1、2015 年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分） （2015娄底）2015 的倒数为（ ）A 2015 B 2015 C D 2 （3 分） （2015娄底）若|a1|=a 1，则 a 的取值范围是（ ）A a1 B a1 C a1 D a13 （3 分） （2015娄底）下列运算正确的是（ ）A a6a3=a2 B 5a23a2=2a C （a 3） 3=a9 D （ab） 2=a2b24 （3 分） （2015娄底）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）A
2、. B C D 5 （3 分） （2015娄底）下列命题中错误的是（ ）A 平行四边形的对角线互相平分B 菱形的对角线互相垂直C 同旁内角互补D 矩形的对角线相等6 （3 分） （2015娄底）某中学女子足球队 15 名队员的年龄情况如下表：年龄（岁） 13 14 15 16队员（人） 2 3 6 4这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（ ）A 14，15 B 14，14.5 C 15，15 D 15，147 （3 分） （2015娄底）已知 a2+2a=1，则代数式 2a2+4a1 的值为（ ）A 0 B 1 C 1 D 28 （3 分） （2015娄底）如图，正三棱柱的主视图为（ ）A
3、B C D 9 （3 分） （2015娄底）反比例函数 y= 的图象上有两点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，若 x10x 2，则下列结论正确的是（ ）A y1y 20 B y1 0y 2 C y1y 20 D y10y 210 （3 分） （2015娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力） ，弹簧称的读数 F（kg）与时间 t（s）的函数图象大致是（ ）A B C D 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）11 （3 分） （2015娄底）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前
4、为止，全国高速公路总里程约为 10.8 万千米，10.8 万用科学记数法表示为 12 （3 分） （2015娄底）从1、0、 、0.3、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为 13 （3 分） （2015娄底）如图，已知 AB=BC，要使 ABDCBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线）14 （3 分） （2015娄底）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 15 （3 分） （2015娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第 7 行的第一个数为 16 （3 分） （2015娄底）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，
5、则这个多边形的边数为 17 （3 分） （2015娄底）如图，在O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知ACD=40，则 BAD= 度18 （3 分） （2015娄底）一块直角三角板 ABC 按如图放置，顶点 A 的坐标为（0，1） ，直角顶点 C 的坐标为（3 ，0 ） ， B=30，则点 B 的坐标为 三、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分）19 （6 分） （2015娄底）计算：（ 1.414） 0+（ ） 1 +2cos3020 （6 分） （2015娄底）先化简，再求值： + ，其中 x 是从 1、0、1、2 中选取的一个合适的数四、解答题（本大题共 2 小题
6、，每小题 8 分，满分 16 分）21 （8 分） （2015娄底）今年 5 月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩 m 分成 A、B、C、D 四等（A 等：90m 100，B 等：80m90，C 等：60m80，D 等：m60） ，并绘制出了如图的两幅不完整的统计图：（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？（2）将图乙中条形统计图补充完整；（3）如果该校今年有九年级学生 1000 人，试估计其中 D 等学生的人数22 （8 分） （2015娄底） “为了安全，请勿超速”如图，一条公路建成通车，在某直线路段 MN 限速 60 千米/小时，
7、为了检测车辆是否超速，在公路 MN 旁设立了观测点 C，从观测点 C 测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知CAN=45，CBN=60，BC =200 米，此车超速了吗？请说明理由 （参考数据：1.41， 1.73）五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）23 （9 分） （2015娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为 01.5 千米，超过 1.5 千米的部分按每千米另收费小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 4.5 千米，付车费 10.5 元 ”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 6.5 千米，付车费 14.5
8、元 ”问：（1）出租车的起步价是多少元？超过 1.5 千米后每千米收费多少元？（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了 5.5 千米，应付车费多少元？24 （9 分） （2015娄底）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以点 A 为圆心，AC 为半径，作A，交 AB 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 E 作 AB 的平行线 EF 交A 于点 F，连接 AF，BF，DF （1）求证：ABC ABF；（2）当CAB 等于多少度时，四边形 ADFE 为菱形？请给予证明六、解答题（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分）25 （10 分） （2015娄底）如图，
9、P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一动点（P 与 B、C 不重合） ，连接 AP，过点 B 作BQAP 交 CD 于点 Q，将 BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到 BQC，延长 QC交 BA 的延长线于点 M（1）试探究 AP 与 BQ 的数量关系，并证明你的结论；（2）当 AB=3，BP=2PC，求 QM 的长；（3）当 BP=m，PC=n 时，求 AM 的长26 （10 分） （2015娄底）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求此抛物线的解析式；（2）以点 A 为圆心，作与直线 BC 相切的A，求A 的半径；（3）在直
10、线 BC 上方的抛物线上任取一点 P，连接 PB，PC，请问： PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分） （2015娄底）2015 的倒数为（ ）A 2015 B 2015 C D 考点： 倒数分析： 利用倒数的定义求解即可解答： 解：2015 的倒数为 故选：D点评： 本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记倒数的定义2 （3 分） （2015娄底）若|a1|=a 1，则 a 的取值范围是（
11、 ）A a1 B a1 C a 1 D a1考点： 绝对值分析： 根据|a |=a 时，a0，因此| a1|=a1，则 a10，即可求得 a 的取值范围解答： 解：因为|a 1|=a1，则 a10，解得：a1，故选 A点评： 此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 03 （3 分） （2015娄底）下列运算正确的是（ ）A a6a3=a2 B 5a23a2=2a C （a 3） 3=a9 D （ ab） 2=a2b2考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式专题： 计算题分析： A、原式利用同
12、底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断解答： 解：A、原式=a 3，错误；B、原式=2 a2，错误；C、原式=a 9，正确；D、原式=a 2+b22ab，错误，故选 C点评： 此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键4 （3 分） （2015娄底）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）A B C D 考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组专题：
13、计算题分析： 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可解答： 解： ，由得：x1；由得：x2，不等式组的解集为2x 1，表示在数轴上，如图所示：，故选 B点评： 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”， “”要用实心圆点表示；“”， “”要用空心圆点表示5 （3 分） （2015娄底）下列命题中错误的是（ ）A 平行四边形的对角线互相平分B 菱形的
14、对角线互相垂直C 同旁内角互补D 矩形的对角线相等考点： 命题与定理分析： 根据平行四边形的性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据平行线的性质对 C 进行判断；根据矩形的性质对 D 进行判断解答： 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项为真命题；B、菱形的对角线互相垂直，所以 B 选项为真命题；C、两直线平行，同旁内角互补，所以 C 选项为假命题；D、矩形的对角线相等，所以 D 选项为真命题故选 C点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”
15、形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理6 （3 分） （2015娄底）某中学女子足球队 15 名队员的年龄情况如下表：年龄（岁） 13 14 15 16队员（人） 2 3 6 4这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（ ）A 14，15 B 14，14.5 C 15，15 D 15，14考点： 众数；中位数分析： 根据众数与中位数的意义分别进行解答即可解答： 解：15 出现了 6 次，出现的次数最多，则众数是 15，把这组数据从小到大排列，最中间的数是 15；故选 C点评： 本题考查了众数与中位数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小
16、）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错7 （3 分） （2015娄底）已知 a2+2a=1，则代数式 2a2+4a1 的值为（ ）A 0 B 1 C 1 D 2考点： 代数式求值专题： 计算题分析： 原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值解答： 解：a 2+2a=1，原式 =2（a 2+2a）1=2 1=1，故选 B点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键8 （3 分） （2015娄底）如图，正三棱柱的主视图为（ ）A B C D 考点： 简
17、单几何体的三视图分析： 根据正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，即可解答解答： 解：正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线故选：B点评： 本题考查实物体的三视图在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉9 （3 分） （2015娄底）反比例函数 y= 的图象上有两点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，若 x10x 2，则下列结论正确的是（ ）A y1y 20 B y10 y 2 C y1y 20 D y10y 2考点： 反比例函数图象上点的坐标特征分析： 先根据反比例函数 y= 中 k=20 可判
18、断出此函数图象在二、四象限，再根据 x10x 2，可判断出 A、B两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出 y1 与 y2 的大小关系解答： 解：反比例函数 y= 中 k=20，此函数图象在二、四象限，x10x 2，A（ x1，y 1）在第二象限；点 B（x 2，y 2）在第四象限，y10y 2，故选 D点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据 k0 判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键10 （3 分） （2015娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力） ，弹簧称的读数 F
19、（kg）与时间 t（s）的函数图象大致是（ ）A B C D 考点： 函数的图象分析： 开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变解答： 解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变逐渐增大 保持不变故选：A点评： 本题考查了函数的概念及其图象关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）11 （3 分） （2015娄底）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为 10.8 万千米，10.8 万用科学记数法表示为 1.0810 5 考点：
20、 科学记数法表示较大的数分析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答： 解：10.8 万=1.0810 5故答案为：1.0810 5点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12 （3 分） （2015娄底）从1、0、 、0.3、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为 考点： 概
21、率公式分析： 由从1 、0、 、0.3 、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有 2 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案解答： 解：从1、0、 、0.3、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有 2 种情况，即： 、；抽取到无理数的概率为： = 故答案为： 点评： 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比13 （3 分） （2015娄底）如图，已知 AB=BC，要使 ABDCBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ABD=CBD 或 AD=CD （只需写一个，不添加辅助线）考点： 全等三角形的判定专题： 开放型分析： 由已知 AB=BC，及公共边 BD
22、=BD，可知要使ABDCBD，已经具备了两个 S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法SAS ， SSS所以可添 ABD=CBD 或 AD=CD解答： 解：答案不唯一ABD=CBD在ABD 和CBD 中， ，ABDCBD（SAS ） ；AD=CD在ABD 和CBD 中， ，ABDCBD（SSS） 故答案为：ABD =CBD 或 AD=CD点评： 本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA ，AAS14 （3 分） （2015娄底）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数根，则 m 的
23、取值范围是 m 1 考点： 根的判别式专题： 探究型分析： 先根据一元二次方程 x2+2x+m=0 得出 a、b、c 的值，再根据方程有实数根列出关于 m 的不等式，求出 m的取值范围即可解答： 解：由一元二次方程 x2+2x+m=0 可知 a=1，b=2，c=m，方程有实数根，=224m0，解得 m1故答案为：m1点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于 m 的不等式是解答此题的关键15 （3 分） （2015娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第 7 行的第一个数为 22 考点： 规律型：数字的变化类分析： 先找到数的排列规律，求出第 n1 行结束的时候一共出现的数的个
24、数，再求第 n 行的第 1 个数，即可求出第 7 行的第 1 个数解答： 解：由排列的规律可得，第 n1 行结束的时候排了 1+2+3+n1= n（n 1）个数所以第 n 行的第 1 个数 n（n1）+1所以 n=7 时，第 7 行的第 1 个数为 22故答案为：22点评： 此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键16 （3 分） （2015娄底）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 6 考点： 多边形内角与外角专题： 计算题分析： 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题解答： 解：多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和
25、的 2 倍，则内角和是 720 度，720180+2=6，这个多边形是六边形故答案为：6点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键17 （3 分） （2015娄底）如图，在O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知ACD=40，则 BAD= 50 度考点： 圆周角定理分析： 由在O 中，AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得ADB=90，又由圆周角定理，可求得B=ACD=40，继而求得答案解答： 解：在O 中，AB 为直径，ADB=90，B=ACD=40，BAD=90B=50故答案为：50点评： 此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
26、圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角18 （3 分） （2015娄底）一块直角三角板 ABC 按如图放置，顶点 A 的坐标为（0，1） ，直角顶点 C 的坐标为（3 ，0 ） ， B=30，则点 B 的坐标为 （3 ，3 ） 考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质分析： 过点 B 作 BDOD 于点 D，根据 ABC 为直角三角形可证明 BCDCOA，设点 B 坐标为（x，y ） ，根据相似三角形的性质即可求解解答： 解：过点 B 作 BD OD 于点 D，ABC 为直角三角形，BCD+CAO=90，BCDCOA， = ，设点 B 坐标为（x ，
27、y ） ，则 = ，y=3x9，BC= = ，AC= = ，B=30， = = ，解得：x= 3 ，则 y=3 即点 B 的坐标为（3 ，3 ） 故答案为：（3 ，3 ） 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，证明三角形的相似，进而求解三、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分）19 （6 分） （2015娄底）计算：（ 1.414） 0+（ ） 1 +2cos30考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值专题： 计算题分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后
28、一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答： 解：原式=1+3 +2=4点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20 （6 分） （2015娄底）先化简，再求值： + ，其中 x 是从 1、0、1、2 中选取的一个合适的数考点： 分式的化简求值专题： 计算题分析： 先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=，由于 x 不能取1 ，2，所以把 x=0 代入计算即可解答： 解：原式= += += ，当 x=0 时，原式= = 点评： 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过
29、程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）21 （8 分） （2015娄底）今年 5 月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩 m 分成 A、B、C、D 四等（A 等：90m 100，B 等：80m90，C 等：60m80，D 等：m60） ，并绘制出了如图的两幅不完整的统计图：（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？（2）将图乙中条形统计图补充完整；（3）如果该校今年有九年级学生 1000 人，试估计其中 D 等学生的
30、人数考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图分析： （1）抽查人数可由 B 等所占的比例为 50%，根据总数=某等人数比例来计算；（2）可由总数减去 A、B、D 的人数求得 C 等的人数，再画直方图；（3）用样本估计总体，先计算出 D 等学生所占的百分比，再乘以 1000 即可解答解答： 解：（1）B 等人数为 100 人，所占比例为 50%，抽取的学生数=10050%=200（名） ；（2）C 等的人数=2001004010=50（人） ；如图所示：（3）D 等学生所占的百分比为： =5%，故该校今年有九年级学生 1000 人，其中 D 等学生的人数为：10005%=50（人） 点评：
31、 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键会画条形统计图22 （8 分） （2015娄底） “为了安全，请勿超速”如图，一条公路建成通车，在某直线路段 MN 限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN 旁设立了观测点 C，从观测点 C 测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知 CAN=45，CBN=60，BC =200 米，此车超速了吗？请说明理由 （参考数据： 1.41， 1.73）考点： 勾股定理的应用分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出 BH，CH，AB 的长进而求出汽车的速度，进而得出答案解答：
32、解：此车没有超速理由：过 C 作 CHMN，CBN=60，BC=200 米，CH=BCsin60=200 =100 （米） ，BH=BCcos60=100（米） ，CAN=45，AH=CH=100 米，AB=100 10073（m） ，60 千米/小时= m/s， =14.6（m/s） 16.7（m /s） ，此车没有超速点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出 AB 的长是解题关键五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）23 （9 分） （2015娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为 01.5 千米，超过 1.5 千米的部分
33、按每千米另收费小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 4.5 千米，付车费 10.5 元 ”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 6.5 千米，付车费 14.5 元 ”问：（1）出租车的起步价是多少元？超过 1.5 千米后每千米收费多少元？（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了 5.5 千米，应付车费多少元？考点： 二元一次方程组的应用分析： （1）设出租车的起步价是 x 元，超过 1.5 千米后每千米收费 y 元根据他们的对话列出方程组并解答；（2）5.5 千米分两段收费：1.5 千米、 （5.51.5）千米根据（1）中的单价进行计算解答： 解：（1）设出租车的起步
34、价是 x 元，超过 1.5 千米后每千米收费 y 元依题意得， ，解得 答：出租车的起步价是 元，超过 1.5 千米后每千米收费 2 元；（2） +（5.51.5）2=12.5 （元） 答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了 5.5 千米，应付车费 12.5 元点评： 本题考查了二元一次方程组的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键24 （9 分） （2015娄底）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以点 A 为圆
35、心，AC 为半径，作A，交 AB 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 E 作 AB 的平行线 EF 交A 于点 F，连接 AF，BF，DF （1）求证：ABC ABF；（2）当CAB 等于多少度时，四边形 ADFE 为菱形？请给予证明考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理分析： （1）首先利用平行线的性质得到FAB=CAB ，然后利用 SAS 证得两三角形全等即可；（2）当CAB =60时，四边形 ADFE 为菱形，根据CAB=60，得到FAB =CAB=CAB=60，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形 ADFE 是菱形解答： 解：（
36、1）证明：EFAB，E=CAB， EFA=FAB，E=EFA，FAB=CAB，在ABC 和ABF 中，ABCABF；（2）当CAB =60时，四边形 ADFE 为菱形证明：CAB=60，FAB=CAB=CAB=60，EF=AD=AE，四边形 ADFE 是菱形点评： 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大六、解答题（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分）25 （10 分） （2015娄底）如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一动点（P 与 B、C 不重合） ，连接 AP，过点 B 作
37、BQAP 交 CD 于点 Q，将 BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到 BQC，延长 QC交 BA 的延长线于点 M（1）试探究 AP 与 BQ 的数量关系，并证明你的结论；（2）当 AB=3，BP=2PC，求 QM 的长；（3）当 BP=m，PC=n 时，求 AM 的长考点： 四边形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质专题： 综合题分析： （1）要证 AP=BQ，只需证 PBAQCB 即可；（2）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图易得 QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得 AP（即BQ）= ，BH=2易得 DCAB，从而有CQB=
38、QB A由折叠可得CQB= CQB，即可得到QBA= CQB，即可得到 MQ=MB设 QM=x，则有 MB=x，MH=x2在 RtMHQ 中运用勾股定理就可解决问题；（3）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图，同（2）的方法求出 QM 的长，就可得到 AM 的长解答： 解：（1）AP=BQ理由：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC， ABC=C=90，ABQ+CBQ=90BQAP，PAB+ QBA=90，PAB=CBQ在PBA 和QCB 中，PBAQCB，AP=BQ；（2）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图四边形 ABCD 是正方形，QH=BC=AB=3BP=2PC，BP=2，PC=1，B
39、Q=AP= = = ，BH= = =2四边形 ABCD 是正方形，DCAB，CQB=QBA由折叠可得CQB= CQB，QBA=CQB，MQ=MB设 QM=x，则有 MB=x，MH=x 2在 RtMHQ 中，根据勾股定理可得 x2=（x 2） 2+32，解得 x= QM 的长为 ；（3）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图四边形 ABCD 是正方形，BP=m，PC =n，QH=BC=AB=m+nBQ2=AP2=AB2+PB2，BH2=BQ2QH2=AB2+PB2AB2=PB2，BH=PB=m设 QM=x，则有 MB=QM=x， MH=xm在 RtMHQ 中，根据勾股定理可得 x2=（x m） 2
40、+（m+n） 2，解得 x=m+n+ ，AM=MBAB=m+n+ mn= AM 的长为 点评： 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握26 （10 分） （2015娄底）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求此抛物线的解析式；（2）以点 A 为圆心，作与直线 BC 相切的A，求A 的半径；（3）在直线 BC 上方的抛物线上任取一点 P，连接 PB，PC，请问： PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时
41、点 P 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）把 A、B 两点分别代入抛物线解析可求得 a 和 b，可求得抛物线解析式；（2）过 A 作 ADBC 于点 D，则 AD 为A 的半径，由条件可证明 ABDCBO，利用相似三角形的性质可求得AD 的长，可求得半径；（3）由待定系数法可求得直线 BC 解析式，过 P 作 PQy 轴，交直线 BC 于点 Q，交 x 轴于点 E，可设出 P、Q 的坐标，可表示出PQC 和PQB 的面积，可表示出 PBC 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得 P 点坐标解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（1，0
42、）和点 B（5，0） ，把 A、 B 两点坐标代入可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2+2x ；（2）过 A 作 ADBC 于点 D，如图 1，A 与 BC 相切，AD 为 A 的半径，由（1）可知 C（0， ） ，且 A（1，0） ，B（5，0） ，OB=5，AB=OBOA=4，OC= ，在 RtOBC 中，由勾股定理可得 BC= = = ，ADB=BOC=90，ABD=CBO，ABDCBO， = ，即 = ，解得 AD= ，即A 的半径为 ；（3）C（0， ） ，可设直线 BC 解析式为 y=kx ，把 B 点坐标代入可求得 k= ，直线 BC 的解析式为 y= x ，过 P 作 P
43、Qy 轴，交直线 BC 于点 Q，交 x 轴于点 E，如图 2，设 P（x ， x2+2x ） ，则 Q（x， x ） ，PQ=（ x2+2x ）（ x ） = x2+ x= （x ） 2+ ，SPBC=SPCQ+SPBQ= PQOE+ PQBE= PQ（OE +BE）= PQOB= PQ= （x ） 2+ ，当 x= 时，S PBC 有最大值 ，此时 P 点坐标为（ ， ） ，当 P 点坐标为（ ， ）时， PBC 的面积有最大值点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出A 的半径是解题的关键，在（3）中用P 点坐标表示出PBC 的面积是解题的关键本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强
