1、15.4 数列的通项及数列求和 （第二课时）石嘴山市第一中学 王玲考向一：错位相减法例 1: 求数列 1，3a，5a 2，7a 3， (2n-1)a n-1， ( ) 1a前 n 项和。分析：此数列的每一项中的字母部分 a0, a1, a2, , an-1 构成以 a 为公比的等比数列a n,每一项中的系数部分 1，3，5，7，（2n-1）构成以 2 为公差的等差数列b n。我们不妨把这种数列称为“差比数列 ”cn。则 有 cn= an .bn 实际上，我们学过的等比数列也就是一种特殊的差比数列，由此可知， 这类数列的求和问题可用“ 错位相减法 ”解决。乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，
2、但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大， 应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养解: 因 sn= 1+3a+5a2+7a3+ +(2n-1)an-1乘以 a 得：a.s n= a+3a2+5a3+7a4+(2n-3)an-1+(2n-1)an. （设制错位）- 得：(1-a)s n= 1+2a+2a2+2a3+ +2an-1+(2n-1)an （错位相减 ）=2(1+a+a2+a3+an-1)-(2n-1)an-1aannn 121s所 以 ：迁移发散 1、 （1）求数列 , , , , , 的前 n 项和 Sn，并证明：2 Sn4.21483n2分析：由于 =n 是由等差数列a
3、n和等比数列 相乘而形成，可称之为差比数列。n 1因此，可采用推导等比数列求和公式的方法（错项相减）求和。2迁移发散（2）求和：S n=1+2x+3x2+4x3+.+nxn-1考向二：裂项相消法例 2: (07 福建 )数列 na的前 项和为 nS，若 1()na，则 Sn =？分析：本题是将数列中的每一项裂成两项之差，除首尾两项（有时也可能是首尾若干项）外，其余各项均前后抵消，从而达到错项相消的目的。 这 种方法叫裂项求和法。这种方法，在解决通项是分数形式的数列求和问题时经常用到，但裂项的方法有很多，解题时必须根据具体问题具体分析。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些
4、项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点， 实质上造成正负相消是此法的根源与目的解：1) 1()na= 1nS n =（ - ）+（ - ）+（ - ）+( )2341n=1- 1= n迁移发散 2、3（1）(2011昆明模拟)数列a n的通项公式是 an ，若前 n 项和为 10，则项数 n1n n 1为( )A11 B99 C120 D121提示： an ， 1n n 1 n 1 n（2）求和： + + + 3425)2(提示：若数列a n为等差数列， d 为等差数列的公差，S n ，其中 1a1a2 1a2a3 1a3a4 1anan 1 1anan 1，则 Sn可采用裂
5、项相消法进行计算1d(1an 1an 1)考向三：分组转化法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 3:求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa解：设 )()()()11S将其每一项拆开再重新组合得（分组）)2374()1(2 naann当 a1 时， （分组求和）3Sn)1当 时， a2)(aSn2)(1nan迁移发散 3（1） 求数列 的前 n 项和。),.1(,.841,2n（2） 数列 na的前 项和为 S，若 ann (n1)，则 Sn =？4方法总结、感悟提升1.公 式 法 ：
6、用 于 等 差 与 等 比 数 列 ；2.倒序相加法：若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子3.错位相减法：设数列 na的等比数列，数列 nb是等差数列，则求数列 nba的前 项和时，常常将 nba的各项乘以 b的公比，并向后错一项；4.裂项相消法：把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和； 1()nan， 11()()nknk1()()2)(2n例如若数列a n为等差数列， d 为等差数列的5公差，S n ，其中 ，则 Sn 可采用裂1a1a2 1a2a3 1a3a4 1anan 1 1anan 1 1d(1an 1an 1)项相消法进行计算5.分组转化法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求
