1、南京工业大学 2010-2011 学年第二学期高数选讲第 1 页 共 4 页南京工业大学浦江学院高等数学（A）选讲试题（A ）卷（闭） 2010-2011 学年第二学期班级 学号 姓名一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）1. 设 ，则 22 )tansi(23Rzyx dvxzI I2. 设曲线的参数方程为 其中 如果曲线段上的点 处线密度为(),(),tyt,t(,)xy，则曲线段的质量计算公式为 (,)xy3. 设曲线 : 为常数 ,则曲线积分 L22R0()2()LxydsA4. 设曲线 为抛物线 从点 到 的一段弧，则 xy1A(42BL5. 设 ，又设 是
2、的以 为周期的傅里叶级数展开式的和函数，0()fx)Sxf则 S二、单项选择题（本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6 分）1. 由摆线 ， 及 轴所围成的平面图形的面积(sin),(1cos)xatyat02txCS)(A2)(B3)(C23a)(D24a2. 已知 为某二元函数的全微分，则 D 2)(xayd)1)(0)(1)(2三、 （本题 3 小题，每题 8 分，共 24 分）1. 请使用平行截面法计算三重积分 ，2zdxy其中 是圆柱面 介于 与 的部分。21xy0南京工业大学 2010-2011 学年第二学期高数选讲第 2 页 共 4 页解： 220zDzdxydxy2(,)1
3、zDzDdxy2083Izd2. 请使用柱坐标计算 ，其中 为 所围成的区域。vyxI)()(,2hz解： 由于积分区域 关于坐标面 对称，因此Ox,。0dvx在柱面坐标系下，闭区域 可用不等式组 2,2hrzr来表示，于是，作柱面坐标变换，有= 。 zdrdvI h202 3420)(hdrhr3. 求 之间的那一部分的面积。92zyxz位 于解： 曲面在 面上的投影区域 ，O9),(2yxDddxyxSD 14)(122= 。)37(64302 rd四、 （本题共 3 小题，每小题 9 分，满分 27 分）1. 计算曲线积分 ，其中 L 为圆周 。2LxysARxyx2解： 曲线 L 的参
4、数方程为 。)0(sin,cotytR于是 220(1)dd= = tRcos20 228sstt2. 计算 ，其中 是螺旋线 上从LIyzxyzLbtzaytx,sin,co对应的有向弧。t到解： o o bdtbtadtbtatbI )23()2()2cossin( 233223. 计算曲面积分 ，其中 是球面 的外侧，且 的部分。xyzd12zyx 0,yx解： 首先将曲面 用显式方程 来表示，此时需将 分成上、下两块，上块 的方),(z1程为： ， 为 在 面上的投影区域，xyDz),(12xyO故 。0,1),(xyDxy下块 的方程为： ，2xyz),(2根据曲面 的侧的取法， 取
5、上侧， 取下侧。1于是南京工业大学 2010-2011 学年第二学期高数选讲第 3 页 共 4 页12xyzdxyzdxyz2 2(1)(1xy xyDDydx2 220sincoxy drr132200sin15r五、 （本题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）1. 请使用格林公式计算 其中LdyxdyxI ,)()(2323（1）L 为圆周 的正向。2ayx（2）L 为上半圆周 ，方向从 。)0,(),(aBA到解：（1）所给积分可以通过圆的参数方程化为定积分来计算，这里用格林公式化为二重积分做更为方便，因为 ，22,xyPxQ所以 。L Dadrdxydd 2043233 2
6、)()()(（2）L 不是封闭曲线，不能直接应用格林公式计算，但从（1）看出，用格林公式计算较为简便。为此，先补上有向直线段，使其封闭axyBA,0:从而有 3232()()Lxdyd 3232()()BABAxyxydxyd 。应用格林公式 。432322()()()LBA Daydd 而 ，所以 。axyxx03 04aI2. 请使用高斯公式计算 ，其中 为上半球面 的zzy22zRxy上侧， 为实数R解： xdyzxzdyA1xdzyxzdy为 坐标面上 所围成的区域，法向量方向指向下(1xoy22yR南京工业大学 2010-2011 学年第二学期高数选讲第 4 页 共 4 页xdyzx
7、zdyA3343xdyzR六、 （本题 8 分）1. 设 是以 为周期的函数，它在 上的表达式为：)(xf2,1,0()xf将 展开成傅立叶级数并求该傅立叶级数的和函数)(xf )(xS解：显然 满足收敛定理条件，由系数公式（12.37）得：f 01)(1)(1000 dxdxa ,210coscoscos nxdnnfn 00()iiibxx4,1,3512cos1(1)26nn于是，得傅里叶级数： 1)1sin(24)12sin(3sin1i4 kxkxkx 设其和函数 ，由于 在点 处不连续，在其余点处均连续，)(S)(f ),0故由收敛定理，当 时，级数收敛于 处，级数收敛于：kx kxfxs。,()(综上得： 的傅里叶展开式为：0212)0()(fkf ),2,0;()12sin(3sini4 xxkxxf其和函数 的表达式为：)(S ,20),(fxS即 121)()()(2,1,0kxxkkz
