1、线性代数复习题一、选择题1、 课本 P44 第 5 题四元素乘积 是四阶行列式 （i,j=1,2,3,4）中的一项，i,k 的取值及该项24321kiaija前应冠以的符号，有下列四种可能情况：（1）i=3，k=1，前面冠以正号 (2)i=3,k=1,前面冠以负号（3）i=1, k=3,前面冠以正号 （4）i=1.k=3,前面冠以负号选项正确的是（C）A、1.3 正确 B、1.4 正确 C、2.3 正确 D、2.4 正确解：当 i=3,k=1 时，N(3241)+N(1432)=4+3=7,该项前面冠以负号当 i=1,k=3 时，N(1243)+N(1432)=1+3=4,该项前面冠以正号故选
2、择 C2、 课本 P44 第 7 题下列选项中不属于五阶行列式 （i,j=1,25）中的一项的是（C）ijaA、 B、54321a2534125aC、 D、15 14解：选项 C 中，N(15324)+N(32415)=4+4=8，前面应该冠以正号，而选项中是负号，故不属于五阶行列式中的一项3、 3、课本 P45 第 9 题若行列式 D= 则行列式 =（ A ）,13231a 32312114aaDA、-12 B、12 C、-24 D、24解： 3231213211323121 444 aaaa = =（12）*1=1232311)(*04、 课本 P45 第 9 题设行列式 D= ，则行列式
3、 =（ B ）32311a 3132131 22469aaaA、12D B、24D C、-24D D、36D解： =31332131 22469aaa 31321224aa=3（ + ）313122 3132214=3 =（-3）*（-2）31321224aa313212aa=6 =6（ + ）313212323143121=6 =6*4 =24D，故选择 B32314a3231a5、 课本 P46 第 12 题设 =1，则 a=( A )a012A、1/2 B、1/2 C、1 D、1解： =1* =（1）*（2a ）=2a=1,则 a=1/2,选择答案 Aa01241)(02a6、 课本 P
4、46 第 14 题中的 的代数余子式为（ B ）876543210aa7A、 B、 542632632542aaC、 D、1 8863解： 的代数余子式为 =-（ ）= ，7a0)1(65432a542632a632542a选择 B7、 课本 P47 第 17 题行列式 =（ C ）vudcyxba0A、abcd-xyuv B、adxv-bcyu C、 （ad-bc） （xv-yu） D、 （ab-cd） （xy-uv）解： =a* +c* =a（xdv-ydu）+c（byu-vudcyxba0vudyx0)1(vuyxb0)1(3bxv）=ad（xv-yu）+bc（yu-xv）=（ad-bc
5、） （xv-yu） ，选择答案 C8、 课本 P48 第 23 题若齐次线性方程组 有非零解，则 k 必须满足（ D ）02321xkA、k=4 B、k=1 C、k1 且 k4 D、k=1 或 k=4 解： = = =2kDkk032k132)(1=（-2k-1）(1+k)-3(1-k)=（1+k）(k-4)由于齐次线性方程组有非零解，所以 D=0，即（1+k）(k-4)=0,解得 k=-1 或者 k=4,选 D9、 课本 P48 第 24 题若第 8 题中的齐次线性方程组仅有零解，则 K 必须满足（ C ）A、k=4 B、k=1 C、k1 且 k4 D、k1 或 k4解：由于齐次线性方程组仅
6、有零解，则 D0，所以（1+k）(k-4)0，解得 k1 且k4，选 C10、 课本 P105 第 1 题有矩阵 ,下列矩阵运算可行的是（ B ）2*32*3,AA、AC B、ABC C、BAC D、AB-BC解：只有左边矩阵的列数与右边矩阵的行数一样，两者才可以相乘，如 是可以相乘的，但是 不可以相乘的。3*2 2*3CA11、 课本 P105 第 7 题设 C 是 m*n 矩阵，若有矩阵 A、B,使得 ,则 A 的行数*列数为（ B ）CTA、m*n B、n*m C、m*m D、n*n解：C 是 m*n 矩阵，则 是 n*m 矩阵T设 A 为 x 行，y 列矩阵，B 为 z 行，w 列矩阵
7、那么 mnnm*由于矩阵 A 可以左乘矩阵 C，那么可以得出 y=m假设 ，nxnmyxD* wnwzmnEB* =nxD*wE*x=n可见，A 是一个 n 行，m 列的矩阵，选择答案 B。12、 （必考）课本 P107 第 18 题设 A、B、C 均为 n 阶矩阵， I 为 n 阶单位矩阵，且 ABC=I，则下列矩阵乘积一定等于 I 的是（ C ）A、ACB B、BAC C、CAB D、CBA解：ABC=IAB 是 C 的逆矩阵，或者 BC 是 A 的逆矩阵我们知道矩阵左乘或者右乘逆矩阵，乘积都为 I即 CAB=I,或者 BCA=I，所以选择答案 C13、 课本 P108 第 26 题已知矩
8、阵 ，且 R（A）=2,则 a（ A ）124aAA、1 B、1 C、0 D、2解： = ，要使 R（A）=2，必须 ，则 a1，选24a14a21择 A14、 课本 P108 第 27 题设 m*n 矩阵 A 的秩等于 n，则必有（ D ）A、m=n B、mn C、mn D、mn解：只有当 mn 的情况下，矩阵 A 的秩等于 n15、 课本 P164 第 1 题有唯一解，则 =（ C ）)1(3)1(22331xA、1 或 2 B、-1 或 3 C、1 或 3 D、-1 或-3解：(AB)= )1(3102因为方程组有唯一解，那么 r（A）=r(AB)=n=3所以 解得 =1 或者 3，选择
9、答案 C)-(1)-(16、 课本 P164 第 2 题如果线性方程组 有无穷多解，则 =（ A ）)2()4(3(31321 x A、3 B、2 C、1 D、0解：(AB)= )2()4(301因为线性方程组有无穷多接，那么 r（A）=r(AB)n=3所以 ，解得 =3 或 5，选择答案 A2)-(43)-(17、 课本 P164 第 3 题如果线性方程组 无解，则 =（ B ）)4(3)2(132 xx A、3 或 4 B、1 或 2 C、1 或 3 D、2 或 4解：(AB)= )()(0应为线性方程组无解，那么那么 r（A）r(AB)所以 解得 =1 或 2，选择答案 B0)4(321
10、18、 （必考）课本 P165 第 10 题已知向量组 的秩为 2，则 t=（A）),540(),(),(321 ataaA、3 B、-3 C、2 D、-2解： = =20154t 2054t 051t因为向量组的秩为 2，那么 ，解得 t=3，选择答案 A1t二、填空题1、课本 P37 第 13 题（3）=612300010*)2893415(02894150289534 2、已知四阶行列式 D 中的第三列元素依次为-1,2,0,1，它们的余子式依次分别是为5,3，-7,4，求 D=（ -15 ）解： 154*)(103*)1(5*)1( 323 3、 （课本 95 页第 3 题）设 ， ，
11、 ，且 A+2B-C=0，求 x，y，u，v 的值yxA702vuBvxC4解：因为 A+2B-C=0所以 043vyx解得 x=-5，y=-6，u=4 ，v=-24、 （课本 95 页第 4 题）设 ， ， ， ，且 ,求120A031B10C10I IcCbBaAa，b，c 的值解： Ic所以 ，解得 a=1/3，b=0，c=-2/31032ab5、 （课本 99 页第 20 题）设 A 为三阶矩阵，若已知 ，求 。mA解：43)(m6、 （课本 99 页第 21 题）设 A 为 n 阶矩阵，若已知 ，求 .mAT2解：11*22 nnnnT mA7、 （课本 99 页第 23 题）已知
12、， ，求4132A01B10B解：B*B=B= I10*01IB5210)(*所以， 14230*413210AI8、 （课本 102 页第 52 题）设 A、B 为三阶矩阵，且 ,求3,2B1)(2BAT解： 11131 *8*8)()(2 ATTTT= =-123*28*8BA9、 （课本 159，第 4 题）已知向量 )0,51(),975(（1）如果 求（2）如果 ， 求23解：（1） ），（）（），（ 95,04,57930,1（2） 53)2,7()(10、 （课本 159 页第 5 题）已知向量 。)1,4(),10,(),312(32aa求（如 果 331a解： )(5)()2
13、（ )4.321(),8.6(1 )5.20().120()9.563321 aa三、计算题1、 （课本第 37 题 13（4） yxyxyxyyxy 1)2(2= )()()(01)2( 322yxxy 2、 xaxaxxaaxax 01)3(1)3(3 31 )(30)(*( xaxax 3、 （课本第 38 页 17（2） 、 （3） ）用行列式的性质，化下列行列式为上三角行列式，并求其值（2） 1032130219305214163 （3） 36407213107824130782413241 = 1640014、 （课本 102 页第 42 题）设矩阵 ，X 为三阶矩阵，且满足矩阵方
14、程 AX+I=A+X，求矩阵1203AX。解：AX+I=A+XAX-X= A-I(A-I)X= A-I(A-I) (A-I)X= (A-I) (A-I)11X= (A-I) (A-I)1A- I= 0210203(A-I) = 10A= 1829413*1203 0208942IX= (A-I) (A-I)= * =10120814220415、 （课本 104 页第 56 题）设 ，且满足 AB=A+2B,求矩阵 B。4103A解：AB=A+2BAB-2B=A（A-2I）B=A AIBIAI11)2()()2( B= 2101241032I)(1IAB= = I1)2( 3245103*26
15、、课本 144 页例 1求如下齐次线性方程组的一个基础解系07938254321431xx解：对增广矩阵 施以如下初等行变换：A= =0 079311825 0814720151= = =0047201301 0472013027103即原方程组与下面的方程组43217xx同解，其中 为自由未知量。让自由未知量 ，得方程组的解为43, 1043，分 别 取 值x102271，就是所给方程组的一个基础解系21，7、课本 148 页例 4用基础解系表示如下线性方程组的全部解。739183325421431xxxx解：对增广矩阵 施以如下初等行变换bA= = =b 73911825 84102715= =00427151 042771300074211373即原方程组与下面的方程组4321741xx同解，其中 为自由未知量。让自由未知量 ，得方程组的一个解为43, 043分 别 取 值x0741原方程组的导出组和方程组 43217xx同解，其中 为自由未知量。让自由未知量 ，得导出组的基础43,x 1043，分 别 取 值解系1074130172321，因此，所给方程组的全部解为 为 任 意 常 数 。 ）其 中 212121 ,(07430743cccx
