1、1将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P，再马上赶到河 OB 上的某一位置 Q，然后立即返回校场 N请为将军重新设计一条路线(即选择点 P 和 Q)，使得总路程 MPPQQN 最短【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P，再马上赶到河OB 上的某一位置 Q请为将军设计一条路线(即选择点 P 和 Q)，使得总路程 MPPQ 最短3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为 a，沿河 OB 排开(从点 P 到点 Q)；将军从马棚 M 出发到达队头 P，从
2、P 至 Q 检阅队伍后再赶到校场 N请问：在什么位置列队(即选择点 P 和 Q)，可以使得将军走的总路程 MPPQQN 最短?4. 如图，点 M 在锐角AOB 内部，在 OB 边上求作一点 P，使点 P 到点 M 的距离与点 P 到OA 边的距离之和最小25 已知MON 内有一点 P，P 关于 OM，ON 的对称点分别是 和 ， 分别交 OM, ON 于点 A、B，已知 15，则PAB 的周长为（ ）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知AOB，试在AOB 内确定一点 P，如图，使 P 到 OA、OB 的距离相等，并且到 M、N两点的距离也相等.7、已知MON40，P 为MO
3、N 内一定点，OM 上有一点 A，ON 上有一点 B，当PAB 的周长取最小值时，求APB 的度数.8. 如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD4，连接 BD，BDCD，ADBC.若 P 是BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为_.练习1、已知点 在直线 外，点 为直线 上的一个动点，探究是否存在一个定点 ，当点AlPl B在直线 上运动时，点 与 、 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 ；若不PlAB存在，请说明理由32、 如图，在公路 的同旁有两个仓库 、 ，现需要建一货物中转站，要求到 、 两aABAB仓库的距离和最短，这个中转站 应建在公路旁的哪个位置比较合理？MaBA3、
4、已知： 、 两点在直线 的同侧， 在 上求作一点 ，使得 最小ABllM|AB4、如图，正方形 中， ， 是 上的一点，且 ， 是 上的一动CD8ADC2DNC点，求 的最小值与最大值NMNMDCBA5、如图，已知AOB 内有一点 P，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、F，使得PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。6、如图，直角坐标系中有两点 A、B,在坐标轴上找两点 C、D,使得四边形 ABCD 的周长最小。.A. B47、如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近
5、？8、 ,当 x 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小4)9(122xxy值.9、在平面直角坐标系中，A(1，-3)、B(4，-1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形 PABN 的周长最小时，求 a 的值.10、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=CD=AD=2，D=120，点 E、F 是底边 AD 与 BC 的中点，连接 EF，在线段 EF 上找一点 P，使 BP+AP 最短练习1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A等边三角形 B矩形 C等腰梯形 D平
6、行四边形3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是54、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲） 结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行6、对右图的对
7、称性表述，正确的是（ ） A轴对称图形 B中心对称图形 C既是轴对称图形又是中心对称图形 D既不是轴对称图形又不是中心对称图形7、如图， A B C是由 ABC 经过变换得到的，则这个变换过程是（A）平移 （B）轴对称 （C）旋转 （D）平移后再轴对称CBABBCABCC68、如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、 C 的坐标分别为（3，0） ， （0，1） ，点 D 是线段BC 上的动点（与端点 B、 C 不重合） ，过点 D 作直线 交折线 OAB 于点y2xbE（1）记 ODE 的面积为 S，求 S 关于 的函数关系式；b（2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直
8、线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1，9、探究 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.C D BAEO xy【答案】 （1）由题意得 B（3，1） 若直线经过点 A（3，0）时，则 b 2若直线经过点 B（3，1）时，则 b 5若直线经过点 C（0，1）时，则 b1若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1 b ，如图 25-a，32图 1DE xyC BAO此时 E（2b，0） S OECO 2b1 b12若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 b ，如图 2325 DE xyC BAO图 27
9、此时 E（3， ） ， D（2 b2，1） S S 矩 ( S OCD S OAE S DBE ) 3 (2b1)1 (52 b)( ) 3( )15123b25b 23552bSb（2）如图 3，设 O1A1与 CB 相交于点 M， OA 与 C1B1相交于点 N，则矩形 OA1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图 3HNMC1A1B1O1DE xyC BAO由题意知， DM NE， DN ME，四边形 DNEM 为平行四边形根据轴对称知， MED NED又 MDE NED， MED MDE， MD ME，平行四
10、边形 DNEM 为菱形过点 D 作 DH OA，垂足为 H，由题易知，tan DEN ， DH1， HE2，2设菱形 DNEM 的边长为 a，则在 Rt DHM 中，由勾股定理知： ，22()1a54 S 四边形 DNEM NEDH 54矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 10如图，在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（0,1） ，B（-1,1） ，C（-1,3） 。（1）画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1，并写出点 C1的坐标；（2）画出ABC 绕原点 O 顺时针方向旋转 90后得到的A 2B2C2，并写出点 C2的坐标
11、；，（3）将A 2B2C2平移得到 A 3B3C3，使点 A2的对应点是 A3，点 B2的对应点是 B3，点 C2的对应点是 C3（4，-1） ，在坐标系中画出 A 3B3C3，并写出点 A3，B 3的坐标。8【答案】（1）C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)11、分别按下列要求解答：（1）在图 1 中,将 ABC 先向左平移 5 个单位,再作关于直线 AB 的 轴 对 称 图 形 ,经 两 次 变换 后 得 到 A1B1 C1.画 出 A1B1C1；（2）在图 2 中, ABC 经变换得到 A2B2C2.描述变换过程.0 1 2 3 4 5 6
12、7 8 9 10 1211121110987654321A BCA2B2C290 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211121110987654321A BC【答案】(1) 如图 (2) 将 ABC 先关于点 A 作中心对称图形,再向左平移2 个单位,得到 A2B2C2 （变换过程不唯一）12、(1)观察发现如题 26(a)图，若点 A，B 在直线 同侧，在直线 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小ll做法如下：作点 B 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点就是所求的点 PABl再如题 26(b)图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高
13、，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 题 18(a)图 题 18(b)图 (2)实践运用如题 26(c)图，已知O 的直径 CD 为 4，AD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直AD径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值10题 18(c)图 题 18(d)图(3)拓展延伸 如题 26(d)图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法 【答案】解：
14、（1） ；3（2）如图：作点 B 关于 CD 的对称点 E，则点 E 正好在圆周上，连接 OA、OB、OE，连接 AE 交 CD 与一点 P，AP+BP 最短，因为 AD 的度数为 60，点 B 是 的中点，AD所以AEB=15，因为 B 关于 CD 的对称点 E，所以BOE=60，所以OBE 为等边三角形，所以OEB=60，所以OEA=45，又因为 OA=OE，所以OAE 为等腰直角三角形，所以 AE= .2（3）找 B 关于 AC 对称点 E，连 DE 延长交 AC 于 P 即可，13、如图所示，A、B 两村之间有一条河，河宽为 a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（）要使 AB 两村路程最近，请确定修桥的地点。 （）桥建在何处才能使 AB 两村到桥的11距离相等？
