1、高等数学下册内容要点 张谋 2014061高等数学（下）内容要点第七章 向量代数与空间解析几何1向量的运算：模、方向余弦、加、减、积已知向量 ，则(,), (,)xyzxyzxyzxyzaijakbijbk22,cos,cs,cos|xyz a，1cso,cos|xyz数量积： cos,Prrbaxyzabajjba注意下面两个性质的应用：（）设 是任意向量，则 ； 2|（） ；ab从而有 2ba向量积： 0sin,xyzijkabca其中 。构 成 右 手 系且的 单 位 向 量是 同 时 垂 直 于 00 , cb，c 在几何上表示以 为邻边的平行四边形的面积。baba注意性质： ()()
2、混和积： 321)(, cbacba其中 的混合积的绝对值等于以 为棱的平行六面体体积。cba, a,2向量之间的平行、垂直、共面条件两向量垂直的充要条件： .0b两向量平行（共线）的充要条件：高等数学下册内容要点 张谋 2014062312/ 0.aababb3 平面与直线（1）平面及其方程点法式方程： 0)()()(00 zCyBxA一般式方程： Dz截距式方程： 1cbya三点式方程： 0131313222 zyx（2） 直线方程点向式方程： （对称式方程）pznymx000一般式方程： 2211DzCyBxA两点式方程： （实际是对称式方程）010101参数式方程： ptzntymtx
3、,直线的三种方程可以相互转换。（3） 点到平面的距离，点到直线的距离，异面直线间的距离点 到平面 的距离：),(00zyxM0DCzByAx 2200CBADzyxd点 到直线 的距离： ，1 pnm000sM10其中 为直线的方向向量， 。s00(,)Mxyz两异面直线 间的距离：111222,xyzznpmnp高等数学下册内容要点 张谋 20140631212()sMd该公式可理解为（1）直线上的两点 对应的向量 在 投影的绝12,1212()s对值。或（2） 表示 为棱边的平行六面体的体积，而体积又1212()sMs可表示为 。d（4） 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系（平行、垂
4、直、相交） 。两平面法向量的夹角(常取锐角)称为两平面的夹角.两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角（取锐角） 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角（取锐角）平面束设有两张不平行的平面，交成一条直线 ，过直线 的所有平面的集合称为L由直线 所确定的平面束。L设空间直线的一般式方程为 0: 2211DzCyBxAL则方程(10)11 2()()0xyzxyz 称为过直线 的平面束方程。其中 、 为参数，且不全为零。L1.过点 且与直线 平行的直线方程为 (1,)M2036xyz2.已知平面 过点 且与直线 垂直，求此平面方程。(,20)021xyz3.已知向量 ，如图,OAbBa
5、DA(1) 求证: 的面积2.bS(2) 当 夹角 为何值时, 的面积为最大?,abA解(1)连接 ,则AB12OB abSabD abOADB高等数学下册内容要点 张谋 2014064同时, cosababaOD所以 21.2bSA(2) 22211cosinsi4abab所以当 时,面积为最大.44.设 ， ，试求 的值，使得：35aijk9bijk1） 与 轴垂直；z2） 与 垂直，并证明此时 取得最小值。ab解 首先 = ，(2,51,)1） 与 轴垂直，就是 与基本单位向量 垂直，即abzk，0k从而 (32,51,9)(0,290所以，当 时， 与 轴垂直；4.abz2） 与 垂直
6、，即aba从而有 ,()()()387所以，当 时， 与 垂直。738记 ，则 = ，d2abd222(3)(51)(9)求导 ，得驻点 ，且 ，61478076d所以当 时， 取得最小值。7385.求两直线 的公垂线方程。0420425zxyzyx与解：直线 40129zyx的 对 称 式 方 程 为直线 028042zxy的 对 称 式 方 程 为公垂线的方向向量为 2,1,4,12设垂足分别为 ，则)8()9( utt高等数学下册内容要点 张谋 20140650,21,2410829 ututtut 解 得公垂线方程为 zyx高等数学下册内容要点 张谋 2014066第八章 多元函数的微
7、分一、多元函数的概念、极限、连续二、偏导数、全微分定义偏导数： ，0000(,)(,)(,)limxxfxyffyyxfffyy ,li, 0000全微分：设 ，若 ，则称),(xfz 2),(yxyBxAz 在点 可微，并称 为 在点),(yxfz0y dzd ),(yxf的全微分。0注意一元函数与二元函数在可微、可导、连续等概念上的区别与联系一元函数在某点处二元函数在某点处有存在连续偏导数 可微连续可偏导方向导数存在极限存在三、多元复合函数的求导法则显函数多元复合函数求导法是多元函数微分学中的一个中心内容。在用法则时关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量，为此我们把变量之间
8、的关系用图示来表式，称为变量之间的关系图，或称为变量之间的树形图。另外还注意抽象复合函数 等的偏导数的求法，其中主要是正确理解),(yxf和使用符号 等。21,f可导 可微 连续 极限存在高等数学下册内容要点 张谋 2014067求法：事实上，在求显函数的偏导数时已经用了复合函数的求导法则，只是当时没有明显写出变量之间的关系。如设 yzxvxyuvezu ,sin求其 中法 1 原题即是求 ezxy ,)sin(的 偏 导 数法 2 明确变量之间的关系为：zuvxy利用复合函数的求导法则 ， 即可求出偏导xvzuxz yvzuy数。法 3 利用全微分的形式不变性，先计算全微分，后得偏导数 .)
9、cossin()cossin( )(cos(dyvexdvey dyxvexduz uuuu 所以得 )(iyx xxu 隐函数的求导法则我们知道表示函数的方法是多种多样的，如显式表示，隐式表示（又分为单个方程或方程组） ，参数方程（显式或隐式）表示等，相应就产生各式各样的求导法则或公式。1） 由二元方程 所确定的一元隐函数 的导数 的求法：0),(yxF)(xfydxy（1）显化：由 解出 （满足隐函数存在定理的条件） ，利用一, )(xf元函数的求导法则，求出 。d由 解出 ，利用反函数的求导法则，求出0),(yxF)(yfx 1dyx（2） 视 的函数用复合函数的求导则为（3） 用隐函数
10、的求导公式 yxFd（4） 利用函数的微分高等数学下册内容要点 张谋 20140682）由三元方程 所确定的二元函数 或 等的偏导0),(zyxF),(yxfz),(zg数等的求法（与上面相应）yxz, 显化：一般行不通 视 的函数，两边分别对 求导，则可得到xz,为 yx, yzx, 隐函数的求导公式 zyzxF, 利用微分方程组 确定隐函数 )(,xzy，求0),(zyxGF dxzy,通过解下面的线性方程组得到 0dxzGyFx四、多元函数微分学的几何应用1空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为相对应为切点),(),(,),(: 00zyxttztytx与 空 间 直 角 点参
11、数 则切线向量为 )(,0xs切线方程为 )()(000tztyt法平面方程为 0)(0ztyx 设空间曲线的一般方程为 ),(,0),(: 0zyxzyxGF切 点 为高等数学下册内容要点 张谋 2014069则切线向量为 ，或为 （将曲线pnmGFkjiszyxyx ,),(0 )(,10xzy方程转化为参数方程）切线方程为 pnm000法平面方程为 0)()()(00 zyx2 空间曲面的切平面与法线 设曲面方程为 为 切 点),(,),(: 00xMzF则切平面的法线向量为 CBAFnzyx ,(切平面方程为 )()()( 000CBxA法线方程为 zy 设曲面的参数方程为 ),(),
12、(),(),(),(: 00vuzyxvuzvux 对 应 的 参 数 为切 点则切平面的法向量为 CBAzyxkjinvvuu,切平面方程为 0)()()(00BA法线方程为 Czx五、方向导数与梯度1 方向导数定义：函数 处沿 方向的函数的增量),(),(0yxf在 点 l与这两点 的距离(00fyxf ),(),000yxyx之比，当距离 的极限，记为2fl即 000(,)(,)limfxyfxyf高等数学下册内容要点 张谋 20140610表示 处沿方向 的变化率。lf),(),(0yxf在 点 l关于方向导数的存在性与计算有下面的定理定理 如果函数 可微分，则函数在该点沿任一方向 的
13、方向导),(),(0f在 点 l数存在，且有 cos),(cos00yxfyxl其中 是方向 的方向余弦，即 是与 同方向的单位向cos,l ),lel量。（同理有 ）cos),(cos),(cos),( 000 zyxfzyxfzyxfl z2 梯度定义： jfifgradf yx ),(),(),( 000方向导数与梯度的关系： cos),(),(cos),(cos),( 0000 yxgradfeyxgradffyxfl ly其中 的夹角。legradf与是所以函数在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数在这一点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。（同理有 ）kzyx
14、fjzyxfizyxfzyxrf z ),(),(),(),( 0000六、多元函数的极值及其求法定义：对 的去心邻域内的任意一点 都有),(0P),( ，则称),yxff ),(),( 00yxfyxf有 极 大 值在 点 ，则称),(0),(有 极 小 值在 点定理 1（取极值的必要条件） 有偏导数，且在点 处有),0yxf在 点 ),(0yx极值，则有 (,),(00yxyxf使 的点 ，称为 的驻点。),(0fyx ),),(yxf上定理可改写为：在偏导数存在的前提条件上，极值点必为驻点。但反之不成立。定理 2（取极值的充分条件） 在点 的某邻域内连续且有一阶及二),(yxf),(0y
15、阶连续偏导数，又 ，令0),(0fyx，则),(),(0 xfCByxfAy高等数学下册内容要点 张谋 20140611 时， 是极值，且 时是极小（大）值02ACB),(0yxf )0(A 时， 不是极值 ，不能肯定 是否是极值，还需另作讨论。2),(0yxf极值的求法：无条件极值：从上面的定理 2 即得求无条件极值的步骤。条件极值：方法 1：转化为无条件极值方法 2：用拉格朗日乘数法求驻点设目标函数 下的极值，0),(),(yxyxfz在 约 束 方 程先作拉格朗日函数 fL解方程组 得可能极值点。 （在求最值时，若可能极值点唯一，0,0yx无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为最值。
16、）对于多个变量，多个约束条件的情况，同理。关键：建立正确、简洁的目标函数1.设 有二阶连续偏导数，其梯度 ，则 (,)Fxy 2(,)Fxy(,)Fxy2.曲面 在点 处的切平面方程为 2260z(2,31)3.设 ， 具有二阶连续偏导数，求2(sin,)xzfeyf 2,.zxy4.求函数 在约束条件 下的最小值。22uz21xyz解：令 (,)()Lxyy20,2,0,210xyzLLxyz则 ，代入 有 。得唯一驻点,z13(,).63当 或 或 时， ，所以唯一驻点为函数的最小值点，xy(,)uxyz高等数学下册内容要点 张谋 20140612最小值为 1(,).63u5.设 ，则 【
17、A】 1()xyze22zyxA B C D2x26. 连续是偏导数存在的【D】(,)fxyA必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件7.设 又,1),( 22vfu，vuf 且 满 足具 有 二 阶 连 续 偏 导 数（ ）22),(1,),( ygxyxfyxg求 yx8.设函数 具有二阶连续导数，且 ，则函数f ()0,()ff在 处取得极小值的一个充分条件是【A 】 ，并说明理由。()lnzxy(0,)（A） （B） 1.ff()1,().ff（C） （D）(),()00解： ()ln, (,),()xyxyfxyzffzzz22()()l,()()xxyyfffff 当 成立时，
18、01,0ff(0)(,)(ln),(,(0,)(x xy yfAzffBzCzf 且 ，从而 在 处取得极小值。20BC(l)zff,高等数学下册内容要点 张谋 20140613第九章 重积分二重积分的计算法二重积分的计算总的来说就是化二重积分为二次积分。利用直角坐标计算二重积分(1) Ddxyf),( 设被积分函数为 ，积分区域为 型区域(,)fxyX，如图（此种区域的特点是：用垂直于 轴的bayxD)(:21 x直线穿过区域 时，与 的交点不多于两个） )()()()( 2121 ,)(),( xbabaxbaD dyfdyfdxAdf 此结论对非正的 仍成立。,yf 设积分区域为 型区域
19、，即Y,dcxy),()(:21)(1,ydcDxff 积分区域既是 型区域，又是 型区域，则XY)()(21,xbadyf )()(21,),(ydcDdxfxf上式表明，虽然积分次序不同，它们的值是相同的。 区域既不是 型区域，又不是 型区域，作辅助线化为情形 1、2Y利用极坐标计算二重积分(2)前面讲了利用直角坐标计算二重积分，但对某些积分，利用直角坐标难以解决，特别是区域 的边界用极坐标表示起来更方便时，往往用极坐标来计算D更简捷。如； 。22)(:,2 RyxdeDyx 222 4:,sin yxDdxyD极坐标下二重积分的计算，首先是把直角坐标下的二重积分 化(,)Dfd为极坐标系
20、的二重积分 ，再化为极坐标下的二次积(cos,i)Df分。设积分区域为 ),()(:21高等数学下册内容要点 张谋 20140614 dfdfD )sin,co()sin,co( )21若积分区域 ,: 2baDdf )sin,co( )()(21 )sin,codfa其它各种区域类似。何时选用极坐标进行计算呢？一般说来，当积分域 D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。通常被积函含 项，积分区域与圆有关（圆域或圆域的一部分） 。2yx重积分的应用元素法 :,几 何 上 平 面 图 形 面 积 曲 面 面 积 曲 顶 体 体 积 等二 重 积
21、分 物 理 上 平 面 薄 片 的 质 量 质 心 力 矩 转 动 惯 量 等平面图形的面积： 的面积。(1)DDAdxyrd平面薄片的质量、重心：2， (,)DMxyd11(,),DDxxydxdMAy 常 数立体的体积：即曲顶柱体的体积(3) (,)Dfxyd曲面面积(4)已知曲面片方程为 的面积：(,)zfxyxyDyxdfA21若给出的方程为 ，类似地有公式：),(gyzzyg2二、三重积分三重积分的概念将二重积分的概念推广则得三重积分的概念。 dvzyxf),(ni iiivf10),(lm其中 叫做体积元素。dv高等数学下册内容要点 张谋 20140615三重积分在直角坐标系下的计
22、算利用直角坐标计算三重积分(1) dvzyxf),(,)fxyzd先单积分后二重积分：设 在 坐标面的投影为 ，以 的边界为oxyDxy准线作母线平行于 的柱面，这柱面与曲面 的交线把 分为上、下两部分，zS设其方程为 ，即有1212(,)(,),(,)xyxyzxy设 ，其中 连续，xyz ),(,21yxz为 在 坐标面的投影。 （这类区域也称为 型空间区域）xyDo 则 xyDzdzfdvzf ),(),(21),(若 ，则)(, 2xybaxy ),(),(),(),( 2121),( yxzybaDyxz dzfddzfdvzfxy 若 ，则(, 2xcxy ),(),(),(),(
23、 2121),( yxzxdcDyxz dzfzfdvzfxy 将空间区域投影到其它坐标面，类似于此。先二重积分后单积分设空间区域 ，其中 为垂直于 轴的平21,),(, czyxzzzDz面截闭区域 所得的平面闭区域（这种区域也称为 z-型区域） 。则zDcdfdvzyxf ),(),(21然后再将区域 上的二重积分化为二次积分。z柱面坐标系下三重积分的计算。(2)，柱坐标系的体积元为zyx,sin,codvz或利用三重积分换元法得体积分元高等数学下册内容要点 张谋 2014061610cossini),(zyxJ进一步地有： ),(),(21,),sin,co(),( zDdzFdzdfd
24、vzyxf何时选用柱面坐标 当 是由柱形，锥形或旋转体围成且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子 等时，常用柱面坐标)(2yx计算。球面坐标系下三重积分的计算。(3)直角坐标与球面坐标的关系： ，cos,sin,cosinrzryrx球面坐标下的体积元： ddvs2进一步有 drrwirrfxyzf si)c,ci(),( 2何时选用球面坐标 当 是球体或其部分，或被积函数含有式子时，常用球面坐标计算。22xyz1. 计算积分 ，其中222cos().Vxyzxyzdx 22:1.Vxyz解：令 sin,in,cos02,0122cos()Vxyzxyzdx21 1323200
25、 00insincosd d 1 100cossicottt2(in)高等数学下册内容要点 张谋 201406172.设 在 上连续，且(ft） 0+， 2241()1()(0)xytftfxydt证明： 24().tfe证明： 220 01()1()t tdffd对 求导得： ，即t()ftft)8(ft积分得： ，所以2ln4lnftC24)tfte由 知 ，故(0)1f 24().tfe2.设 为圆 围成的区域，则 【C】D24xyDdxyA B C D067设 ， 表示不超过 的最2(,),0xyxy21xy21xy大整数，计算二重积分 21Dd解：记 ，21(,),xyxy2 0D则
26、 ，于是122,()1xyxyD12Dddxy42 213 30 01sincosincorrrdr84高等数学下册内容要点 张谋 20140618第十章 曲线积分一、对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长曲线积分的性质性质 1 LLL dsyxgdsyxfdsyxgf ),(),(),(),( 性质 2 212 ,Lffsf性质 3 设 有 ，则 yx),( ),(),(yxgfLLdsyxgdsyxf),(),(特别地 LLdsfdsf,对弧长的曲线积分的计算法（1） 参数方程给出平面曲线 ，则tytx),(),( dtttfdsyxfL 22),(),(（2） 直角坐标给出积
27、分弧段 ，或21),(xy21),(yyx或21 )(,),(xL dfdsyf 21 2)(),(),(yL yxxfxf（3） 极坐标给出积分弧段 ,r drfdsyxfL 22)()(sin)(,co)(),(对坐标的曲线积分的计算法(1)设曲线 的参数方程为： ，)(),(tytx起点对应的参数值为 ，终点对应的参数值为 dttQttPQdyxL )(),()(),(高等数学下册内容要点 张谋 20140619(2)设曲线 由直角坐标给出： ，则L ),(),()21yxByxAy 21 ,xL dQPQd(3)设曲线 由直角坐标给出： ),(),()21yxy21 ,yL dxdx(
28、4)可推广到空间直角坐标下的曲线。设 ，起点的参数值 ，终点的参数值为 ，则:(),()xtytzttt21,()()()()yPdQRPxtztxQtyRtzdt 三、二类曲线积分之间的联系曲线弧 由参数方程 给出，起点 对应的参数为 ，终点ABL)(),(tytxA对应的参数值为 ，则 。(,)cosLLPdxQyPQdS类似地有， (,)(,)(,)coscsPxyzdQxyzdRxyzR 记 ，则上式可表为,s,)ARrAs其中 (,)(,)(drxyzttd上面的等式表明第二类曲线积与第一类曲线积分之间可以相互转化。四、格林(Green) 公式及其应用格林公式定理 设闭区域 由分段光
29、滑的曲线 围成，函数 在 上具DL),(,yxQPD有一阶连续偏导数，则有-该式称为格林公式LDQdyPxdyxQ其中 是 的取正向的边界曲线。L正向的规定：当观察者沿着区域 的边界 行走时，区域 总在他的左边。DD高等数学下册内容要点 张谋 20140620格林公式表明了区域 的二重积分与其边界曲线 的曲线积分之间的联系，DL它用来计算曲线积分是很方便的。在格林公式中 取 ，则有xQyP, LDydxdx2区域 的面积为DLDyA1 令 ，则x,0xd 令 ，则 注：=+QyPLy平面上曲线积分与路径无关的条件若 在单连通区域 上具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：,G（1）任意连接起点
30、与终点两路径 ，有21,l21ll QdyPxdyx（2） 0,CQdyPx（3） ，使),(yuu（4） xGx,对面积的曲面积分的计算法对曲面积分的计算法：化曲面积分为二重积分，一代二换三投影。 设 ， 在 面上的投影为 ， 在 具有连),(:yxzxoyxyD),(yzxyD续的偏导数，被积函数 在 上连续，则,zf xyDyxdzfdSf ),(),(1),(),( 22一代：被积函数中的某个变量用曲面方程代替。二换： 用面积元公式换。三投影：将 投影到相应的坐标面上。 设 ， 在 面的投影为 ，则),(:zyxyozyzD yzDdzxxfdSf 21),( 设 ， 在 面的投影为
31、，则),(:xyxzxzDyff 2),(,高等数学下册内容要点 张谋 20140621 设曲面方程由参数方程给出 ，则),(),(),(: vuzyvuxuvD vvuudzyxkjizyxfdSzyxf ,),(,(),(uvDFEGf2),(其中 ),(,),(,2 vuzyvuxrzyxuu记vvv2uu对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法归纳起来为：一代二投三定向，曲积化为重积算 dxyzR),(xyDdxyzR),(解释：设曲面积分的面积元为一代：将曲面 的方程 代入被积函数；),(z二投：将曲面 投影到 坐标面；xoy三定向：上侧为正，下侧为负。其余同理，如若曲面积分
32、的面积元为 dxz一代：将曲面 的方程 代入被积函数；),(y二投：将曲面 投影到 坐标面；xoz三定向：右侧为正，左侧为负。两类曲面积分之间的联系 dSRQPRdxyQzPdy )coscos( ),(),),(),( AdSnAn注意其中 dSnRQP),cos,(cs),( ，s)dyzxy,1,1(1,xxzyzx nAnprj说明： 对坐标的曲面积分必须将曲面 分别投影到相应的坐标面，而对面高等数学下册内容要点 张谋 20140622积的曲面积分， 可以投影到你觉得方便的某一个坐标面上（合一投影） ，这就是两种积分在应用上区别。特别注意曲面的侧。三、 高斯公式 通量与散度高斯(Gau
33、ss)公式格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，类似地，容易想到：空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间也有某种关系高斯公式。定理 设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数 ，),(zyxP， 在 上具有一阶连续偏导数，则有),(zyxQ),(zyxR RdxyQzPdydxzPS)coscos(该公式称为高斯公式其中 是 的整个边界曲面的外侧， 是 在点 ),(处的法向量的方向余弦。),(zyx流量或通量： RdxyQzPd(coscos)nSvdvSAA通量密度或散度： zyxPvdi四、 斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯(Stockes
34、)公式平面区域上的二重积分与其边界上曲线积分有联系（格林公式） ；空间区域上的三重积分与其边曲面上的曲面积分有联系（高斯公式） ；那么，曲面积分与其边界上的曲线积分有没有联系呢？这就是今天要讲的斯托克斯公式，即把格林公式从平面推广到空间曲面斯托克斯公式。定理 设光滑曲面 的边界为光滑曲线 ，函数 具有一阶连续偏导RQP,数，则有 dSzyxRQPzyxddzRQdyPx coscos环流量： 叫做 沿有向闭曲线 的环流量zArA环量密度：coscosdxyzPR高等数学下册内容要点 张谋 20140623()cos()cos()cosRQPRQPyzzxxy旋度： ()()()ijkrotAx
35、yzAijkyzxyPQR 为向量场 的旋度。斯托克斯公式可改写为： ()()AdrdSAndSrot又因 ， 为旋度 与法向量 的夹角。cos.otnrts Atn所以环量密度与旋度的关系为：旋度是一向量，其方向为环量密度最大的方向，其模是环量密度的最大值。1.计算曲线积分 。其中 是第一象限中沿圆周 从23()LIxydydL2xy到 。(0,)2,2.计算曲面积分 ，其中 为上半球面 的上侧。212()xdyzdxy24zxy解：作辅助平面 取下侧。214:0z12 212()(1)xdyzdxydzxdy1 12 2()()zxy 24()2xydvd高等数学下册内容要点 张谋 201
36、4062423 220012 1cosindrdr4.计算曲线积分 ，其中dyxdyL)13(22 .22xyL为 正 向 圆 周解：由格林公式 0)(2DDdx.23418cos82042cos033 drdr用 极 坐 标计算曲面积分 .其中 是由曲面222yxzxzdyA与平面 所围成的半球体的表面外侧.2zax0解: 222()ydzdxzyxyz 522 3400sinisin.1arrdr 5.已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ，(,)fxy(1,),(),(,)Dfyfxfxyda其中 ，计算 。01,DyxyDd解：因为 ，所以 从而(,),()fyfx(1,)0,(1)yxf
37、f1 000, ,),(,)xy xyxxDfdfdfyfyd 1 10 0(,)(,)x xf f 11100 0(,)(,)(,)fyfydyfdxa6.设 为椭圆面 上的动点，若 在点 处的切平面与 面垂直，P22:1SxzSPxoy高等数学下册内容要点 张谋 20140625求点 的轨迹 ，并计算曲面积分 ，其中 是椭圆面 位PC2(3)4xyzIdSS于曲线 上方的部分解：椭圆面 上点 处的法向量是 S(,)xyz,nxyz点 处的切平面与 面垂直的充要条件是Po020k所以点 的轨迹的方程为 ，即221zyxz2314zyx取 ，记 的方程为 ，由于23(,)14Dxy(,)yD2
38、222 41xy zxyzzzy22 2(3)(3)144xyDxIdSzdyz().Dxy高等数学下册内容要点 张谋 20140626第十一章 无穷级数一、常数项级数的概念及性质1定义 称为常数项无穷级数，其中第 项12nu1nun叫做级数的一般项。nu令 ，则数列 称为级数, 212121 nnSS nS的部分和数列， 的前 项和称为级数 的部分和。1n nu1u定义 如果级数 的部分数列 有极限 ，即 ，则称无穷级1nssnlim数 收敛，其极限值 叫做这个级数的和，即 。1nusun1如果 没有极限，称无穷级数 发散。nS1n例 -等比级数，或称为几何级数0naq当 时收敛，其和为 ；
39、 当 时发散。1公 比第 一 项11q2级数的基本性质性质 1：若 ，则1nus.11nuksu性质 2：若 、 ，则nv.vs性质 3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性不过收时其和一般要改变。性质 4：若级数 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收1nu敛，且其和不变注意：收敛级数去括号，则不一定收敛。性质 5(级数收敛的必要条件)：若级数 收敛，则它的一般项 un 趋于零，1nu即 反之不成立； 如调和级数 是发散的。0limnu高等数学下册内容要点 张谋 20140627二、常数项级数的审敛法1正项级数及其审敛法：正项级数的概念：给定级数 ，若 ，则称 为正项
40、级数。() 1nu0n1nu基本定理：正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列s n有2界利用此充要条件，马上得到正项级数的比较审敛法。比较审敛法：设 和 都是正项级数，(3)1nu1nv若存在自然数 N，当 n N 时，有 un kvn (k 0)成立，则如果 收敛 收敛；1nv1如果 发散 发散nu注：用比较审敛做题，主要将要讨论的级数适当地放大或缩小，并且放大或缩小后的级数的敛性是知道的。什么是适当：放大或缩小后，级数的敛散性不变；究竟是放大呢？还是缩小？：首先要猜测级数的敛散性，若猜所讨论的级数收敛，则放大，放大后仍收敛，由比较审敛敛法知原级数收敛；若猜所讨论的级数发散，则缩小，
41、缩小后仍发散，由比较审敛敛法知原级数发散。三个级数的敛散性是已知的：等比（几何）级数，调和级数，P-级数。几何级数： 1,1nqq第 一 项公 比发 散调和级数： 发散1nP-级数： 1p收 敛 ,发 散比较审敛法的极限形式：设 和 都是正项级数， 如果(4) 1nu1nv limlvun（1）若 ，则级数 与级数 有相同的敛散性；l01nv1nu（2）若 ， 收敛，则级数 收敛1nv（3）若 ， 发散，则 发散。l1nu高等数学下册内容要点 张谋 20140628比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设 为正项级数，如果51nu，1,lim,nu则 原 级 数 收 敛则 原 级 数 发 散则 原 级
42、 数 敛 散 性 不 确 定根值审敛法(柯西判别法)：设 为正项级数，则61nu,li,nu则 原 级 数 收 敛则 原 级 数 发 散则 原 级 数 敛 散 性 不 确 定2交错级数及其审敛法:交错级数的概念：形如 或 ，即级数的各项(1)1)(nu)0()1(nun正负交替，这样的级数称为交错级数。莱布尼茨定理：如果交错级数 满足条件：(2) 1)( u n un + 1 (n = 1, 2, 3, )； 0lim则级数收敛，且其和 s u1，其余项 rn 的绝对值 rn un + 1 例 判别级数 的敛散性。1)(n三、绝对收敛与条件收敛：1. 绝对收敛与条件收敛的概念：对于任意项级数
43、（ 为实数） ，若 收敛，则称 为绝对收敛。1nun1nu1nu若 发散，但 收敛，则称 为条件收敛。1nu11例如 为绝对收敛，而 为条件收敛。3)(n )(n2. 定理：如果级数 绝对收敛，则级数 必定收敛反之不成立。1nu1nu应注意的几点：1比较、比值、根值审敛法，只适用于正项级数，对于一般项级数的收敛性，主要用该定理来判定。2 发散，不能断定 发散；但若是用比值法、根值法判定1nu1nu高等数学下册内容要点 张谋 20140629发散，则 也发散。 （因为比值法、根值法判别级数发散，是根据一1nu1nu般项不趋于 0 而得的）定理 1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数 在 处收敛，则在0nxa0内绝对收敛反之，如果级数 当 x = x0
