1、1十年真题热学（复赛）1 （34 届复赛 7） 如气体压强-体积图所示，摩尔数为 的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自 A 到 B 为直线过程，自 B到 A 为等温过程双原子理想气体的定容摩尔热容为R，R 为气体常量52（1）求直线 AB 过程中的最高温度；（2）求直线 AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线 AB 过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度 Tc；（3）求整个直线 AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功解析：（1）直线 AB 过程中任一平衡态气体
2、的压强 p 和体积 V 满足方程 p p0p0 p02V V02V02 V0此即 p p0 V 32 p0V0根据理想气体状态方程有：pVRT 由式得： T 1R p0R 9p0V016R由式知，当 V V0 时， 34气体达到直线 AB 过程中的最高温度为：T max 9p0V016R（2）由直线 AB 过程的摩尔热容 Cm 的定义有：dQ C mdT 由热力学第一定律有： dUdQ pdV 由理想气体内能公式和题给数据有：dU C VdT RdT 52由式得：C mC V R pdVdT 52 1dVdT由式两边微分得： dVdT 2RV0p0(3V0 4V)由式带入 式得：C m 21V
3、0 24V3V0 4V R2由式得，直线 AB 过程中，2在 V 从 增大到 的过程中，C m0， 0，故 0，吸热 V02 3V04 dVdT dQdV在 V 从 增大到 的过程中，C m0， 0，故 0，吸热 3V04 21V024 dVdT dQdV在 V 从 增大到 V0 的过程中，C m0， 0，故 0，放热 21V024 dVdT dQdV由式可知，系统从吸热到放热转折点发生在 VV c 处21V024由式和上式得：T c 1R 35p0V064R（3）对于直线 AB 过程，由式得：dQC m dV p0dV p0dV dTdV 21V0 24V4V0将上式两边对直线过程积分得，整
4、个直线 AB 过程中所吸收的净热量为：Q 直线 = p 0 p0V0 V0V0/2(214 6VV0)p0dV |V0 V02)38直线 AB 过程中气体对外所做的功为：W 直线 p0V0 12(p0 p02)(V0 V02) 38等温过程中气体对外所做的功为：W 等温 ln2 V0/2V0pdV V0/2V0p0V02dVV p0V02一个正循环过程中气体对外所做的净功为：WW 直线 W 等温 p0V0 参考评分：第（1）问 10 分，式各 3 分， 式各 2 分；第（2）问 20 分，式各 2 分；第（3）问 10 分， 式各 2 分2 （33 届复赛 2）秋天清晨， 气温为 4.0， 一
5、 加水员到 实验园区给一内径为 2.00m、高 为2.00m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水 罐体导热良好 罐外有一内径为 4.00cm 的 透 明圆 柱 形 观 察 柱 ， 底 部 与 罐 相 连 （ 连 接 处 很 短 ） ， 与 大 气 相 通 ， 如 图 所 示 加 完 水 后 ，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与 罐 壁 无 摩 擦 ） ， 闭 了 罐 顶 的 加水 口 此 时 加 水 员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为 1.00m（ 1） 从 清 晨 到 中 午 ， 气 温 缓 慢 升 至 24.0 ， 问 此 时 观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察
6、柱体积随温度的变化可忽略（2） 从密闭水罐后至中午， 罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量已 知 罐 外 气 压 始 终 为 标 准 大 气 压 p01.0110 5pa，水 在 4.0时 的 密 度 为 0=1.00103kgm-3， 水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为 3.0310-4K-1， 重力加速度 大小为 g9.80m/s 2，绝对零度为 273.15.解析：（1）清晨加完水封闭后，罐内空气的状态方程为 p0V0nRT 0 至中午时由于气温升高，罐内空气压强增大，设此时罐内空气的压强、体积和温度分别为 p1、V 1、T 1，相应的状态方程为：p
7、 1V1nRT 1 3此时观察柱和罐内水位之差为：h V1 V0S1 V1 V0S2 (T1 T0)(S1 S2)l0S2式中右端第三项是由原罐内和观察柱内水的膨胀引起的贡献，l 01.00m 为早上加水后观察柱内水面的高度，S 1m 2，S 2410 4 m2 分别为罐、观察柱的横截面积由力平衡条件有：p 1p 0 1gh1 式中 1 是水在温度为 T1 时的密度 01 (T1 T0)联立 式得： 1gS(h)2(p 0S1 1gV0) p0V00 (T1T0 )式中 S ， 1(T 1T 0) S1S2S1 S2解得： h 0.812m 另一解不合题意，舍去由式和题给数据得：V 1V 0S
8、h( T1T 0)S1l00.0180m 3由上式和题给数据得，中午观察柱内水位为：l 1h l 01.82m V1 V0S1（2）先求罐内空气从清晨至中午对外所做的功解法（一）早上罐内空气压强 p01.0110 5pa，中午观察柱内水位相对于此时罐内水位升高 h，罐内空气压强升高了 p 1gh7.9110 3pa 因 pS2，以其管道内的气体为研究对象，如图所示设经过很短时间 t，这部分气体流至截面B 1与B 2之间，A 1B1间、A 2B2间的微小体积分别为 V1、V 2，两处气体密度为 1、 2，流速为v 1、v 2气流达到稳定时，内部一切物理量分布只依赖于位置，与时间无关由此可知，尽管
9、B 1A2间气体更换，但总的质量与能量不变先按绝热近似求喷气口的气体温度T 2质量守恒给出： 1V1 2V2 即A 2B2气体可视为由A 1B1气体绝热移动所得事实上，因气流稳恒，A 1B1气体流出喷口时将再现A 2B2气体状态对质量m 1V1 2V2的气体，利用理想气体的状态方程：pV RT m和绝热过程方程p 1 p 2 (V1) C V RC V (V2) C V RC V 可得：T 2 T1 (p2p1)RC V R 再通过能量守恒求气体的喷射速率v 2由式及V Svt可得： 1S1V1 2S2V2 再利用 式知，v 1 v2 v2，因S 2S1，p 2p1，v 2v1 2S21S1
10、S2S1(p2p1)C VC V R 整个系统经t时间的总能量（包括宏观流动机械能与微观热运动内能）增量 E为A 2B2部分与A 1B1部分的能量差由于重力势能变化可忽略，在理想气体近似下比高考虑到式有： E mv CV(T2T 1) 12 22 m14体系移动过程中，外界做的总功为Wp 1V1p 2V2 根据能量守恒定理，绝热过程满足EW 得：v 2 2(CV R)T1 1 (p2p1) R C V R 其中利用了 式参考评分：本题20分式1分， 式2分，式3分，式1分，式6分，式4分，式1分， 式 2分10 （25届复赛4）图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M为
11、指针压力表，以V M表示其中可以容纳气体的容积；B为测温泡，处在待测温度的环境中，以V B表示其体积；E 为贮气容器，以V E表示其体积；F为阀门M 、E、B由体积可忽略的毛细血管连接在M、E、B均处在室温T 0300K时充以压强p05.210 5Pa的氢气假设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程现考察以下各问题：（1）关闭阀门F，使E与温度计的其他部分隔断，于是M、B构成一简易的气体温度计，用它可测量25K以上的温度，这时 B中的氢气始终处在气态，M 处在室温中试导出B处的温度T和压力表显示的压强p的关系除题中给出的室温T 0时B中氢气的压强P 0外，理论上至少还需要测量几个已知温度下的压强才
12、能定量确定T与p之间的关系？（2）开启阀门F，使M、E、B 连通，构成一用于测量20 25K温度区间的低温的蒸气压温度计，此时压力表M测出的是液态氢的饱和蒸气压由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系，知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系，通过测量氢的饱和蒸气压，就可相当准确地确定这一温区的温度在设计温度计时，要保证当B处于温度低于T V25K时，B中一定要有液态氢存在，而当温度高于T V25K时，B中无液态氢要达到这一目的，V MV E与V B间应满足怎样的关系？已知T V25K 时，液态氢的饱和蒸气压p V3.310 5Pa（3）已知室温下压强p 11.0410 5Pa的氢气体积是同质量的液态氢体
13、积的800倍，试论证蒸气压温度计中的液态气不会溢出测温泡B解析：（1）当阀门F关闭时，设封闭在M 和B中的氢气的摩尔数为n 1，当B处的温度为T时，压力表显示的压强为p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为n1B pVBRTn1M pVMRT0式中R为普适气体常量因n 1Bn 1Mn 1 解式得： 1T n1RVB 1p VMVBT0或T pn1RVB VMVBT0p15式表明， 与 成线性关系，式中的系数与仪器结构有关在理论上至少要测得两个1T 1p已知温度下的压强，作 对 的图线，就可求出系数由于题中已给出室温T 0时的压强1T 1pp0，故至少还要测定另一已知温度下的压强，
14、才能定量确定T与p之间的关系式（2）若蒸气压温度计测量上限温度T V时有氢气液化，则当 B处的温度TT V时，B、M和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数n 2 p0(VB VM VE)RT0假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数为n 2B pVVBRTV在式中，已忽略了B中液态氢所占的微小体积由于蒸气压温度计的其它部分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为n 2Mn 2E p0(VM VE)RT0根据要求有：n 2Bn 2Mn 2En2 解各式得：V MV E VB pVT0 p0TV(p0 pV)TV带入相关数据得：V MV E
15、18VB 11 （25届复赛7）在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径R0.10m、焦距f0.50m的薄凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合），于是可以在黑色圆盘上形成太阳的像已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍圆盘的导热性极好，圆盘与地面之间的距离较大设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩玻尔兹曼定律：在单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为WT 4，式中为斯特藩玻尔兹曼常量，T 为辐射体表面的的绝对温度对太而言，取其温度t s5.5010 3大气对太阳能的吸收率为0.40 又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收，同时圆盘也按斯特藩玻尔兹曼定律向外辐射能量
16、如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散光的影响，试问薄圆盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度？解析：按照斯特藩波尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位面积向外发射的能量为WST 4 S其中为斯特藩波尔兹曼常量， TS为太阳表面的绝对温度若太阳的半径为R S，则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为P S4R WS 2 S单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是P S设太阳到地球的距离为rSE，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R的透镜接收到的太阳辐射的能量为PR 2(1) 16凸透镜将把这些能量会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上并被薄圆盘全部吸收另一方面，因为薄圆盘也向外辐射能量设圆盘的半径为R D，温度为T D，注意到薄圆盘有两个表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为P D2R T 2 D 4 D显然，当P DP 即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温度达到最高由各式得：T D TS 依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径R 的2倍，即R DR 2由透镜成像公式知： S S 于是有：R D2 f 把 式带入 式得：T D TS (1 )R28f14带入已知数据，注意到T S(273.15 t S)K，T D1.410 3K 即有：t DT D273.151.110 3
