1、1奥数知识点汇总（初一）第一章 整数一、整数的几种表示方法：选择适当的方法表示一个整数，是解决整数问题的基本方法之一。它是解决整数问题的前提。1、整数的多项式表示法：任何一个十进制的正整数 N 都可表示为：，121000nnNaaa这里 、 、 、 、 各取于 09 这十个数字中的任何一个。如果 N 是一n121个 n+1 位正整数，则 0。为了方便，也可将 N 简记作 。na 10na这种表示法称为整数的多项式表示法。整数最左边的一位数字 叫做整数 N 的首位数字，最右边的一位数字 叫做整数 N 的末位数字。02、整数的质因数连乘积表示法：（1）算术基本定理每一个大于 1 的整数都能分解成质
2、因数的乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排在一起（相同因数的积写成幂的形式） ，那么这种分解方法是唯一的。这就是说，任何一个整数 N（ N1） ，都能唯一地表示成下面的形式：12nNpp其中 ， ， 为自然数， 为质数，并且 。这种12n12,np 1p2np表示法称为整数的质因数连乘积表示法，又称为整数 N 的标准分解式。（2）约数个数定理一个整数 N（N 1） ，如果它的标准分解式为,那么它的约数个数为（1 ） （1 ）（1 ） 。12nNpp 2n另外，如果一个正整数 N 的约数个数是奇数，那么这个正整数 N 是完全平方数。3、整数的带余式表示法：如果整数 a 除以正整数 m
3、 所得的商是 q，余数是 r，那么 amq+r，其中 q、r 都为整数，并且 0rm1。这种表示法称为整数的带余式表示法。如果整数 a、b 分别除以正整数 m 所得得余数都是 r，即 a=mp+r，bmq+r(p、q 为整数)，那么称 a， b 对于模 m 同余，记作 ab(mod m)。容易推知对于模 m 而言，与 a 同余的一切整数可以表示为 mt+r (t 为整数)，这里 r0，1，m1。把所有这样的整数作为一类，称为以 m 为模的一个同余类。一般地，对于模 m 而言，应当有 m 个同余类存在，可分别表示为：mt,mt+1,mt+2,，mt+(m1) （t 为整数） 。任何一个整数必定属
4、于并且也仅属于其中一个同余类。这样一切整数就可以按照模 m2进行同余分类，把无数个整数分成有限个同余类，为我们解决问题带来方便。特别地，按模 2 分类，就得奇数与偶数两类；例如按模 3 分类，就有三个同余类：3t,3t+1,3t+2（t 为整数） 。有时将 3t+2 写成 3t1。二、数的整除特性：任意两个整数相加、减、乘的结果都是整数，但两个整数相除，它们的商就不一定是整数了，也就是说，整数对加、减、乘的运算是封闭的，而对于除法并不是封闭的。这样就出现了整除与余数的两个概念。1、整除的定义：对于整数 a、b（b0） ，如果 a 除以 b 得到的商是一个整数 q，即 abq 或 a=bq，则称
5、 a 能被 b 整除，或称 b 能整除 a，记作 ，此时 a 叫做 b 的倍数，b 是 a 的因数；如果 b 不能整除 a，记作 ba2、数的整除的若干性质：根据整除的定义，有如下性质：（1）如果 ， ，m，n 为整数，那么 .abc()ambnc（2）如果 ， ，那么 。a（3）如果 ，且 a、b 互质，那么 。cc（4）如果 ， ，且 a，c 互质，那么 。ab（5）n 个连续整数的连乘积，一定能被 123n 整除。3、数的整除特征：（1）能被 2（或 5）整除的数的特征：个位数字能被 2（或 5）整除。（2）能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。（3）能被
6、 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。（4）能被 3（或 9）整除的数的特征：各位数字之后能被 3（或 9）整除。（5）能被 11 整除的数的特征：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除。（6）能被 7、11、13 整除的数的特征：奇位千进位数段之和与偶位千进位数段之和的差能被 7、11、13 整除。例如，判别 34425391 能否被 7、11、13 整除，先从后往前分节，得 34，425，391。奇位千进位数段之和为 34+391=425，偶位前进位数段之和为 425，两者之差为4254250。因为 0 能被 7、11、13 整除，所以 34
7、425391 能被 7、11、13 整除。上述性质与特征是解决整除问题的重要理论依据。解决整除问题常用的方法有：利用数的整除特征，凑连续整数乘积法，整数的多项式表示法，按同余分类整数表示法、考虑余数法、奇偶性分析法等等。4、质数与合数：一个大于 1 的正整数 a，如果只有 1 和 a 这两个约数，那么 a 叫做质数，也叫做素数；3如果除了 1 和 a 这两个约数外，还有其他正约数，那么 a 叫做合数。这样，自然数按约数的个数可分为 0、1、质数和合数四类。在关于质数与合数的问题中，除了广泛运用它们的定义外，还要运用如下关于质数与合数的性质：（1） 质数有无穷多个，最小的质数是 2，不存在最大的
8、质数。（2） 除 2 以外的全体偶数是合数，除 2 以外的全体质数是奇数。（3） 任何大于 1 的自然数都可以分解成质因数的乘积，即 N= （N12npp为大于 1 的自然数， 为质数， 为正整数） 。如果不考虑这12,np 12,n些质因数的顺序，这种分解方法是唯一的。质数与合数问题是数论中的另一个基本问题，解决的常用方法有质数分析法、分解质因数法、余数法、因式分解法等等。5、最大公约数与最小公倍数：若 是不全为零的整数，并且 ，则 d 叫做 的12,na 12,nda 12,na公约数。公约数中最大的数叫做这 n 个数的最大公约数，记作（ ）d。12,n若 都是正整数，且（ ）1，则称 这
9、 n 个数互质或12,n 12,n 互素。互质的数不一定都是质数，但几个不同的质数一定互质。若 和 m 均为正整数，且 ，则称 m 是 的公12,na 12,nama 12,na倍数。公倍数中最小的数叫做这 n 个数的最小公倍数，记作 。12,n有关最大公约数和最小公倍数的性质如下：(1) 如果 ，那么（a,b）=b,a,ba。b(2) 如果（a,b）=d, 那么（ka,kb）=kd， （k 为正整数） 。(,)1abd(3) 如果a,b=m,那么ka,kb=km, ， （k 为正整数，c 为 a,b 的公约,mc(,)数） 。(4) 如果（a,b）=1 ，那么（a,bc ）=(a,c)(5)
10、 如果（a,b）=d,a,b=m，则 ab=md,或者 m= ， 。abd6、整数问题：整数有三种表示方法：多项式表示法、质因数表示法与带余式表示法。要会灵活运用整数各种表示法解题。解决整数问题，余数法、反证法、奇偶性分析、抽屉原理是常用方法。47、奇数与偶数：在整数中，能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。通常把奇数记为2n+1，把偶数记为 2n，这里 n 为整数。要注意 0 也是偶数。一切整数分成两大部分：奇数和偶数。一个奇数和一个偶数不会相等，这种数的奇偶性是整数最基本的性质。奇数与偶数有以下一些重要性质：（1） 奇数加奇数，其和是偶数；奇数加偶数，其和是奇数；偶数加
11、偶数，其和是偶数。一般地奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和总是偶数。（2） 奇数减奇数，其差是偶数；奇数减偶数或偶数减奇数，其差都是奇数；偶数减偶数，其差是偶数。（3） 奇数乘奇数，其积是奇数；奇数乘偶数，其积是偶数；偶数乘偶数，其积是偶数。一般地，N 个奇数的积是奇数；几个整数相乘，如果其中有偶数，那么乘积是偶数。（4） 如果一个偶数被奇数整除，则其商是偶数；如果一个奇数能被一个奇数整除，则其商是奇数。对于奇数、偶数的上述四条性质，通常称为奇偶性原理。在解决一些有关整数问题时，灵活而巧妙地运用这些性质，再加上正确的推理分析，在解题中会收到较好的效果。第二章 整式1、有
12、理数及其运算技巧：在自然数、正分数的基础上引入负数后，数集就扩大到了有理数范围。也就是说，整数和分数统称为有理数。有理数通常可表示成分数 形式，这里 m,n 都是整数，且nmm0。四则运算对有理数是封闭的，即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不为零）结果的和、差、积、商仍为有理数。有理数可以作以下两种分类：正整数整数 零负整数有理数 正有限小数正分数 正无限循环小数分数 负分数 负有限小数负无限循环小数正整数正有理数 正分数零有理数 负有理数 负整数负分数5有理数可以比较大小，任意两个有理数之间都有无穷府哦个有理数，有理数的巧算是一种基本的运算技巧。巧算的关键是从整体上观察算式和其中每
13、个数的特点，寻求一定的规律，以简化计算工作量。常用方法有：1、分组计算（凑整法、应用运算定律、应用添（去）括号） ；2、拆项法【 ； ；1()1nn1()()knk； 】 ；1()()(2n 1()()abanb3、换元计算；4、倒写相加或叫反序求和法；5、错位相减法；6、探索规律法；7、应用幂的性质；7、逆向思维法。2、乘法公式：一般常用的乘法公式有：（1） ；2()abab（2） ；2（3） ；3223()（4） ；abab（5） ；223()（6） ；（7） 22()2abcbcabc在熟练掌握上述基本公式的基础上，将这些公式变形逆用可得下面的重要公式：（1） ，或者 ；22()22()
14、ab（2） ；()4abab（3） ；3 22()()ccbcc（4） ；2()（5） ；3 2)abab（6） 22 2221()()ccabca3、整式的运算与求值：整式的运算就是将一个整式通过恒等变形变换成另一个与之恒等的式子。它包括代数6式的化简、求代数式的值等。在初中数学竞赛中，代数式的运算与求值是两个基本内容，其方法灵活多变，技巧性强。所以进行整式的运算与求值除了掌握一些基本方法外，还应掌握一些典型的技巧和特殊的方法。常用方法有：（1） 、观察找规律；（2） 、整体代入法；（3） 、拆添项法；（4） 、套用公式法等等。4、整式的恒等变形：恒等式分为两类：一般恒等式和条件恒等式。例如
15、 ，不论22()ababa、b 取任何实数，等式总能成立，称这类等式为一般恒等式。又如，当 a+b0 时，这个等式对任意 a、b 的值并不成立，仅当满足 a+b0 时才成立，称这类等20式为条件恒等式。在初中数学竞赛中，恒等变形是重要的基本内容之一。所谓恒等变形是指在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式。恒等变形方法灵活多变，技巧性也很强。常用方法和技巧有：（1）配方法；（2）换元法；（3）代入法；（4）差、商比较法（作差法、作商法） ；（5）消元法；5、有理数的表示法及其应用：有限小数或无限循环小数叫做有理数。有理数总可以表示成既约分数 （其 p、q 是没有公因数的整数
16、，且 q0） 。例如， 0.5， ，。120.63第三章 一次方程与一次不等式一元一次方程的一般表达式：ax=b(a、b 均为常数)当 a0 时，方程 ax=b 有唯一的解 x= ；ba当 a=0,b=0 时，方程 ax=b 有无数多个解，即方程的解为任何实数；当 a=0,b0 时，方程 ax=b 无解。一元一次不等式有四种类型，即。,axbxab这里 a0,且 a、b 均为常数。不等式的基本性质：（1）ab,bc ac;(2)ab a+cb+c;(3)ab a-cb-c;(4)ab,c0 acbc;(5)ab,c0 acbc.比较两数的大小，常用求差法：a-b0 ab;a-b=0 a=ba-
17、b0 ab。71、含字母系数的一次方程：如果方程中的已知数用字母表示，那么这样的方程就叫做含字母系数的方程，或称为含参变量的一次方程。在解这种方程时要考虑到字母系数的取值范围，因此应注意对其解的各种情况加以讨论。含字母系数的一元一次方程，经过移项、合并同类项等同解变形后，总可以化为 ax=b 的一般形式。再按上述解题格式解题即可。2、一次不定方程：如果一个方程中的未知数的个数多于方程的个数，那么称这种方程为不定方程。不定方程是数论中的一个重要内容，判断不定方程有无整数解和求正整数解的个数是数学竞赛捉拿嘎两类常见的问题。（1）二元一次不定方程的解法：形如 ax+by=c（ab 0）的方程叫做二元
18、一次不定方程。这里我们只研究系数 a、b、c为整数的情形。关于二元一次不定方程的整数解，有下面两个定理：定理 1：若不定方程 ax+by=c(ab0)中，a、b 有公因数 d,而常数 c 却无公因数 d，则此不定方程无整数解。定理 2：若 x= ，是二元一次不定方程 ax+by=c(a,b 互质 )的一组整数解，则此方程0x的y= 0y全部整数解为 x= bt,（ t 为任意整数）xy= at0y（2）多元一次不定方程的解法：多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程来求解。3、含字母系数的一次不等式：一元一次不等式像一次方程一样，经过移项，合并同类项，化简整理后，通常写成axb 这样的一种基本
19、形式。由不等式的性质知：（1） 当 a0 时，不等式的解为 x 。ba（2） 当 a0 时，不等式的解为 x .（3） 当 a=0 时，若 b0，不等式无解；若 b0,不等式的解为任意实数。对于一般由两个不等式组成的不等式组，可分别解出每一个不等式，而两个不等式的解总可归纳成如下四种情况（设 ab。情形 1：xa,不等式组的解集为 xb.xb,情形 2： xa，不等式组的解集为 xa。xb 情形 3： xa,不等式组的解集为 axb8xb, 情形 4： xa,原不等式组无解。xb,4、含绝对值的一次方程和一次不等式：带有绝对值符号的方程和不等式，可以利用绝对值的定义脱去绝对值符号而化为普通的方
20、程和不等式进行求解，关键时不要忽视去绝对值符号的条件。一般常利用分类讨论法。在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间不重复、不遗漏。常用方法有：（1） 零点分段法；（2） 逐层去绝对值法。5、应用问题：列方程解应用题，一般有审题、设出未知数、列方程、解方程、检验、作出结论等步骤。常见题型：（1）水电费问题；（2）顺流、逆流问题；（3）钟表问题；（4）扶梯问题；（5）追击相遇问题（如环形跑道问题） ；（6）浓度问题；（7）工程问题；（8）面积、体积问题；第四章 简单几何图计数问题时数学竞赛中的热门课题。对于简单的几何图形的计数常用的有枚举法、分类计数法和分步计数法。先将要计数的所有对象一一列举出
21、来，最后计算总数，这种方法称为枚举法。如果完成一件事有 n 类方法，在第一类方法中有 种不同方法，在第二类方法中有1m种不同方法，在第 n 类方法中有 种不同方法，那么完成这件事共有2mn种不同的方法。这种方法称为分类计数法。1n如果完成一件事需分 k 个步骤，依次完成各步后，整件事也就完成了。若完成其中各步的方法分别有 ， ， 种，那么完成这件事共有 种不同的方法。12n12kn这种方法称为分类计数法。1、线段、角：（1）一条直线上有 n 个分点，则以这 n 个点为端点的线段共有 条。当这 n 个点不(1)2n共线时，此算式也成立。（2）一般地，如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点
22、)，那么这 n+1 个点把这条线段一共分成 条线段。(1)（3）平面上四个点,可确定 1 条或 4 条或 6 条直线。（4）一条直线上任取 n 个互不重合的点，共有 2n 条射线。（5）射线上任取 n 个互不重合的点，共有 n 条射线.9(6) 线段上任取 n 个互不重合的点，共有 条线段。(2)1n（7）平面上有 n（n2）条互不重合的直线，那么最多有 个交点；()2n（8）平面上有 n（n3）条互不重合的直线，由交点组成的线段的条数最多有 条(1)2n线段。（9）平面上有 n 条互不重合的直线，可以把平面最多分成 部分。(1)2n2、垂线、平行线：平面内两条不同直线有两种位置关系：相交与平
23、行。两条不同直线，若它们有一个公共点，我么说它们相交，这个公共点叫做它们的交点。两条不同直线不能有两个或更多的公共点。相交关系中最重要的是垂直。与垂直相关的知识：（1）过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。关于平行线最重要的是平行公理，经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。设两条直线被第三条直线所截，则有：同位角相等 两直线平行；内错角相等 两直线平行；同旁内角互补 两直线平行。3、趣味角的求和：“ 三角形的内角和等于 180”是一个非常重要的性质，它是解决许多角度求和问题的基础。解决一类有趣的
24、角度求和问题：折多边形的顶角求和。如下图：ODCB AE4、两点间线段最短：两点间线段最短是一个很重要的结论，在现实生活中它的应用也十分广泛。它有一个直接的推论是：三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。由此可解决许多几何中的趣题。解决几何中有关最短与最小的问题，常用到轴对称这一几何工具。对于平面上两个图形，如果将其中一个图形沿某条直线 L 折叠，可使这两个图形叠合在一起，我么就说这两个图形关于直线 L 对称，叫直线 L 为对称轴。两个图形上互相重合10的点，叫做关于对称轴的对称点。两个对称图形具有下面的性质：（1） 对称点的连线段被对称轴垂直平分；（2） 对称图形是全等形；（3） 对称
25、轴上的点到两个对称点的距离相等。5、图形计数：常用的方法有：枚举法；分类计数法；分步计数法、树形图、染色法等。在计数中要做到不重复、不遗漏。第五章 趣味数学问题1、简单的计数问题：计数就是数一数或算一算某类确定对象的个数，比如：某一给定的几何图形中有多少个正方形；某次篮球单循环赛多少场。解答这些问题需要掌握一定的计数方法。如枚举法、分类法、加法原理和乘法原理、染色法等数学方法。2、观察、归纳与猜想：观察、归纳与猜想是数学竞赛中常用的方法之一，当我们碰到一些较为复杂的问题，涉及到相当多乃至无穷多的情形时，常常通过对若干简单的、特殊的情况进行分析观察，从中发现一般规律或作出某一种猜想，探索出解决问
26、题的途径，再通过对作出的结论的证明，最后得出命题的正确性，这种研究问题的方法叫做归纳法。3、最大与最小：在日常生活中经常碰到一些在一定条件下求最大值和最小值问题，从一个地方到另一个地方，如何走可以使所走的路程尽可能地短，车费最省；一件工程如何安排工期最短；发运货物如何调运才能使费用最少？这类问题有很强的实际应用价值。在各类数学竞赛中也常出现这种最大值和最小值问题。如“将军饮马”问题用的是“对称原理” 。另若两个数的和为定值，则当两数相等时，乘积最大；（ ，当且仅当2()aba=b 时等号成立） 。这种情况可以推广为：如果 为定值，则当12na时， 的乘积最大。12naa 12,na在周长相等的
27、长方形中，正方形的面积最大；在周长相等边数也相等的多边形中，正多边形的面积最大；周长相等的正多边形中，边数愈多的正多边形面积最大，当边数无限地增多时，多边形愈来愈接近圆。因此，在周长一定的条件下，有正三角形面积正方形面积正五边形面积圆面积。再如：把 14 分拆成若干个自然数的和，如何分拆可以使这些自然数的乘积最大？本例是自然数分拆的典型例子，本例的解法可推出一般的结论。解：考虑到以下几步：步 1：分拆成的自然数中不应含有 1，因为 1 与任何数的乘积仍为原数，而将 1 加到其他任一个加数上，将使乘积更大。步 2：分拆的加数不应超过 4，否则可以将这个加数拆成两个大于 1 的加数，从而使乘积更大
28、；步 3：分拆出的数中如果有 4，可以用 22 代替；11步 4：分拆的加数中 2 至多只有 2 个，否则，可用两个 3 替换 3 个 2，因为33222，替换后乘积更大。通过以上分析可以知道，应将 14 拆成若干个 2 与 3 的和，2 至多出现两次，此时这些加数的乘积最大。将 14 拆写成 1433332，即将 14 分拆成 4 个 3 与 1 个 2 的和时，这些加数的乘积最大，最大值为 。416常用的方法还有“抽屉原理“。4、逻辑推理问题：有些数学问题几乎不涉及几何图形性质，也不涉及数量关系，而只涉及一些相互关联的条件，运用有关逻辑知识解答，这类问题称为逻辑推理问题。解答这类问题时，常
29、常运用枚举法、筛选法、假设法等推理论证的方法，在推理过程中还经常以列图表为手段，帮助我们分析推理。在解题叙述中要层次分明，概念清晰，结构严谨，遵循逻辑的基本规律。下面介绍解逻辑推理问题的几种常规方法。（1） 枚举法：枚举法就是把所有出现的情况都列举出来，然后进行推理验证，得出结论。（2）假设法：假设法是逻辑推理问题中最常见的方法之一，假设法是先假设一个前提条件正确，以此为起点，利用已知条件进行推理，如果导致矛盾，说明假设的前提条件不正确，再重新提出一个假设，直至得到符合条件要求的结论为止。（3）图解法：所谓图解法就是根据题目条件，借助于一个图形来进行分析，从而使问题得到解决。（4）列表法：如果
30、将问题中的信息（条件）反映在一张纵横交叉的表上，便可清晰地反映出条件与条件，条件与结论之间的联系，从而使问题获解。这就是所谓的列表法。5、抽屉原理：我们知道，把三个苹果放到两个抽屉中，总有一个抽屉例至少放了 2 个苹果。更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两个或更多的苹果放进同一个抽屉。抽屉原理 1如果把 n+k（k1）个物体放进 n 只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。抽屉原理 2如果把 mn+k(k1)个物体放进 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里要放进 m+1 个或更多个物体。应用抽屉原理解题的关键是根据题目的要求合理、巧妙地构造抽屉。6、存在性问题：存在性问题是研究具有性质的数学对象是否存在的问题，结论常以“存在” 、 “不存在” 、“至少存在一个”或“存在且唯一”等形式出现。在数学竞赛中会出现存在性问题，形式不一、变化多样，因此解题时必须根据题目的具体情况，选取不同的解题手段和解题方法。常用方法有：利用奇偶性性质解题；利用反证法；构造抽屉，利用余数性质；使用规律（，或 ）11()n1()nn
