1、学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点 生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为_2利用导数解决优化问题的实质是_3解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程类型一 面积、容积的最值问题例 1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设
2、AEFBx cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大，则 x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大，则 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值反思与感悟 (1)这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长 x 作自变量，并利用 题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了(2)这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段) 为 正，建立 x 的不等式(组)求定义域跟踪训练 1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半径为 100 m，并与北京路一边所在直线 l 相切于点
3、M.点 A 为上半圆弧上一点，过点A 作 l 的垂线，垂足为点 B.市园林局计划在ABM 内进行绿化设ABM 的面积为 S(单位：m2)，AON(单位：弧度)(1)将 S 表示为 的函数；(2)当绿化面积 S 最大时，试确定点 A 的位置，并求最大面积类型二 利润最大问题例 2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件需另投入2.7 万元设该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)Error!(1)求年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中
4、所获得的年利润最大，并求出最大值反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用 题设条件，建立利 润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练 2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克) 与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y 10(x6) 2，其中 30)，为使利润最大，应生产_千台3将一段长 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm.4某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件如果降低价格，销售量可以增加，且每星
5、期多卖出的商品件数与商品单价的降低额 x(单位：元， 0x 21)的平方成正比已知商品单价降低 2 元时，每星期多卖出 24 件(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x )；(2)求函数的导数 f( x)，解方程 f( x)0；(3)比较函数在区间端点和使 f(x)0 的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小) 值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：
6、(1)合理选择变量，正确写出函数解析式， 给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用提醒：完成作业 1.4答案精析问题导学知识点1优化问题2求函数最值3数学建模题型探究例 1 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为 x cm，高 为 (30x) cm ，2 2所以包装盒侧面积为 S4 x (30x)2 28x(30 x) 8 ( )28225，x 30 x2当且仅当 x30x ，即 x15 时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大，则 x15.(2)包装盒容积 V2x 2 (30 x)22 x360 x2(00，得 010 时，W xR(x )
7、(10 2.7x)98 2.7x ，1 0003xWError!(2)当 0x10 时，由 W8.1 0，得 x9，x210且当 x(0,9)时，W0；当 x(9,10)时， W0.当 x9 时，W 取最大值，且 Wmax8.19 9310 38.6.130当 x10 时，W 98 (1 0003x 2.7 x)982 38，1 0003x 2.7x当且仅当 2.7x，即 x 时，W38，1 0003x 1009故当 x 时，W 取最大值 38.1009综合知，当 x9 时，W 取得最大值 38.6 万元故当年产量为 9 千件时，该公司在 这一品牌服装的生产中所 获得的年利润最大，最大利 润为
8、 38.6 万元跟踪训练 2 解 (1)因为 x5 时，y 11，所以 1011，a2所以 a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y 10(x 6) 2，2x 3所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)( x3) 10(x 6) 2210( x3)( x6) 2,30)，则 y1kv 2，当 v12 时，y 1720，720k12 2，得 k5.设全程燃料费为 y，由题意，得yy 1 ，200v 8 1 000v2v 8y2 000vv 8 1 000v2v 82 .1 000v2 16 000vv 82令 y0，得 v16，当 v016，即 v16 km/h 时全程燃料费最省，y m
9、in32 000( 元)；当 v00，故 x5 为 f(x)的最小值点，对应 的最小值为 f(5)65 70.80015 5当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元达标检测14263.1004 4解 (1)设商品降价 x 元，则多卖的商品数为 kx2，若 记 商品在一个星期的获利为 f(x)，则有f(x)(30x9)(432 kx 2)(21x)(432kx 2)由已知条件，得 24k 22，于是有 k6.所以 f(x)6x 3126x 2432 x9 072，x0,21(2)根据(1)，f(x )18x 2252x43218(x2)(x12)当 x 变化时，f( x)，f(x)的变化情况如下表：x 0,2) 2 (2,12) 12 (12,21f(x ) 0 0 f(x) 极小值 极大值 故 x12 时，f(x)取得极大值因为 f(0)9 072，f(12)11 664.所以定价为 301218，才能使一个星期的商品 销售利润 最大
