1、第三章 中值定理与导数的应用(答案)第三章 中值定理与导数的应用(一)1在下列四个函数中, 在?1,1? 上满足罗尔定理条件的函数是( B )Ay?8x?1 By?4x2?1 Cy?2函数 f?x?1 Dy?sinx 2x1 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( C ) xA?2,2? B ?2,0? C?1,2? D?0,1?3方程 x5?5x?1?0 在?1,1? 内根的个数是 ( B )A没有实根 B有且仅有一个实根C有两个相异的实根 D有五个实根4若对任意 x?a,b?，有 f?x?g?x?，则 ( D )A对任意 x?a,b?，有 f?x?g?x?，B存在 x0?a,b?，使 f?x
2、0?g?x0?，C对任意 x?a,b?，有 f?x?g?x?C0(C0 是某个常数) ，D对任意 x?a,b?，有 f?x?g?x?C(C 是任意常数) 。5函数 f?x?3x5?5x3 在 R 上有 ( C )A四个极值点； B三个极值点 C二个极值点 D 一个极值点6函数 f?x?2x3?6x2?18x?7 的极大值是 ( A )A17 B11 C10 D97设 f?x?在闭区间?1,1?上连续，在开区间?1,1?上可导，且f?x?M，f?0?0，则必有 ( C )Af?x?M Bf?x?M Cf?x?M Df?x?M8若函数 f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则 ( B )A
3、存在?0,1?，有 f?b?f?a?f?b?a?b?a?，B存在?0,1?，有 f?a?f?b?f?a?b?a?b?a?，1C存在?a,b?，有 f?a?f?b?f?a?b?，D存在?a,b?，有 f?b?f?a?f?a?b?。9若 a2?3b?0，则方程 f?x?x3?ax2?bx?c?0( B )A无实根 B有唯一的实根 C有三个实根 D有重实根x2sin110求极限 limxx?0sinx 时，下列各种解法正确的是 ( C )A用洛必塔法则后，求得极限为 0,B因为 lim1x?0x 不存在，所以上述极限不存在,C原式?limxx?0sinx?xsin1x?0,D因为不能用洛必塔法则，故
4、极限不存在.11设函数 y?2x1?x2，在 ( C )A?,?单调增加, B?,?单调减少,C?1,1?单调增加，其余区间单调减少,D?1,1?单调减少，其余区间单调增加.曲线 y?ex121?x ( D )A有一个拐点 B有二个拐点 C有三个拐点 D13指出曲线 y?x3?x2 的渐近线 ( C )A没有水平渐近线，也没有斜渐近线Bx?3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C即有垂直渐近线，又有水平渐近线D 只有水平渐近线214函数 f?x?x3?x2?1?13 在区间 ?0,2?上最小值为 ( D )A7294 B0 C1 D无最小值15求 limx?ln?1?x?x?0x22 无拐点解：原
5、式 0 型 01?limx?0111?x?lim1? x?022x1?x2?11?16求 lim? ?x?0?ln?1?xx?解：原式?limx?0x?ln?1?x?xln1?x0 型 01?limx?011?xln?1?x?1?xx ?limx?01?xln1?x?x17求 lim60 型 0lim11? x?0ln1?x?221?2sinx ?cos3xx?0 型 0 解：原式 lim?2cosx3 ?x?0?3sin3x312x18求 lim?1?xx?0ln1?x2，则 lny? x 解：令 y?1?xln1?x2limx?0x12x?0 型 0lim2x?0 x?01?x2原式?e0
6、?1.?19求 lim?arctgx? x?2?解：令?arctgx?t，则 x?ctgt 21lnxt 故原式 ?lim?t?01lnctgtlnt lnctgt 令 y?t1lnctgt，则 lny?3lny lim?t?0?型?t?0lim?sint?lim?cost? ?t?01t?csc2tctgt1?lim?t?0sint?cost? ?lim?t?0t?1原式?e?1.20求函数 y?x3?3x2?9x?14 的单调区间。 解：y?3x2?6x?9?3?x?1?x?3?当 x?1 时，y?0 ，当?1?x?3 时，y?0当 x?3 时，y?0故 y 在?,?1?及?3,?单增，在
7、?1,3?单减。21求函数 y?2ex?e?x 的极值。解：y?2ex?e?x1 令 y?0 得 x?ln2 21 当 x?ln2 时，y?0，从而 y 单减 21 当 x?ln2 时，y?0，从而 y 单增 21 故 x?ln2 时，y 取极小值 0 222若 x?0，证明 ex?1?x证明：令 F?x?ex?1?x，则 F?x?ex?1当 x?0 时，F?x?0 ，从而 F?x?在?0,? 单增 因为 F?0?0，故F?x?0，即ex?1?x.4x2?ln?1?x?x. 23设 x?0，证明 x?2证明：x21?x2?ln?1?x?，则 f?x?1?x?1：令 f?x?x? 21?x1?x
8、0因 x?0，则 f?x?0，从而 f?x?在?0,?单减。x2?ln?1?x? 故 f?x?f?0?0，即 x?220：令 g?x?ln?1?x?x，则 g?x?1?1 1?x当 x?0 时，g?x?0，从而 g?x?在?0,? 单减故 g?x?g?0?0，即 ln?1?x?xx2?ln?1?x?x. 由 1、2 知，x?200ln2x24求函数 y?的单调区间与极值。x解：y?2?lnx?lnx, x2令 y?0，得 x?1 或 e2.故可疑极值点 1，e2.25当 a 为何值时，y?asinx?sin3x 在 x?处有极值？求此极值，并说33明是极大值还是极小值。解：y?acosx?co
9、s3x由于 y 在 x?处有极值，则 y?0，从而 a?2 3?3?5当 x?当 x?3 时，y?0 ，从而 y 单增 时，y?0，从而 y 单减 ?3故 y 在 x?3 处取得极大值。x2y226求内接于椭圆 2?2?1，而面积最大的矩形的边长。 ab解：设矩形在第一象限的顶点坐标为?x,y?，则s?x?aco? ? ?y?bsin?0? 2?故矩形面积为 S?4xy?4absin?cos?2absin2? 当?4 时，S 取最大值 2ab，矩形边长分别为 2x?2a 和 2y?2a。27函数 y?ax3?bx2?cx?d?a?0?的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。解：y?3ax2?2
10、bx?c，因 a?0，则 y?是开口向上的抛物线 要使 y没有极值，则必须使 y 在?,?是单增或单减 即必须满足 y?0 或y?0 故只有 ?2b?4?3ac?0 时，才能使 y?0 成立 2即 b2?3ac 时，y 没有极值。4x228试证 y?xsinx 的拐点在曲线 y?上。 24?x2 证：y?sinx?xcosx，y?2cosx?xsinx?2cosa?asina?0 设?a,b?是 y?xsinx 的拐点，则? ?b?asina?a?2ctga 即? b?2cosa?64a24?2ctga?22 ?4cosa?b224?a4?2ctga24x2y?xsinx 的拐点在曲线 y?上
11、。 24?x229试证明曲线 y?证：y?x?1 有三个拐点位于同一直线上。 2x?1?x2?2x?1x2?12， y?x?1?x2?4x?1x?2?13?令 y?0 得：x1?1，x2?2?3 ，x3?2?3 y?1?1，y2?33?5，y2?33?5 故三个拐点A?1,?1?，B2?3,?5?3?，C?2?,?5?3 ? 容易验证：A、B、C 在同一直线上。30试决定 y?kx2?3 中的 k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 解：y?4kxx2?3 ，y?12kx2?1令 y?0，得 x?1 或-1则拐点为?1,4k?及?1,4k?10在拐点?1,4k? 处切线斜率为 y?1?8k
12、从而在拐点?1,4k?处法线斜率为y?4k?2?1，这样法线方程为 8k1?x?1?，因法线过原点，所以k?2 8k820在拐点?1,4k?处切线斜率为 y?1?8k，这样法线方程为y?4k?1?x?1?，因法线过原点，所以 k?2。 8k8 故 k?2 时，曲线的拐点处的法线通过原点。 8(二)71函数 f?x?x?x2，则 ( C )A在任意闭区间?a,b?上罗尔定理一定成立B在?0,8?上罗尔定理不成立 C在?0,8?上罗尔定理成立D 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立2下列函数中在 ?1,e?上满足拉格朗日定理条件的是( B )Aln?lnx? B lnx C1 Dln?2?x? lnx
13、3若 f?x?为可导函数，?为开区间?a,b?内一定点，而且有f?0，?x?f?x?0，则在闭区间?a,b?上必有 ( D )Af?x?0 B f?x?0 Cf?x?0 D f?x?04若 f?x?在开区间?a,b?内可导，且对?a,b?内任意两点 x1，x2 恒有2f?x2?f?x1?x2?x1?则必有( D )Af?x?0 Bf?x?x Cf?x?x Df?x?C(常数)5设 limx?x0f?x?f?x?f?x?为未定型，则 lim 存在是 lim 也存在的 ( B ) x?xx?x?00gxgxgx A必要条件 B充分条件C充分必要条件 D 既非充分也非必要条件6已知 f?x?在?a,
14、b?上连续，在?a,b?内可导，且当 x?a,b?时，有f?x?0，又已知 f?a?0，则 ( D )Af?x?在?a,b?上单调增加，且 f?b?0Bf?x? 在?a,b?上单调减少，且 f?b?0Cf?x?在?a,b?上单调增加，且 f?b?0Df?x?在?a,b?上单调增加，但 f?b?正负号无法确定7函数 y?xarctgx 的图形，在 ( B )A?,?处处是凸的 B?,?处处是凹的 8C?,0?为凸的，在?0,?为凹的 D?,0?为凹的，在?0,?为凸的8若在区间 ?a,b?内，函数 f?x?的一阶导数 f?x?0，二阶导数f?x?0，则函数 f?x?在此区间内是( D )A单调减
15、少，曲线上凹 B单调增加，曲线上凹C单调减少，曲线下凹 D单调增加，曲线下凹9曲线 y?x?5?2 ( D )A有极值点 x?5，但无拐点 B有拐点?5,2?，但无极值点Cx?5 有极值点且?5,2?是拐点 D 既无极值点，又无拐点10设函数 f?x?在 x?a 的某个邻域内连续，且 f?a?为其极大值，则存在 53?0，当 x?a?,a?时，必有( C )A?x?a?f?x?f?a?0 B?x?a?f?x?f?a?0Climt?af?t?f?x?t?x2?0?x?a? Dlimt?af?t?f?x?t?x2?0?x?a?11抛物线 y?x2?4x?3 在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答
16、案是 ( B )A顶点?2,?1?处的曲率为 1，曲率半径为 2 21B顶点?2,?1?处的曲率为 2，曲率半径为 2C顶点?1,2?处的曲率为 1，曲率半径为 1D顶点?1,2?处的曲率为 1，曲率半径为 2 212设函数 y?f?x?在 x?x0 处有 f?x0?0，在 x?x1 处 f?x1?不存在，则 ( C )Ax?x0 及 x?x1 一定都是极值点 B只有 x?x0 是极值点Cx?x0 与 x?x1 都可能不是极值点Dx?x0 与 x?x1 至少有一个点是极值点913求极限 lim?xx。 x?0解：令 y?xx，则 lny?xlnxlimxlnx?lim?x?0x?0lnx1x?
17、型?1?0 limx?0?1?2x原式?e0?1ex?esinx14求 lim x?0x?sinx解：原式 0 型 0ex?esinxcosxlimx?01?cosx0 型 0ex?esinxcos2x?esinxsinx limx?0sinx 0 型 0ex?esinxco3sx?3esinxsinxcoxs?esinxcoxslim?1 x?0coxs11arctg?arctg 15求 limn?11?nn?1?11?11?解：令 F?x?arctgx，则 F?x?在?,?上连续，在?,?可导，故由?n?1n?n?1n?11arctg?arctg 拉格朗日定理知，存在一点? ，使 f?11
18、?nn?1当 n?时，则?0故原式?limf?lim?01?1 ?01?2x2?ax?b16试证当 a?b?1?0 时，f?x?取得极值。 x?1证：f?x?x2?2x?a?bx?12?1?a?b?1x?12故 a?b?1?0 时，f?x?0 有解 x?1?a?b?1 当 x?1?a?b?1 时，f?x?0，从而 f?x?单增 10当 1?a?b?1?x?1?a?b?1 时，f?x?0，则 f?x?单减 当 x?1?a?b?1时，f?x?0，则 f?x?单增故 f?x?在 x?1?a?b?1 处取得极大值f?x?在 x?1?a?b?1 处取得极小值17求由 y 轴上的一个给定点?0,b?到抛物
19、线 x2?4y 上的点的最短距离。 ?1?解：设 M?x,x2?是抛物线上任一点，则?0,b?到 M 的距离为 ?4?1? d?x2?x2?b2? ?4?2从而 d?1b?x?x3?x? ?282?12?2x?x?b?4?1令 d?0，得 x?0 或 x2?4b?810当 b?2 时，只有一个驻点 x?0当 x?0 时，d?0 ，从而 d 单减当 x?0 时，d?0 ，从而 d 单增故 x?0 是 d 的极小值点，极小值为|b|2当 b?2 时，有三个驻点 x?0，?2b?2，2b?2当 x?2?2 时，d?0，从而 d 单减当?2?2?x?0 时，d?0 ，从而 d 单增当 0?x?2?2
20、时，d?0，从而 d 单减当 x?2b?2 时，d?0，从而 d 单增故 x?2?2 是极小点，极小值为 2?218设 f?x?在?0,1?上可导，且 0?f?x?1，对于任何 x?0,1?，都有f?x?1，试证：在?0,1? 内，有且仅有一个数 x，使 f?x?x。证：令 F?x?f?x?x，因为 F?x?在?0,1?上连续，且 F?0?f?0?0， 11F?1?f?1?1?0，则由零点存在定理在?0,1?内至少存在一点 x，使F?x?f?x?x?0，即 f?x?x。下证唯一性。设在?0,1?内存在两个点 x1 与 x2，且 x1?x2，使f?x1?x1，f?x2?x2，在?x1,x2?上运
21、用拉格朗日中值定理，则有?x1,x2? ，使得f?f?x2?f?x1?x2?x1?1 x2?x1x2?x1这与题设 f?x?1 矛盾，故只有一个 x 使 f?x?x。19设 f?x?在?1,2?上具有二阶导数 f?x?，且 f?2?f?1?0，如果F?x?x?1?f?x?，证明至少存在一点?1,2?，使 F?0。证明：由题设知 F?x?在?1,2?上满足洛尔定理条件，则至少存在一点a?1,2?，使得 f?a?0。因为 F?x?f?x?x?1?f?x?，则由题设知 F?x?在?1,a?上连续，在?1,a?内可导，且 F?1?f?1?0，故 F?x?在?1,a?上满足洛尔定理条件，则至少存在一点?
22、，使 F?0，20设 f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内二阶可导且 f?a?f?b?0，且存在点 c?a,b?，使得 f?c?0，试证至少存在一点?a,b?，使得 f?0。证：f?x? 在?a,c?及?c,b?上都满足拉格朗日定理条件，则存在?a,c?，?c,b?，使得f?c?f?a?f?c? c?ac?af?b?f?c?f?c?f? b?cb?cf?因为 f?c?0，则 f?0，f?0因 f?x?在 ?a,b?内二阶可导，则 f?x?在?,?上满足拉格朗日定理条件，故 12至少存在一点?,?，使 f?f?f?0。 ?(三)?2?lnx?1函数 f?x?1?1?x1 当?x?1e?1?
23、它在?,3?内 ( B ) ?e?当1?x?3A不满足拉格朗日中值定理的条件B满足拉格朗日中值定理的条件，且?9e?3 5eC满足中值定理条件，但无法求出? 的表达式D不满足中值定理条件，但有?9e?3 满足中值定理结论 5e2若 f?x?在区间?a,?上二次可微，且f?a?A?0，f?a?0，f?x?0(x?a)，则方程 f?x?0 在?a,? 上 ( D )A没有实根 B有重实根C有无穷多个实根 D 有且仅有一个实根f?x?1 则 ( C ) 3设 fx 有二阶连续导数，且 f0?0，limx?0xAf?0?是 f?x?的极大值 Bf?0?是 f?x?的极小值C?0,f?0?是曲线 y?f
24、?x?的拐点Df?0? 不是 f?x?的极值，?0,f?0?也不是曲线 y?f?x?的拐点?x4求 limx?13x?2?xsin2?x?1?x?132?解：令 y?x3x?2，则 lny?3x?2?lnx，从而 y?x3x?2?3?3lnx? x?2?2?23?3x?2 y?x?3?3lnx?2? xx?x?132?3x?2?x3?3lnx?1 limx3x?2?x00 型?x?x?1x?12limx?12x?1 0x3x?2?3?2?3lnx?2?23? 0型 lim?x?x2?x?x?12?3 故原式?limx3x?2?xsin2?x?1?x?1x?12x?1 ?2 ?limx3x?xs
25、in2?x?1?x?1x?12limx?1x?1?3?2?6 5求 lim?1?x?1x?ex?0x解：令 y?1?x?1x，则 lny?1xln?1?x? y?1?x?1xx?1?x?ln?1?x?x21?x 00 故原式 0型 lim0型 x?1?x?ln?1?x?x?0y?elimx?0x21?x型 elim?x?0?13x?2ln?1?x?1x?1?e?e?2?lne?2 6设函数 f?x?二次可微，有 f?x?0，f?0?0 ，?f?x?F?x?,x?0 是单调增函数。 ?x?f0?,x?0证：当 x?0 时，F?x?xf?x?f?x?x2连续由于 F?0?F?0?x?F?0?lim
26、x?0?x?F?x?f?0?limx?0?x?limf?x?xf?0?00 型?x?0?x2?limf?x?f?0?x?02?x型 f?x?lxi?02?12f?0? 14证明函数?xf?x?f?x?2?x 故 F?x?1f?0?2x?0 x?000xf?x?f?x? 因为 limF?x?limx?0x?0x2limx?0xf?x?1?f?0? 2x2所以 F?x?在 x?0 处连续，故 F?x?在?,?上连续。令 g?x?xf?x?f?x?，则 g?x?xf?x?当 x?0 时，g?x?0，g?x?单增，从而 g?x?g?0?0当 x?0 时，g?x?0，g?x?单减，从而 g?x?g?0?
27、0故 x?0 时，g?x?0，从而 F?x?0因为 f?0?0，则 F?0?0，从而?x?,?有 F?x?0， 故 F?x?是单调增函数7研究函数 f?x?xe?x?1 的极值。解：10当 x?0 时， f?x?xex?1，从而 f?x?ex?1?x?1?令 f?x?0 得 x?1当 x?1 时，f?x?0，则 f?x?单增当 x?1 时，f?x?0，则 f?x?单减故 x?1 是 f?x?的极大值点，极大值为 e?220当 0?x?1 时，f?x?xex?1，从而 f?x?ex?1?x?1?0 说明f?x?单增，故 x?0 是极小值点，极小值为 030当 x?1 时，f?x?xe?x?1，从
28、而 f?x?e1?x?1?x?0说明 f?x?单减，故 x?1 是极大值点，极大值为 18若 f?x?在?a,b?上有二阶导数 f?x?，且 f?a?f?b?0，试证在?a,b?内 15至少存在一点?，满足 f?4b?a2f?b?f?a?。证：由泰勒展式?a?a,b?，有12f?1?x?a?，a?1?x 212 f?x?f?b?f?2?x?b?，x?2?b 2a?b 令 x?，得 2f?x?f?a?b?a? 1?a?b? f?f?a?f?1?24?2?2?b?a? 1?a?b?f?fb?f?224?2?2于是 f?b?f?a?令 1?b?a?2?f?2?f?1? 8f?maf?1?,f?2?
29、，则 f?b?f?a?1?b?a?2f?2?f?1?1?b?a?2f? 84 故结论成立。9设 f?x?在?0,1?上具有二阶导数，且 f?0?f?1?0，minf?x?1 ，证明：0?x?1 存在一点?0,1?使 f?8。证：设 x?c 是 f?x?的最小值点，因为 f?x?在?0,1?上具有二阶导数，由题设知 0?c?1，f?c?0 ， f?c?1故 f?x?在 x?c 处的泰展式为 f?x?f?c?f?c?x?c?12f?x?c?， ?在 c 与 x 之间 212f?x?c? 21121若 0?c?，则 f?0?1?f?0?c? 222 即 f?2?8 c1122若 ?c?1，则 f?1
30、?1?f?1?c? 22 即 f?x?1?16即 f?g?21?c2?8故存在一点?0,1?，使 f?8。10设 y?y?x?是一向上凸的连续曲线，其上任意一点?x,y?处的曲率为 1?y?2，且此曲线上点?0,1? 处的切线方程为 y?x?1，求该曲线方程，并求函数 y?y?x?的极值。解：因曲线上?x,y?处的曲率为 k? 因曲线向上凸，则 y?0，故y?y?2?1?0令 y?u，则 y?u?，从而 u?u2?1?0 解之，u?tg?c?x?从而 y?tg?c?x?因曲线在点?0,1?处的切线为 y?x?1，其斜率为 1 则 y?0?1，即1?tg?c?0?c? 故 y?tg?x? ?4?y?1?y?322，由题意 y?1?y?322?1?y?2 ?4? y?lnco?x?a ?4? 因?0,1?在曲线上，则 1?lncos?0?a ?4?即 a?3 2?3?3? 故 y?lncos?x?lncos?x? 4?2?4?2?令 y?0 得：x?2k? ?4，2k?17 3?，k?0,?,1,?2,?， 43?3?2k?x?2k?，及?2k?x?2k? 时，y?0 4444?3?5?2k?x?2k?时，y?0 当?2k?x?2k? ，及 4444?3?2k? 由于 y 的定义域 x?2k?，44?5?3?2k?处取得极大值 故 y 在 x?2k?及 442当? 18
