1、三章习题解答3.1 真空中半径为 a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷 q和 ，试计算球赤道平面上电通密度的通量 (如题 3.1 图所示)。解 由点电荷 q和 共同产生的电通密度为 34qRD223223()()rzrzaaee则球赤道平面上电通密度的通量 0ddzSSA23230()d4()aqarrr210()0.293qq3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 ar的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为 Ze的电子云，在球心有一正电荷 Ze（ 是原子序数， e是质子电荷量） ，通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314rarD，试证明之。解 位于球心的正电荷 Z
2、e球体内产生的电通量密度为 124rZDe原子内电子云的电荷体密度为 33aa电子云在原子内产生的电通量密度则为 22344rraZee故原子内总的电通量密度为 12231raZD3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 0Cm, 两圆柱面半径分别为 a和 b，轴线相距为 c)(ab，如题 3.3 图 ()a所示。求空间各部分的电场。解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为 0的两种电荷分布，这样在半径为 b的整个圆柱体内具有体密度为 0的均匀电荷分布，而在半径为 的整个圆柱体内则具有体密度为 0的均匀电荷分布，
3、如题 3.3 图 ()b所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在 br区域中，由高斯定律 0dSqEA，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P产qa赤道平面题 3.1 图题 3. 3 图 ()abc0生的电场分别为 2201rbrEe22010rarEe点 P处总的电场为 210()barE在 br且 a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P产生的电场分别为220re22200rarEe点 P处总的电场为 02()aE在 ar的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P产生的电场分别为203rre2030rrEe点 P处总的电场为 03 0()Ec3.4 半径为
4、a的球中充满密度 )r的体电荷，已知电位移分布为3254()rAraD其中 A为常数，试求电荷密度 ()r。解：由 A，有 21d()rrDr故在 ra区域 230 01d()54r在 区域 5422()aAr3.5 一个半径为 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量 Q。已知球内部的电场为4()raEe，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 2001d()rEA4320041d()6rra题 3. 3 图 abc0abc0abc0（2）球体内的
5、总电量 Q为 322004d6dara球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 ，而且在球壳外表面上还要感应电荷 Q，所以球壳外表面上的总电荷为 2 ，故球壳外表面上的电荷面密度为 0243.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 ra和 b()a，圆柱表面分别带有密度为1和 2的面电荷。 （1）计算各处的电位移 0D；（2）欲使 r区域内 0D，则 1和 2应具有什么关系？解 （1）由高斯定理0dSqA，当 ra时，有 01当 arb时，有 021r ，则 02rae当 时，有 32Db ，则 1203rbD（2）令 1203rabe，则得到 1ba3.7 计算在电场强度 xyEe的电场中把带电量为
6、2C的点电荷从点1(,)P移到点 2(8,)P时电场所做的功：（1）沿曲线 xy；（2）沿连接该两点的直线。解 （1）ddxyCCCWqFllA221()yx2 616d42810()qyqJ（2）连接点 1(2,)P到点 28,直线方程为y即 640xy故 W21dd(64)()dCqyxqy2 61()d1280()qqJ3.8 长度为 L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 0l。 （1）计算线电荷平分面上任意点的电位 ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E，并用 核对。解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P的电位为20
7、2d(,0)4LlzrrL2LPzro0l题 3.8 图 220ln()4Lzr022l()r0lnL（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元 zld0在点 P的电场为02dcoslrrEe 0232d()lrze故长为 L的线电荷在点 P的电场为202320d()Llrrze 2020()Llrzre0224()lrLe由 E求 ，有 220()ln2lLr220dl()lnlr re0222 12()()lr rrLL 0224()lrLe3.9 已知无限长均匀线电荷 l的电场 0lrEe，试用定义式()dPrElA求其电位函数。其中 Pr为电位参考点。解 000()ddlnln22P Pr
8、 rl Pr rElA由于是无限长的线电荷，不能将 选为无穷远点。3.10 一点电荷 q位于 (,)a，另一点电荷 q位于 (,)a，求空间的零电位面。解 两个点电荷 和 在空间产生的电位 222201(,) 4()()xyzxyzxyz令 (,)0xyz，则有 22220aa即 ()()xyzxyz故得 22254()()33xayza由此可见，零电位面是一个以点,0为球心、 为半径的球面。3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 2013()()4aZerr解 位于球心的正电荷 Ze在原子外产生的电通量密度为 124rZeD电子云在原子外产生的电通量密度则为 3224arrDe所以原子外
9、的电场为零。故原子内电位为 230011()d()d4aarraeD2013()aZrr3.12 电场中有一半径为 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 2)()cosrArr（1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解 （1）由 E，可得到 a时， 0Era时， 2 2()cos()cosr aAArree221(1)sinr are（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为 000cosrraanEeA3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足2（1） sin()hzkxlye其中 22kl；（2） co
10、si()r 圆柱坐标；（3）圆柱坐标；（4） s 球坐标；（5）2r球坐标。解 （1）在直角坐标系中 22xyz而 2 2sin()sin()hz hzkxlyeklex2 2sin()sin()hz hzkxlyelkxlyey2i iz zl lz故 22()si()0hzkhkxlye（2）在圆柱坐标系中 221r而 1()cos()in()nrrA cos()in()nrA22n2cos()in()0rz故 20（3） 211()cos()cos()nnrrr22()n2cos0rz故 2（4）在球坐标系中 222 2111()(sin)i sinr r而 221()cosr r2 2
11、1sinin(cos)i ir2(srr2221co)0sininrr故 0（5） 222()(s)csrrrr2 211sinin(o)i i22 41(sin)cossinrrr221co0sinir故 203.14 已知 0y的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解 ?（1） coshex；（2） y；（3） 2in（4） zsi。解 （1）222(coh)(cosh)(cosh)yyyexexexxz2cosh0yex所以函数 ys不是 0空间中的电位的解；（2） 222()(s)(s)yyyzssyy所以函数 xeycos是 空间中可能的电位的解；（3） 222(sin)
12、(cosin)(coin)y y yxexexz224cosi 0ye所以函数 xeyico2不是 0空间中的电位的解；（4） 22(sni)(insi)(sini)zxyzxyzy3sx所以函数 yxii不是 0空间中的电位的解。3.15 中心位于原点，边长为 L的电介质立方体的极化强度矢量为 0()xyzPe。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。解 （1） 03PA220()xLxLxnePAP xP同理 0()()()()222PPLyyzz（2） 3200d6PS LqA3.16 一半径为 0R的介质球，介电常数为 r，其内均匀分布自由电荷 ，证明中心
13、点的电位为 2021()3rR解 由dSqDA，可得到0rR时， 3214r即 ， 1003rrDE0r时， 3204Rr即 2D， 30122Rr故中心点的电位为 0 00 0312 2()dd3RRrRErr2 20 01()633rr R3.17 一个半径为 的介质球，介电常数为 ，球内的极化强度 rKPe，其中 为一常数。 （1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 221d()prrA在 rR的球面上，束缚电荷面密度为 rrRRnPe（2）由于 0DEP，所以 00DEDPAAA即 (1)A
14、由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2000()pKrAA总的自由电荷量 20014ddRKRKqr（3）介质球内、外的电场强度分别为 100()rPEe()r2224rrqRR介质球内、外的电位分别为 112ddRrrElA200dd()()RrRKKrrln()rR2 20dd()rrEr0()R3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度 P的表达式。解 （1）由 0D，得束缚电荷体密度为 0PDEAA在介质内没有自由电荷密度时， 0A，则有 0E由于 E，有 ()EA所以 由此可见，当电介质不均匀时， A可能不为零，故在不均匀电介
15、质中可能存在束缚电荷体密度。（2）束缚电荷密度 P的表达式为 00PEA3.19 两种电介质的相对介电常数分别为 1r=2 和 2r=3，其分界面为 z=0 平面。如果已知介质 1 中的电场的 123(5)xyzEee那么对于介质 2 中的 和 D，我们可得到什么结果？能否求出介质 2 中任意点的 2E和 D？解 设在介质 2 中 22(,0)(,0)(,0)(,0)xyzyExxyeee23r在 0z处，由 12zeE和 12zA，可得02(,)(,)50xyxyz xee于是得到 2(,)x3yEx2,1z故得到介质 2 中的 和 2D在 0z处的表达式分别为 20(,)()(69xyzy
16、xeeD不能求出介质 2 中任意点的 2E和 。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。3.20 电场中一半径为 a、介电常数为 的介质球，已知球内、外的电位函数分别为3010 2coscosEraEra203验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解 在球表面上0010 3(,)coscoscos22aEaEEa203,1000()3coscoscos22ra203rE故有 12(,)(,)a， 12rara可见 和 2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为 202()prarnPeEAA020 03()()cosraE3.21 平行板电容器的长、宽分
17、别为 a和 b，极板间距离为 d。电容器的一半厚度( 2d)用介电常数为 的电介质填充，如题 3.21 图所示。(1)(1) 板上外加电压 0U，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2)(2) 若已知板上的自由电荷总量为 Q，求此时极板间电压和束缚电荷；(3)(3) 求电容器的电容量。解 （1） 设介质中的电场为 zEe，空气中的电场为 0Eze。由 D0，有0又由于 2Ud由以上两式解得02()E，00()E故下极板的自由电荷面密度为 0d上上极板的自由电荷面密度为 02()U上 题 3.21 图 0U2d电介质中的极化强度 0002()()zUdPEe故下表面上的束缚电荷面密度为 0()p
18、zPA上上表面上的束缚电荷面密度为 2zde上（2）由 0()UQab得到 02故 ()pab上0Q上（3）电容器的电容为 02()CUd3.22 厚度为 t、介电常数为 04的无限大介质板，放置于均匀电场 E中，板与 0成角 1，如题 3.22 图所示。求：（1）使 2的 1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 012tan由此得到 111020tantttan4（2）设介质板中的电场为 E，根据分界面上的边界条件，有 0nE，即01cosn所以 0cos14n介质板左表面的束缚电荷面密度 0003()cos14.728pn E介质板右表面
19、的束缚电荷面密度 0.4E3.23 在介电常数为 的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的 和 0D：（1）平行于 E的针形空腔；（2）底面垂直于 的薄盘形空腔；（3）小球形空腔（见第四章 4.14 题） 。解 （1）对于平行于 的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有 0E。故在针形空腔中 0， 00DE题 3.22 图 0E0E102（2）对于底面垂直于 E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有 0D。故在薄盘形空腔中 0D，0DE3.24 在面积为 S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板 ()y处的 1一直变化到另一极板 ()yd处的 2，试求电容量。
20、解 由题意可知，介质的介电常数为 121()yd设平行板电容器的极板上带电量分别为 q，由高斯定理可得yDS121()yEydS所以，两极板的电位差 22100d ln()yqqdUy故电容量为 21()lnSqC3.25 一体密度为73.3Cm的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为 2m，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。解 在质子束内部，由高斯定理可得 2012rE故 74120.3.3V28540r rE3(10)r在质子束外部，有 0ra故 2762120.31.3m854rar3(10)r3.26 考虑一块电导率不为零的电介质 (,)，设其介质特性和导电特性都是
21、不均匀的。证明当介质中有恒定电流 J时，体积内将出现自由电荷，体密度为 JA。试问有没有束缚体电荷 P？若有则进一步求出 P。解 ()()()DEJAA对于恒定电流，有 0J，故得到 介质中有束缚体电荷 P，且 00()()P JAAA00()()()JA3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为 a，外导体内半径为 c，介质的分界面半径为 b。两层介质的介电常数为 1和 2，电导率为 1和 2。设内导体的电压为 0U，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流
22、为 I，则由dSIJA，可得电流密度2rIJe()arc介质中的电场 11rEb22rIe()rc由于 01dbcabUA12lnlIab于是得到 1202ln()l()UIcb故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 1202l()ln()raJe()arc11rbcbEb022ln()l()rUae()rc（2）由 nDA可得，介质 1 内表面的电荷面密度为 12012l()ln()rabb介质 2 外表面的电荷面密度为 21022l()l()rcUaceEA两种介质分界面上的电荷面密度为 1212()rrrb1210ln()l()cb（3）同轴线单位长度的漏电阻为 0212aRI由静电比拟
23、，可得同轴线单位长度的电容为 2ln()l()Cbcb3.28 半径为 1R和 2)(21的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为 、电导率为 0()Kr的导电媒质( 为常数)。若内导体球面的电位为 0U，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。解 设由内导体流向外导体的电流为 I，由于电流密度成球对称分布，所以122()4rIRrJe电场强度 0)rKE由两导体间的电压 22110dd4()RRIUrA210()ln4RKI可得到 0214()lnIRK所以 0212()lrJe媒质中的电荷体密度为 20212()()()lnKUrRJA媒质内、外表面
24、上的电荷面密度分别为 101 121()()lnrRKeJA202 221()()lrRUR（2）两理想导体球面间的电阻 021()ln4UIK3.29 电导率为 的无界均匀电介质内，有两个半径分别为 1R和 2的理想导体小球，两球之间的距离为 ),(21Rd，试求两小导体球面间的电阻。解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷 q和 ，由于两球间的距离 1Rd、 2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷 和 q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。设两小球分别带电荷 q和 ，由于 1Rd、 2，可得到两小球
25、表面的电位为112()421d所以两小导体球面间的电容为 1212124qCRdR由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 1212IGd故两个小导体球面间的电阻为 12()4RRdR3.30 在一块厚度 d的导电板上， 由两个半径为 r和 的圆弧和夹角为 的两半径割出的一块扇形体，如题 3.30 图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿 方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为 。解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为 1U，则有 dE11J211()ISr故得到沿厚度方向的电阻为121()UdRIr（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为 2I，则rdSJ22rdIJE21
26、221lnrIUE故得到两圆弧面之间的电阻为221lnrRId（3）设沿 方向的两电极的电压为 3U，则有 30dEr由于 E与 无关，所以得到 33reJE2313321dlnrSUdrIeA题 3.30 图1r2rdJ故得到沿 方向的电阻为 321ln()URIdr3.31 圆柱形电容器外导体内半径为 b，内导体半径为 a。当外加电压 U固定时，在 b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值 minE的内导体半径 的值和这个 minE的值。解 设内导体单位长度带电荷为 l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为0()2Er由内外导体间的电压 0dln2bblaabUra得到 0
27、2ln()由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 )ln()(abrUE在圆柱形电容器中， ar处的电场强度最大 )l()(a令 )(aE对 的导数为零，即 0ln1)(2baE由此得到 1)/ln(b故有 78.2ebUmin3.32 证明：同轴线单位长度的静电储能 eW等于2lqC。 l为单位长度上的电荷量， C为单位长度上的电容。解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 ()2lqEr内外导体间的电压为 dln2bblaabUErra则同轴线单位长度的电容为 2l()qCU同轴线单位长度的静电储能为 221d()dbleaqWEr 2211ln()lqqbaC3.33 如题
28、 3.33 图所示，一半径为 、带电量 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为 1和 2，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上 12ttE，故有 2E。由于 1DE、 2，所以 12D。由高斯定理，得到Sq即 212rr所以 21()qEr导体球的电位 21()dd()aar12()qa故导体球的电容 2()qC（2） 总的静电能量为 21()4)eqWa3.34 把一带电量 q、半径为 a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电
29、荷受到的静电力 f，然后在半球面上对 f积分，求出两半球之间的电场力。导体球的电容为 04C故静电能量为 208eqWa根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力 2222 40011()4483eqf a方向沿导体球表面的外法向，即 24rrfe这里 sincosincosrxyzeee在半球面上对 f积分，即得到两半球之间的静电力为 22400did3rqSaF240cosind3zaq203zqae3.35 如题 3.35 图所示，两平行的金属板，板间距离为 d，竖直地插入在电容率为 的液体中，两板间加电压 U，证明液面升高 201()2Uhgd其中 为液体的质量密度。解 设金
30、属板的宽度为 a、高度为 L。当金属板间的液面升高为 h时，其电容为0()Cda21oq题 3.33 图金属板间的静电能量为 201()eaUWChLd液体受到竖直向上的静电力为 20()eFh而液体所受重力 gmadge与 g相平衡，即 20()Uh故得到液面上升的高度 22001()Uhdgd3.36 可变空气电容器，当动片由 0至 18电容量由 5至 3Fp直线地变化，当动片为角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为 0U4V。解 当动片为 角时，电容器的电容为 12352.F(2.8)180CP此时电容器中的静电能量为 210 015.eWC作用于动片上的力矩为 2704TU
31、Nm3.37 平行板电容器的电容是 0Sd，其中 是板的面积， d为间距，忽略边缘效应。（1）如果把一块厚度为 的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题 3.37()a图所示。则在原电容器电压 U一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？（2）如果在电荷 q一定的条件下，将一块横截面为 S、介电常数为 的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入，如题 3.37 ()b图所示，则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？ 解 （1）在电压 0U一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为 dE0电容为 0SCd静电能量为 22001eSUWd当插入金属板后，电容器中的
32、电场为 0Ed题 3.35 图 dULh0S题 3.37 图 ()a dd此时静电能量和电容分别为 22001()2()eUSUWSdd0C故电容器的电容及能量的改变量分别为 00()SSdd20()eeUW（2）在电荷 q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 00qES静电能量为 2200edCS当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件 ttE21，有 21再由高斯定理可得 0()SSq于是得到极板间的电场为 两极板间的电位差位 0()dUES此时的静电能量为 2012eqWq其电容为 0()SCd故电容器的电容及能量的改变量分别为 0()SCd200()12eqdS3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解 E的微分方程而得解决。（1）证明：有源区 E的微分方程为20tE， tP；（2）证明： 的解是 01d4tR解 （1）由 ，可得 ()，即2()0EA又 00PDA题 3.37 图 ()b 0qdSS故得到 200()tPE（2）在直角坐标系中t的三个分量方程为201tx，201ty，201tzE其解分别为 0d4txERx1tyy0d4tzz故 xyEee01dtttxyzRe01d4tR3.39 证明：()dt解 由于 31t t tt tR，所以 03()dd4dt t ttR E由题 3.38(2)可知 04t故 00()dt
