1、 - 1 -江苏省赣榆中学、射阳中学、滨海中学 2010 届高三元月联考数学试题一、填空题：（每小题 5 分，共计 70 分）1、在复平面上，复数(1iz是虚数单位）对应的点位于第 _象限.2、已知向量 a和向量 b的夹角为 03， |2,|3ab，则向量 a和向量 b的数量积b_.ks5u3、设 nS是等差数列 n的前 项和，已知 26,1，则 7S_.4、设 ,xy满足241y，则 zxy的最小值为_ . ks5u5、四边形 ABCD为长方形， 2,1,ABCO为 AB的中点，在长方形 ABCD内随机取一点，取到的点到点 O的距离大于 的概率为_. ks5u6、某校甲、乙两班级各有编号为
2、,345的篮球运动员进行投篮练习，每人各投 10 次，投中的次数如下表：运动员 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲班 7 8 8 9 8乙班 7 8 7 8 10则以上两组数据的方差较小的一个为 2S_ ks5u .7、如果函数 cos(2)yx的图象关于点4(,0)3中心对称，那么 |的最小值为_.8、定义在 R 上的函数 ()fx满足4log(),0()12xfff，若 2(3)logfm，则 m ks5u _.9、设斜率为 2的直线 l过抛物线2yax（ 0）的焦点 F，且和 y轴交于点 A，若OAF（ 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线的方程为_ .- 2 -10、有下面算法：则
3、运行后输出的结果是_.11、对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_ ks5u（写出所有正确命题）.相对棱 与 所在直线是异面直线；由顶点 A作四面体的高，其垂足是 BCD的垂心（即三角形三条高的交点） ；若 ,BCD，则 C；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.12、用 min,abc表示 ,三个数中的最小值。设函数 ()min2,10xf x，则函数 ()fx的值域为_.13、若关于 的不等式 2x2(3)的解集中的整数恰有 2 个，则实数 a的取值范围为_ .14、若存在过点 (1,0)的直线与曲线3yx和21594ax都相切，则
4、 的值等于_.二、解答题：15、 （本题满分 14 分）已知函数2()sincosinsfxxx（ 0）在 x处取最小值.(1) 求 的值；(2) 在 ABC中， ,abc分别为角 ,ABC的对边，已知31,2,()abfA，求角 C.16、 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD中， 面 ,ABCDB平分 ,ADCE为 P的中P1For k From 1 To 10 Step 3PP+2k6End ForPrint PAD CBEP- 3 -点.(1) 证明： PA面 BDE；(2) 证明：面 C面 . ks5u17、 （本题满分 14 分）在平面直角坐标系 xoy中，已知圆21:
5、(3)4Cxy和圆222:(4)()4Cxy.(1) 若直线 l过点 (4,)A，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 l的方程；(2) 是否存在一个定点 P，使过 点有无数条直线 l与圆 1和圆 2都相交，且 l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.18、 （本题满分 16 分）用水清洗一堆盘子上残留的洗洁净，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用 1 个单位的水可洗掉盘子残留洗洁净的12，用水越多洗掉的洗洁净也越多，但总还有洗洁净残留在盘子上，设用 x单位量的水清洗一次以后，盘子上残留的洗洁净与本次清洗前残留的洗洁净量之比为函数 ()f.(1) 试规定 0的值，并
6、解释其实际意义；(2) 试根据假定写出函数 ()fx应该满足的条件和具有的性质；(3) 设 21()fx，现有 (0)a单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗 2 次，试问用哪种方案清洗后盘子上残留洗洁净量比较少？请说明理由.- 4 -19、 （本题满分 16 分）已知 19a，点 1(,)na在函数2()fx的图象上，其中 1,23,n 设lg)nb.(1) 证明数列 n是等比数列；(2) 设 1Cb，求数列 nC的前 项和；(3) 设 2nnda，求数列 nd的前 项和 nD，并证明 129na.20、 （本题满分 16 分）定义 1log(,)0,xyfy(1) 比较
7、 ,3与 2的大小；(2) 若 exy，证明： (1,)(,)fxyfx；(3) 设322()1,logfab的图象为曲线 C，曲线 在 0x处的切线斜率为 k，若 0,xa，且存在实数 ，使得 4k，求实数 a的取值范围.- 5 -第卷（附加题 共 40 分）21、选做题：在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分。B、选修 42：矩阵与变换已知二阶矩阵 M有特征值 8及对应的一个特征向量1e，并且矩阵 M对应的变换是将点 (1,2)变换成点 (2,4).(1) 求矩阵 ；(2) 求直线 :0lxy在矩阵 的作用下得到的直线 l的方程.C、选修 44：坐标
8、系与参数方程设点 ,MN分别是曲线 2sin0和2si()4上的动点，求动点 ,MN间的最小距离.必做题：第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。22、如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形，侧棱 PA底面 BCD，3AB， 1， 2,E为 的中点.(1) 求直线 与 所成角的余弦值；(2) 在侧面 内找一点 N，使 面 PC，并求出点 N到和 的距离.23、在北京奥运会期间，4 位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门 4 个景点服务，已知每位志愿者在每个景点服务的概率都是14，且他们之间不存在相互影响.(1) 求恰有 3 位志愿者在长城服务的概率；DA BCEP-
9、 6 -(2) 设在故宫服务的志愿者人数为 ，求 的概率分布及数学期望.数学试题参考答案一、填空题：1、二 2、3 3、49 4、2 5、146、257、38、 29、28yx10、21 11、 12、 (,6 13、44a14、 1或56二、解答题：15、 (1) 1cos()2sinsinsin()fxxx 当 时， f取得最小值 i()1 即 i又 0， 2(2) 由 (1)知 ()cosfx 32fA，且 A为 BC的内角 6A由正弦定理得sinibBa知 4或3当 4时，712CA，当3B时，B- 7 -综上所述，712C或16、证明：(1)连结 A，交 BD于 O，连结 E 平分
10、,C ACBD且 OA又 E为 P的中点 P又 E面 ,A面 面 E(2) 由 (1)知 ADB D面 ,C面 CD P面 面 P B A面 PB又 A面 面 A面 .17、解：(1)由于直线 4x与圆 1C不相交，所以直线 l的斜率存在.设直线 l的方程为 (4)ykx，圆 1的圆心到 l的距离为 d，所以 1.由点到直线 l的距离公式得 2|7|1d，从而 (7)0k所以 0k或 24，所以直线 l的方程为 1y或 24xy.(2)假设存在，设点 P的坐标为 (,)abl的方程为 ()bka，因为圆 1C和圆2C的半径相等，被 l截得的弦长也相等，所以点 1C和圆 2的半径相等，被 l的距
11、离相等，即 22|3|4|11kbakb，整理得：(47)(83)860，因为 k的个数有无数多个，所以01286ab解得 2ab综上所述，存在满足条件的定点 P，且点 的坐标为1(,2)P.注：用平面几何知识可能更简单.18、解：(1) (0)1f，表示没有用水洗时，盘子上洗洁净的量将保持原样.- 8 -(2)函数 ()fx应该满足的条件和具有的性质是：10,2ff在 0,)上 (fx单调递减，且 0()fx 1.(3)设仅清洗一次，残留在洗洁净量为 12fa，清洗两次后，残留的洗洁净量为 22 216()(4)af，则122(8)4f于是，当 2a时，清洗两次后残留在洗洁净量较少；当 a时
12、，两种清洗方法具有相同的效果；当 02时，一次清洗残留的洗洁净量较少.19、 (1) 证明：由题意知：21nn21()nna 19a n 21lg()l()即 1b，又 1lg()0b nb是公比为 2 的等比数列；(2) 由(1)知：12nn1nC，设 n的前 项和为 nS.02113 3n nSC 2 12()nn0121212nnnnnS nn即 nC的前 项和为 n.(3) 21(2)0nnnaa 11()2nnaa 1nn 11()nnnd12123111( )2()nn nnDdaaaa 又由(1)知： lg()n 120nn 0- 9 - 21()90nnD又由 12()nnDa
13、知 129nDa.20、解：(1) 由定义知 (,0,yfxx321,)8,()9f (,3)2,)ff.(2) (,(,yxfxfy要证 )，只要证 yxlnlnlyxxy令l()hx，则 21l()hx，当 e时， ()0hx 在 ,e上单调递减. xy ()hxy即lnxy不等式 1,)ff成立.(3) 由题意知：32()1gxabx，且 0()gxk于是有2034在 0(,上有解.又由定义知3220lo()x即 3200xab 01x ab22034x即 200()x 0()a在 (1,)a有解.设0()02,xVx当 12a即 1时，0()02xV .当且仅当 0x时， 0()minx- 10 -当 02x时，0max2()4 42a.当 1a 时，即 12 0时，0()0xV在 (1,)xa上递减，02x. 2()1aa整理得： 2360，无解.综上所述，实数 的取值范围为 ,4.21、 A 略B（1）624M（ 2） l的方程为 20xyC. 动点 M、N 间的最小距离为 1D. 略22、 (1) 3714(2) 点 到 AB和 P的距离分别为31,6.23、 （ 1） 6（2 ）1E.0 1 2 3 4P82576486125
