（1）题目；7（2）写出算法设计思想；（3）程序清单；（4）运行的结果；（5）所得图形；（6）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。8实验三 矩阵的特征值和特征向量一、实验目的1掌握乘幂法、反幂法、雅可比方法和 QR 方法。2分析、比较四中求解矩阵特征值和特征向
11、量的方法。二、实验内容1乘幂法设 阶实矩阵 有完备的特征向量系，既有 个线性无关的特征向量。设nAn是矩阵的 个线性无关的特征向量，且Tnjjj xx,21),21(，其中 是 的特征值 。假设jj ,jA),21(nj，先讨论 是实数且是单根的情形，此时有|321n 1。设 是任意的一个非零向量，则 可以唯一地表| 0v0v示为： nxaxa21令 ,21,kAvk则有 ，nkkkkkk xaxvAv 210nxaxav2111 )()( 12121 nknkk设 ，由于 得01a|1j,43,，0)(lim1ikikxa于是 )(li12ikink所以只要 充分大，就有11211 )( x
12、aaxv kjkjnjk 因此可以将 作为与 相应的特征向量的近似。由于1k11,xavxavk9所以 ，其中 表示 的第 个分量。ikv)(1),32,nikv)(ki用这种方法计算矩阵 的按模最大的特征值与相应的特征向量的方法就是乘幂A法。2反幂法设有 阶非奇异矩阵 ，其特征值与相应的特征向量分别是 和n iix，由定义 。因为 可逆，特征值),3,1(i ),21(,nixAii A军部为令，所以： 。这说明 一定是 的特征值，它所对应iii1i1的特征向量仍是 。如果 的特征值为如下情况：ix|121n则 一定是 的主特征值。所以，对 采用乘幂法即可求得 ，从1nA1An1而得到按模最
13、小的特征值 ，具体计算步骤为：1n第一步：任取 ；0第二步：计算 ；1kkA),2(第三步：如果 从某时以后有 （常数） ；而cjk)(1),21(nj就是与 对应的特征向量。kn由于这里采用的是对 采用乘幂法，故称为反幂法。1A3 雅可比方法雅可比方法的基本思想是通过一次正交变幻，将 中一对非零的对角元素化A成零，并且使得非对角元素的平房和减小。反复进行上述过程，使得变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部的特征值和特征向量。4 QR 方法 因为任一非奇异矩阵都可以分解成一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的乘积，而且当 R 的对角元符号取定时，分解是
14、唯一的。基本 QR 方法的基本思想是利用矩阵的 QR 分解，通过迭代格式),21()1( KQAkk将 化成相似的上三角阵（或分块上三角矩阵） ，从而求出矩阵 的全部A10特征值和特征向量。三、实验任务1用乘幂法求矩阵13624A的按模最大的特征值及相应的特征向量，取 ，要求至少迭代 6TX)1,5.0(0次。2用反幂法计算矩阵41032A相应于特征值 1.2679 的特征向量。四、实验报告实验报告应包括以下内容：（1）题目；（2）写出算法设计思想；（3）程序清单；（4）运行的结果；（5）所得图形；（6）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。11实验四
15、数值积分一、实验目的1掌握几种数值积分方法。2掌握几种数值求导方法。二、实验内容1 牛顿- 科特斯求积公式在区间 上取 个等距节点 ，其中,ba1nkhaxk),10(nk，做 次拉格朗日插值多项式 ，因为nhnkkxlfL0)(所以)()(xRLxfnbababanndxRxLdf )()(bannnkbak dxflf )()!1()( 1)1(0 记 baknkbak dxxdxlA)()(1bannnffR)!1( 1)1(截去第二项 nkkbaxfAdxf0(显然 与 无关，只与节点 有关。令 ，则当kA)(xf ),1 thax时， ，于是,bax,0nt )(2)()()(111
16、 ntthtaxn 而 )(1110 nkkkkkn xxxx )!()!nn从而得12 nkk dtnktkttA0)( )()1()()1!1 记nknk tktkttC0)( )()()()()! 则 (nkkabA故求积公式为nkkba xfCdxf0)()上式称为牛顿-科特斯公式， 称为科特斯系数。)(n2 复化求积公式（1） 复化梯形公式将区间 等分成 个子区间 ，,baN,1kx)1,0(N，在每个区间 上用梯形公式h,k)()2)(11 kxk xffhdfIk相加后得复化梯形公式)()()(1bffafxfNkba NT记 为其中 。右端记为 。khxk,0 N当 时，N)(
17、)(2110NkNkhxfxfTbababa dxffdf )(即 收敛于 。NTx)(（2） 复化辛浦生公式将区间 等分成 个子区间 ，每个,ba,2kx)1,0(N子区间的中点为 ，子区间长度为 ，在12kx)1,0(N abh每个区间 上用辛浦生公式,13)()(4)(6)( 21222 kkkxk xffxfhdfIk相加后得复化辛浦生公式)()()()( 1212bfffafxf NkkNkkba NS记 为其中 。2hkaxk)12,0(（3） 复化柯特斯求积公式)(7(14)(32)(12)(3)(790)( 14134 bfxfxfxfxfafhdxf NkkNkkNkkNkk
18、ba NC记 为其中 ， 。Nbh4hkaxk)2,0(3 龙贝格求积算法将式 )(1)(152222 NNNSSSI 用 与 作线性组合会得到比 更精确的值，且通过直接验证可得NS214)(15222 NNNSSC再由式 )(632322 CCI 用 与 作线性组合，又会得到比 更精确的值，通常记为 ，即N2 NNR14)(6313222 NNCR上式称为龙贝格求积公式。4 高斯型求积公式把具有 个节点的具有 次代数精度的插值型求积公式1n1nkkbaxfAdxf0)()(称为高斯型求积公式，节点 称为高斯点， 称为高斯系数。kA三、实验任务141 用梯形公式和辛浦生公式计算积分 ，并估计误
19、差。 （计算取 5 位小数）10dxe2 用龙贝格法求积分 ，要求误差不超过 。 （计算取 6 位小数）102Ix510四、实验报告实验报告应包括以下内容：（1）题目；（2）写出算法设计思想；（3）程序清单；（4）运行的结果；（5）所得图形；（6）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。15啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
20、啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊数值计算法方法实验指导书啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
21、啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊求函数使其在处与相等.称为的插值函数,为插值区间,为插直节点,为被插函数 用这种方法计算矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的方法就是乘幂法啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
