1、电磁场与电磁波习题解答 第七章 正弦电磁波7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向 en（e n 为单位矢量）传播的平面波可写成j()enrtmE。解 Em 为常矢量。在直角坐标中故则而故可见，已知的()njertm满足波动方程故 E 表示沿 en 方向传播的平面波。7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为式中取显然，E 1 和 E2 分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/myzttzEe，试求磁场强度(,)ztH。解 以余弦为基准，重新写出已知的电场
2、表示式这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 9。与之相伴的磁场为7.4 均匀平面波的磁场强度 H 的振幅为1A/3，以相位常数 30rad/m 在空气中沿ze方向传播。当 t=0 和 z=0 时，若 H 的取向为 ye，试写出 E 和 H 的表示式，并求出波的频率和波长。解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式与之相伴的电场为由 rad/m得波长 和频率 f分别为则磁场和电场分别为7.5 一个在空气中沿 ye方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为（1）求 和在 3st时， 0zH的位置；（2）写出 E 的瞬时表示式。解（1）7081rad/mra/0.15rad/m
3、33在 t=3ms 时，欲使 Hz=0，则要求若取 n=0，解得 y=899992.m。考虑到波长26，故因此，t=3ms 时， Hz=0 的位置为（2）电场的瞬时表示式为7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为 0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为 0.09m。设 1r，试求理想介质的相对介电常数 r以及在该介质中的波速。解 在自由空间，波的相速8031m/spvc，故波的频率为在理想介质中，波长 .9m，故波的相速为而故7.7 海水的电导率 4S/m，相对介电常数 81r。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz 、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰
4、减系数和波阻抗。解 先判定海水在各频率下的属性可见，当710Hzf时，满足1，海水可视为良导体。此时f=10kHz 时f=100kHz 时f=1MHz 时f=10MHz 时当 f=100MHz 以上时，1不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，f=100MHz 时f=1GHz 时7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为 55dB/。证明 在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时故场量的衰减因子为即场量的振幅经过 z = 的距离后衰减到起始值的 0.002。用分贝表示。7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数 0.524rad/m，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为 1
5、.8rad/m。设 1r，求理想电介质的 r和波在电介质中的传播速度。解 自由空间的相位常数 00，故在理想电介质中，相位常数 01.8rad/sr，故电介质中的波速则为7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为 12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为 8cm，且已知此时的 |5V/mE， |0.1A/H。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的 r、 。解 自由空间中，波的相速831/spvc，故波的频率为在无损耗媒质中，波的相速为故 8012r（1）无损耗媒质中的波阻抗为 0| 5.1rH（2）联解式（1）和式（2） ，得7.11 一个频率为 f=3GHz，e y 方向极化的均匀
6、平面波在 .5r，损耗正切2tan10的非磁性媒质中沿 ()x方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在 x=0 处的950sin(61)V/m3ytEe，写出 H(x,t)的表示式。解 （1）2990 1802 3.512.506rf 故而该媒质在 f=3GHz 时可视为弱导电媒质，故衰减常数为由 2xe得（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为而相位常数故波长和相速分别为（3）在 x=0 处，故则故7.12 有一线极化的均匀平面波在海水( 80,1,4/rrSm)中沿+ y 方向传播，其磁场强度在 y=0 处为（1）求衰减常数、相位常数、本
7、征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出 H 的振幅为0.01A/m 时的位置；（3）写出 E(y,t)和 H(y,t)的表示式。解 （1）1010944360.1888可见，在角频率 时，海水为一般有损耗媒质，故（2）由 .ye即 .得（3）83.910(,)0sin(3)A/mxt tyH其复数形式为故电场的复数表示式为则7.13 在自由空间（z0 的区域，求 2(,)Hzt。解 690.4.15可见，在 f=1.5MHz 的频率该导体可视为良导体。故分界面上的透射系数为入射波电场的复数表示式可写为则 z0 区域的透射波电场的复数形式为与之相伴的磁场为则7.14 一圆极化波垂直入射到一介质
8、板上，入射波电场为求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？解 设媒质 1 为空气，其本征阻抗为 0；介质板的本征阻抗为 2。故分界面上的反射系数和透射系数分别为式中都是实数，故 ,也是实数。反射波的电场为可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z 方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。透射波的电场为式中， 2202r是媒质 2 中的相位常数。可见，透射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。7.15 均匀平面波的电场振幅01V/mjmEe，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介
9、质的 20202,4,） ，求反射波和透射波的电场振幅。解 10反射系数为透射系数为故反射波的电场振幅为透射波的电场振幅为7.16 最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数 02.8，问介质板的厚度应为多少方可使频率为 3GHz 的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为 3.1GHz 及 2.9GHz 时，反射增大多少？题 7.16 图解 天线罩示意图如题 7.16 图所示。介质板的本征阻抗为 2，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为 1和 3。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。设媒质 1 中的入射波电场只有 x 分量，则在题
10、7.16 图所示坐标下，入射波电场可表示为而媒质 1 中的反射波电场为与之相伴的磁场为故媒质 1 中的总电场和总磁场分别为 1111()()11()()jzdjzdxmxmj jyyEeeE EH（1）同样，可写出媒质 2 中的总电场和总磁场 2212222jzjxmxmjjzyyeeE（2）媒质 3 中只有透射波 333jzxmjyeEH（3）在式（1） 、 （2） 、 （3）中，通常已知入射波电场振幅 1mE，而 2、 m、 2E和 m为待求量。利用两个分界面和上的四个边界条件方程即可确定它们。在分界面处，即 z=0 处，应有 2323,xyEH。由式（2）和（3）得23211()mmE（
11、4）由式（4）可得出分界面上的反射系数 232mE（5）在分界面处，即 z=-d 处，应有 12x， 12yH。由式（1）和（2）得2 22222112()()()()jjdjdjdmmmjj jjdeEee（6）将分界面上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗） ，由式（1）得11()mmefEE（7）将式（6）代入式（7）得 22jdjdef e（8）将式（5）代入式（8） ，并应用欧拉公式，得 322tanefjd（9）再由式（7）得分界面上的反射系数 11efmE（10）显然，若分界面上的等效波阻抗 ef等于媒质 1 的本征阻抗 1，则 10，即分界面上无反射。通常天线罩
12、的内、外都是空气，即 30，由式（9）得欲使上式成立，必须 2,2,dn 。故频率 f0=3GHz 时则当频率偏移到 f1=3.1GHz 时，故而故此时的等效波阻抗为反射系数为即频率偏移到 3.1GHz 时，反射将增大 6%。同样的方法可计算出频率下偏到 2.9GHzf时，反射将增加约 5%。讨论（1）上述分析方法可推广到 n 层媒质的情况，通常是把坐标原点 O 选在最右侧的分界面上较为方便。（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9） ，可以得出一种很有用的特殊情况（注意：此时 13） 。取24d，则有由式（9）得若取 213，则此时，分界面上的反射系数为即电磁波从媒质 1 入射到分界面时，不产
13、生反射。可见，厚度 24d的介质板，当其本征阻抗 23时，有消除反射的作用。7.17 题 7.17 图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度 34d的理想介质膜，又在介质膜上涂一层厚度为 d2 的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。解 题 7.17 图中，区域（1 ）为空气，其波阻抗为区域（2）为良导体，其波阻抗为区域（3）为理想介质，其波阻抗为区域（4）为理想导体 4()，其波阻抗为利用题 7.16 导出的公式（9） ，分界面上的等效波阻抗为应用相同的方法可导出分界面上的等效波阻抗计算公式可得 222tanhefef fd （1）式中的 2是良导体中
14、波的传播常数， 2t为双曲正切函数。将 ef 代入式（1） ，得 2tanhefd（2）由于良导体涂层很薄，满足 21，故可取 22tanhd，则式（2）变为2ef（3）分界面上的反射系数为可见，欲使区域（1）中无反射，必须使故由式（3）得 20d（4）将良导体中的传播常数4522je和波阻抗4522je代入式（4） ，得这样，只要取理想介质层的厚度 3，而良导体涂层的厚度322.610d，就可消除分界面上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体d1 d2 z x O 题 7.1图 表面（即分界面上
15、产生全反射，则在离该表面 34处（即分界面出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为 d2 的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。7.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为 2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。解 自由空间的总电场为式中是分界面上的反射系数。驻波比的定义为得据此求得因介质平面上是驻波最小点，故应取反射系数得则7.19 如题 7.19 图所示，z0 区域的媒质介电常数为 2，在此媒质前置有厚度为 d、介电常数为 1的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的 TEM 波，试证明当 12rr且rd4时，没有反射（ 为自
16、由空间的波长） 。解 媒质 1 中的波阻抗为 0101rr（1）媒质 2 中的波阻抗为 021 022rr（2）当 12rr时，由式（1）和（2）得 20102rr（3）而分界面 O1 处（即 zd处）的等效波阻抗为当 4rd、即14时 2ef（4）分界面 O1 处的反射系数为 0ef（5）将式（3）和（4）代入式（5） ，则得即1214rrrd且时，分界面 O1 上无反射。14d的介质层称为匹配层。7.20 垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为试求穿过 r=1 000m 的半球壳的平均功率。解 将电场、磁场写成复数形式平均坡印廷矢量为故穿过 r=1000m 的半球壳的平均功率为式中
17、 dS 为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是故7.21 在自由空间中， 150sin()V/mxtzEe。试求 0z平面内的边长为30mm 和 15mm 长方形面积的总功率。解 将已知的电场写成复数形式得与 ()zE相伴的磁场故平均坡印廷矢量为则穿过 z=0 平面上 23015mS的长方形面积的总功率为7.22 均匀平面波的电场强度为（1）运用麦克斯韦方程求出 H：（2）若该波在 z=0 处迁到一理想导体平面，求出z0 区域内的 E 和 H；（3）求理想导体上的电流密度。解 （1）将已知的电场写成复数形式由 0j得写成瞬时值表示式（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电
18、场为即 0z区域内的反射波电场为与之相伴的反射波磁场为至此，即可求出 0z区域内的总电场 E 和总磁场 H。故同样故（3）理想导体平面上的电流密度为7.23 在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平面前的自由空间中，合成波的驻波比为 3，无损耗介质内透射波的波长是自由空间波长的16。试求介质的相对磁导率 r和相对介电常数 r。解 在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为由此求出反射系数设在介质平面上得到驻波最小点，故取12。而反射系数为式中的 102，则得求得得 19r（1）又得 36r（2）联解式（1）和（2）得7.24 均匀平面波的电场强度为610jzx
19、eE，该波从空气垂直入射到有损耗媒质2(2.5, 0.5)r 损 耗 角 正 切 tan的分界面上（z=0） ，如题 7.24 图所示。 （1）求反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印廷矢量。解（1）根据已知条件求得如下参数。在空气中（媒质 1）在有损耗媒质中分界面上的反射系数为透射系数为故反射波的电场和磁场的复数表示式为则其瞬时表示式为而媒质 2 中的透射波电场和磁场为故其瞬时表示式为（2） *111ReRe22avavSEHE7.25 一右旋圆极化波垂直入射到位于 z=0 的理想导体板上，其电场强度的复数表示式为（1）确定反射波的极化方式；（2）
20、求导体板上的感应电流；（3）以余弦为基准，写出总电场强度的瞬时值表示式。解 （1）设反射波的电场强度为据理想导体的边界条件，在 z=0 时应有故得则可见，反射波是一个沿 z方向传播的左旋圆极化波。（2）入射波的磁场为反射波的磁场为故合成波的磁场为则导体板上的感应电流为（3）合成电场的复数表示式为故其瞬时表示式为7.26 如题 7.26 图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到 z=0 的理想导体平面上，其电场强度的复数表示式为（1）求波的频率和波长；（2）以余弦函数为基准，写出入射波电场和磁场的瞬时表示式；（3）确定入射角；（4）求反射波电场和磁场的复数表示式；（5）求合成波电场和磁场的复数表
21、示式。解 （1）由已知条件知入射波的波矢量为故波长为频率为（2）入射波传播方向的单位矢量为入射波的磁场复数表示式为则得其瞬时表示式而电场的瞬时表示式为（3）由 cosiziik，得 810ziik故 36.9i（4）据斯耐尔反射定律知 .ri，反射波的波矢量为而垂直极化波对理想导体平面斜入射时，反射系数 1。故反射波的电场为与之相伴的磁场为（5）合成波的电场为合成波的磁场为7.27 一个线极化平面波从自由空间入射到 4,1rr的电介质分界面上，如果入射波的电场矢量与入射面的夹角为 45。试求：（1）入射角为何值时，反射波只有垂直极化波；（2）此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几？解 （1）
22、由已知条件知入射波中包括垂直极化分量和平行极化分量，且两分量的大小相等 0iE。当入射角 i等于布儒斯特角 B时，平行极化波将无反射，反射波中就只有垂直极化分量。（2） 63.4i时，垂直极化分量的反射系数为故反射波的平均功率流为而入射波的平均功率流为可见，7.28 垂直极化波从水下的波源以入射角 20i投射到水与空气的分界面上。水的81,rr，试求：（1）临界角 c；（2）反射系数 ；（3）透射系数 ；（4）波在空气中传播一个波长距离时的衰减量。解 （1）临界角为（2）反射系数为（3）透射系数为（4）由于 ic，故此时将产生全反射。由斯耐尔折射定律得此时式中取“ 2.91j”，是考虑到避免 z时，场的振幅出现无穷大的情况。这是因为空气中的透射波电场的空间变化因子为由上式即得透射波传播一个波长时的衰减量为
