1、1自动控制原理课后习题答案第一章（略）第二章2.1 试分别写出图 2.68中各无源电路的输入 ur(t)与输出 uc(t)之间的微分方程。图 2.68 习题 2.1图解：(a) ， ， ，1rcuiR2()rcCui12cuiR121221crrRCuCuR(b) ， ， ， ，11()rci12riR121i12ci1212112121()()c crrRCuCuRCuRCu(c) ， ， ， ，1rci12)ri12i12cidt121221121()()c crruRuuu2.2 试证明图 2.69(a)所示电路与图 2.69(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。图2.69(b)中 X
2、r(t)为输入，X c(t)为输出，均是位移量。(a) (b)图 2.69 习题 2.2图解：2(a) ， ， ， ，1rcuiR2()rcCui12i221cuidtRC1212112)()c crrRCu (b) ， ，2()cBxKx 12()rcrcBxKxBx112112212)ccrrxK2.3 试分别求出图 2.70中各有源电路的输入 ur(t)与输出 uc(t)之间的微分方程。(a) (b) (c)图 2.70 习题 2.3图解：(a) ，12crruCR 221rrRCu(b) ，12cr221cr(c) ，211rrcuRdtC2cruRCu2.4 某弹簧的力-位移特性曲线
3、如图 2.71所示。在仅存有小扰动的情况下，当工作点分别为 x0 =-1.2、0、2.5 时，试计算弹簧在工作点附近的弹性系数。3图 2.71 习题 2.4图解：设力 f 与位移 x 的关系为 f=g(x)。取增量方程：， x0 =-1.2、0、2.50xdgf为工作点处的弹性系数，分别从曲线中量出为0()xdg 32016,8.52.5 设某系统的传递函数为 G(s)，在初始条件为零时，施加输入测试信号 r(t)= t（t 0）,测得其输出响应为 c(t)=1+sin t +2 e-2t（t 0）,试确定该系统的 G(s)。解：， ，21)(sR21)(2ssC253)(4ss2.6 系统的
4、微分方程组如下： )(d)( ,)(d)( )()(d)( ,)(54435 55323 1121 tcTtxKttx Kt txtttcr其中 ，K 1，K 2，K 3，K 4，K 5，T 均为正常数。试建立系统 r(t)对 c(t)的结构图。解：42.7 系统的微分方程组如下： tctxKtnNtxt tTtxtctrx d)()( ,)()(d , )()()()( 250245 34523 1211 其中 K0，K 1，K 2，T 均为正常数。试建立系统结构图。解：2.8 图 2.72是一个模拟调节器的电路图。试写出输入与输出之间的微分方程，并建立该调节器的结构图。图 2.72 习题
5、2.8图解：(a) ， ， ， ， ，1rcuiR)(121dtuCR312RidtiCu22 54Rucrcc52415214352.9 图 2.73是一个转速控制系统，输入量是电压 ua，输出量是负载的转速 ，试写出其输入输出间的微分方程，并画出系统的结构图。图 2.73 习题 2.9图 解：(a) ， ， ，eaaKdtiLRiuaidMBdtJaeeiaaeieia uKRBLJRJ 1)()(12.10 某机械系统如图 2.74所示。质量为 m、半径为 R 的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为 的斜面上滚动(无滑动)，试求出其运动方程和结构图。图 2.74 习题
6、 2.10图62.11 试化简图 2.75中各系统结构图，并求传递函数 C(s)/R(s)。(a) (b)(c)图 2.75 习题 2.11图解：(a) 12213)(HGsG(b) 211)()(7(c) 1432143231321)( HGHGsG2.12 已知系统结构如图 2.76所示，试将其转换成信号流图，并求出 C(s)/R(s)。(a) (b)图 2.76 习题 2.12图解：(a) (b) 2121)( HGHsG 21)(HGs2.13 系统的信号流图如图 2.77所示，试用梅逊公式求 C(s)/R(s)。(a) (b)图 2.77 习题 2.13图解：(a) KssG5.0.
7、3)(2(b) 2142145132121 64 )(HGGH2.14 试梅逊公式求图 2.78所示结构图的传递函数 C(s)/R(s)。8(a) (b)图 2.78 习题 2.14图解：(a) 3212512124)( GHGHsG(b) 21213)(2.15 已知系统结构图如图 2.79所示，试写出系统在输入 R(s)及扰动 N(s)同时作用下输出 C(s)的表达式。图 2.79 习题 2.15图解： HGHGsNsRGsC 321321 2442312 )(1()()( 2.16 系统的结构如图 2.80所示。（1）求传递函数 C1(s)/R1(s)，C 2(s)/R1(s)，C 1(
8、s)/R2(s)，C 2(s)/R2(s)；（2）求传递函数阵 G(s)，其中，C (s)=G(s)R(s), C(s)= ，R(s)= 。21)(21s9图 2.80 习题 2.16图解：（1） )(1)()( 187513252sGHGsRC)()( 218751325612)()( 128751325942 sGHGsRC)(1)( 28751325642 ）（2） )(221sGs2.17 已知系统结构图如图 2.81所示。（1）试求传递函数 C(s)/R(s)和 C(s)/N(s)；（2）若要消除干扰对输出的影响，即 C(s)/N(s)=0，试问应如何选取 G0(s)。图 2.81
9、习题 2.17图10解：（1） )1()(321TsKsRC)()(321430GN（2） 2140Ks3.1.已知系统的单位阶跃响应为)0(2.1.0)(6tetctt0试求：（1）系统的闭环传递函数 (s)=？(2) 阻尼比 =？无自然振荡频率 n=？解：（1）由 c(t)得系统的单位脉冲响应为 ttetg1060)(760121)( 2sssgLs（2）与标准 对比得：22)(n，5.460n 429.160273.2.设图 3.36 (a)所示系统的单位阶跃响应如图 3.36 (b)所示。试确定系统参数 和,1K2a。11(a) (b)图 3.36 习题 3.2图解：系统的传递函数为
10、22121)()( nsKasKsaW又由图可知：超调量 43pM峰值时间 0.1ts代入得 212.03Kenn解得：； ， ， ，213ln3.03.102n 89.1021n， 。98.na2K3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量 %，调节时间 s，峰值时间p5t3s，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。1pt解：设该二阶系统的开环传递函数为 2nGs12则满足上述设计性能指标： 1305.212npspte得： ，69.01n2由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：3.4.设一系统如图 3.37所示。(a)求闭环传递函数 C(s)/R(s)，并在
11、 S 平面上画出零极点分布图；(b)当 r(t)为单位阶跃函数时，求 c(t)并做出 c(t)与 t 的关系曲线。图 3.37 习题 3.4图解： (a)系统框图化简之后有 )235)(25.0)(2 jsjsssRC13jsz235,1零极点分布图如下：(b) 若 为单位阶跃函数， ，则rt 1Lrts 222222 22 )35()35(81354)35(835 4351)()(21) ssss sjsjsC tttcinco8)(大致曲线图略。3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为22)(nssRC分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。 (1) =2， = ；
12、n1s5 (2) 1.2， = ； (3) 说明当 1.5 时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。解：（1） (=2)1,闭环极点 351022,1 ns14250)(2ssRCWs1)( )32(51)(121 nT )32(5T461) )()3(212ttTtTt eetc6.8,34.ss 59.|/|12stt eetc34.)32(507.)( sts9.（2） (=1.2)1,闭环极点 4.056122,1 n)(2ssRCW, )4.02.1(5T)4.0.1(52T14.02.14.02.11)( )4.021(5).2(2121 ttTtTt eeetc,684.056
13、1s 39sstns 2.1)7.5()7( （3）答： 时， 。 ，1.5 5122,1 n 91.115， ，两个闭环极点的绝对值相差 5倍以上，离原点较远的极点对应的09.132s58.6|/|12s暂态分量初值小、衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的 5倍以上） ，因此可以忽略掉。3.6.设控制系统闭环传递函数为 ，试在 S 平面上绘出满足下列各要求的22)(nssG系统特征方程式根可能位于的区域：(1) 1 0.707， 2 (2) 0.50，4 2nn (3) 0.7070.5， 23.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，图 3.38
14、 习题 3.7图 1200r/min的稳态转速，而达到该值 50%的时间为 1.2s，试求电机传递函数。提示：注意 = ，其中 ，单位是 rad/s )(sVaKdt)(解： 由式 = 可得 )1(0)1(10)()( asKsaKsasVs )()1()(0Ttteet 02.105.)()2.1(a 5.)(2.1a测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度升为稳态值的 50%或 63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（见图 3.38）和所测数据，并假设传递函数为 )()(asKVsG可求得 和 的值。若实测结果是：加 10V电压可得1658.021lnasrrK/mi016.058
15、.10ak电机传递函数为： ).()()( ssVsG3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半 s 平面其根的个数及纯虚根。(1) 023ss24(2) 0.(3) 4345 12sss(4) 0561答案：（1）劳斯表如下： 2743210124ss劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（2）劳斯表如下： 2031.23ss劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（3）劳斯表如下：1710523861042345ss劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（4）劳斯表如下： 01234
16、5.62.ss劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定3.9.有一控制系统如图 3.39所示，其中控制对象的传递函数是)1)()(ssG0.21采用比例控制器，比例增益为 Kp ，试利用劳斯判据确定 Kp值的范围。图 3.39 习题 3.9图解： )12.0)(.)(ssKGp特征方程为： 03.2pKsD劳斯表如下： ppKs0123118要使系统稳定只需 ，解得 。03.2pK150pK3.10.某控制系统的开环传递函数为)1()(sTsHG2试确定能使闭环系统稳定的参数 K、T 的取值范围。解：由系统开环传函可知 0)1()2()3 KsssD劳斯表如下： KsT012
17、32)(由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。若第一列元素均大于 0，即02)1(2KT解得 ，0K)()1(2当 K1时 ，当 时, 。T10T3.11. 设单位反馈系统的开环传递函数分别为 (1) )(1)(*5ssG(2) )()(*sKs试确定使闭环系统稳定的开环增益 的取值范围（注意 KK * ）19解：(1) 0)1(8.02.)(23KsssD劳斯表如下： Ks01234.解得：使闭环系统稳定的开环增益 的取值范围 。34K(2) 08.2.)(23ssD由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益 取何值闭环系统都不稳定。 3.12.设单位反馈系统的开环传递
18、函数为)/1)(/)(63ssKG若要求闭环特征方程的根的实部均小于-，问 值应取在什么范围?如果要求实部均小于2，情况又如何?解：由反馈系统的开环传函 )6(318)6(31)( sss089)(2KD（1）令 ,得：1zs 13618)()()232zzz劳斯表如下： 10862301Kz欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：得 2914520（2）令 ,得：2zs 0816318)2()(9)2()2Kzz KzD如果要求实部均小于2，由特征方程可见， ，系统稳定的必要条件不成立，无论62a取何值，系统都不稳定。K3.13.单位反馈系统的开环传递函数为 )(4)2ssG(1)
19、求系统的单位阶跃响应； (2) 输入信号为 r(t) =1(t)，求系统的误差函数 e(t)；解：（1） 开环传递函数 2(42ss闭环传递函数 )2(4)()22 sW单位阶跃响应 1)2(4)( 23102sKsKssC，0312 2321331)(2 ssssCttetct inco)(（2）不考虑扰动作用 )(1tr)5.0(2)ssG2101)(lim0psrpKesG3.14.某控制系统的结构图如图 3.40 所示。(1) 当 a=0时，试确定系统的阻尼比 ，无阻尼自然振荡频率 nn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。图 3.40 习题 3.14 图 解：(1) 当 a=0 时，
20、， ， ， )2(8)sG82(ssWn812n，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差 。4)(lim0sKsv 5.01vsrKe(2) 当 =0.707 时， ， ， ，)82()asG8)2(sasn，得 ， ， ，单位斜坡an 82425.0)4(lim0GKsv信号作用时系统的稳态误差 。.1vsrKe(3) 此时 ，)2()asGKsasW)2( 4lim0Gsv an22联立上两式解得 ， 。3K16a(2) 当系统具有最佳阻尼比（ =0.707）时，确定系统中的 a 值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。(3) 若要保证系统具有最佳阻尼比（=0.707） ，且稳态误差等于 0.25
21、时，确定系统中的 a 值及前向通道的放大系数应为多少？223.15已知单位反馈系统闭环传递函数为102.651.234 ssbsRC0)(1) 求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数 b0,b1应满足的条件； (2) 在(1)求得的参数 b0,b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。解：（1）等效单位负反馈开环传递函数 0123401)6.(.5.)( bsssG根据单位斜坡输入时，稳态误差为 0得：即开环传递函数为 6.201b )1.52.(6)2ssG（2）单位抛物线输入时 .0)152.(6lim)(li2020 ssGsKa1.5asrCe图 3.41 习题 3.16图 解：（1
22、）参考作用下的误差传递函数为 )(12(4)(1)(,0)( sRsRsGsEsNr 稳态误差为 5.042lim)(li 200 sssEersr或3.16.系统结构图如图 3.41 所示。 (1) 当 r(t) = t， n(t) = t 时，试求系统总稳态误差(2) 当 r(t) = 1(t)，n(t) = 0 时，试求 。pt,2325.014)1(lim)(li0vsrssvKeG扰动作用下的误差传递函数为 )(12(4)(1)(,)( sNsNsGsEsRn 稳态误差为 5.0)42(lim)(li 200 sssEensn系统总误差为 snrs（2）当 r(t) = 1(t)，n
23、(t) = 0 时， ，)12(4sG225.0)(1 nsSsW解得： 24n 311%02eep 4322nt3.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为 )()10.sG24试求当输入信号 r(t)= 时，系统的稳态误差。21t解：系统为 I 型系统，10).(lim)(li00 ssGKsv 0,apK2.1avps KCBAe3.18.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图 3.42（a ） 、 （b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的 值为 1。(a) (b)图 3.42 习题 3.18图（1） 若 ， 两种系统从响应开始达到稳态温度值的 63.2各需多长
24、时间？)(1tr0n（2） 当有阶跃扰动 时，求扰动对两种系统的温度的影响。.解：（1）开环： 10CsRs达到稳态温度值的 62.3%需时 10T闭环： .s达到稳态温度值的 62.3%需时 .（2）开环： 10CsNs闭环： 各项指标不变。又解：c an(t)=0.1，加干扰后对系统始终有影响；25cbn(t)=0.1e-10t，加干扰后，当 t 趋于无穷时，对系统没有影响。结论：反馈结构可以消除干扰的影响。4-1 如果单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(sKG试用解析法绘出 K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：(2，j 0)，(0+j1) ，(3+ j2)
25、。解：根轨迹如习题 4-1答案图所示。 （-2，+ j0）在根轨迹上；(0,+j1), (-3, +j2) 不在根轨迹上。习题 4-1答案图4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数。 )12(3)sKG试用解析法给出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。解： 解析法：K=0 时：s=-1/2，0；K=1：s=-1 ；K=-：s=-，-1/3。根轨迹如/习题 4-2答案图所示。习题 4-2答案图264-3 已知系统的开环传递函数 ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨)1()(sKHsG迹图，并确定使系统处于稳定时的 K 值范围。解：分离点：0.414；会合点：-2.414 ；与虚轴交点：j。
26、稳定的 K 值范围：K1。根轨迹如习题 4-3答案图所示。习题 4-3答案图4-4 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 2*)4(1)(ssKG（1）试粗略画出 K*由 0 到 的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。解：稳定性分析：系统不稳定。根轨迹如习题 4-4答案图所示。-10 -5 0 5-8-6-4-202468 Root LocusReal AxisImaginary Axis27习题 4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为 ，试绘制系统根)164)()(2*ssKHsG轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。解：渐近线： =60，180； =-2/3；复数极点出射角 55；
27、分离会合点 0.46 和-2.22；与虚轴交点 1.57 和 2.56；使系统稳定的开环增益为 1.46 K 2.23 (即 23.4 K *35.7)。习题 4-5答案图4-6 已知系统的特征方程为 0)4()3(1)(2sKss试概略绘出 K 由 0时的根轨迹（计算出必要的特征参数） 。解：渐近线： =90， =0；分离点2，相应 K=1.88；会合点j 3.46，相应 K=34.14；复数零点入射角 90；无论 K 为何值系统均不稳定。28习题 4-6答案图4-7 反馈系统的特征方程为 0)16(234 Ksss作出 0 K 的根轨迹，并求出系统稳定时所对应的 K 值范围。解：渐近线：
28、=60，180； =-2/3；复数极点出射角 63；分离点：1.6 ，会合点：-3.43。由图可知系统在任何 K 值下都是不稳定的。习题 4-7答案图4-8 已知闭环系统的特征方程为 。0)1()(2sKas(1)画出 a =10 时的根轨迹，并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时 K 的取值范围；(2)确定根轨迹具有一个非零分离点的 a 值，并画出相应的根轨迹；(3)在(2)中确定的 a 值下，求闭环传递函数具有二重极点时所对应的 K 值；(4)画出 a =5 时的根轨迹。当 K =12 时，已知一个闭环极点为s 1= 2，问该系统能否等29效为一个二阶系统？解：（1）渐近线： =90，
29、 =-4.5；会合点：-2.5，分离点：-4。阻尼振荡时 K 的取值范围为（0，31.3） （32，） ，呈单调变化时 K 的取值范围为（31.3，32） 。习题 4-8（1）答案图（2）具有一个非零分离点的 a=9。习题 4-8（2）答案图（3）a =9 时，闭环二重极点 s1,2=-3对应的 K=27。（4）渐近线： =90， =-2；不能等效。画出 a =5 时的根轨迹。30-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-5-4-3-2-1012345 Root LocusReal AxisImaginaryAxis习题 4-8（4）答案图4-9 设单位反馈系统的开环传递函数为 )()asKG试绘出 K 和 a 从零变到无穷大时的根轨迹簇；当 K = 4 时，绘出以 a 为参变量的根轨迹。解：令 a =0 绘制 K 为参变量的根轨迹如习题 4-9答案图之一所示。习题 4-9答案图之一当 K 取不同值时，绘出 a 变化的根轨迹簇如习题 4-9答案图之二所示。当 K = 4 时，画a 从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示。
