1、专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 174第十二章 微分方程12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce (c 的任意常数)是 =2x 的特解。 ( )x2y2.y=( ) 是二阶微分方程。 ( )y33.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ）二、填空题1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 。2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。3. 积分曲线 y=(c +c x)e 中满足 y x=0=0, x=0=1 的曲线是 。12x三、选择题
2、1下列方程中 是常微分方程（A） 、x 2+y2=a2 (B)、 y+ (C)、 + =0 （D） 、 =x2+y2 0)(arctnxed2xayy2.下列方程中 是二阶微分方程（A） （ ）+x 2 +x2=0 (B) ( ) 2+3x2y=x3 (C) +3 +y=0 (D) -y2=sinx yy3.微分方程 +w2y=0 的通解是 其中 c.c1.c2 均为任意常数dx（A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c1coswx+c2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx4. C 是任意常数，则微分方程 = 的一个特解是 y32（A）y-=(x+2) 3
3、(B)y=x3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。1 （其中 为任意常数） 2. （其中 为任意常数）2xyCxxeCy32121,五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 17512-2 可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解1 sec2.tacydx+sec2ytanxdy=02 (x+xy2)dx-(x2y+y)dy=03 (ex+y-ex)dx+(ex+y-ey
4、)dy=04 =cos(x-y).(提示令.x-y=z)y二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解1 cosydx+(1+e-x)sinydy=0. y x=0= 4专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 1762. 1.1sec232xydyx三 、设 f(x)=x+ f(u)du,f(x)是可微函数，求 f(x)x0四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。五、船从初速 v0=6 米/秒而开始运动， 5 秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 17712-3 齐次方程一、求下列齐次方程的
5、通解1 -xsin 2 (x+ycos dx-xcos dy=0yx0)xy二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1xy =x2+y2 y x=e=2e 2.x2dy+(xy-y2)dx=0y x=1=1axd三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解四、设有连结点 O(0，0) 和 A（1，1）一段向上凸的曲线孤 对于 上任一点AOP（x，y）,曲线孤与 直线段 所围图形的面积为 x2，求曲线孤 的方程。PO 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 17812.4 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解1.x +y=xex 2. +ytanx=sin2xy y3. + 4.y
6、xsin1 yexd3二、求下列微分方程满足初始条件的特解1 cosy+siny =x y 2.(2x+1)ey 2ey=4 yy 40x 0x三、已知 f( ),曲线积分 与路径无关，求函数 f(x).badyxfyxf)()(sin四、质量为 M 0 克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒 m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。五、 求下列伯努利方程的通解1y+ 2y5 2. xy+y-y 2lnx=0x专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 17912-4 全微分方程一、求下列方程通解1cos(x+y 2)
7、+3ydx+2ycos(x+y2)+3xdy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.eydx+(xey-2y)dy=0二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解1 ydx-xdy+y2xdx=02 y(2xy+ex)dx-exdy=0三、xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2ydy=0 为全微分方程，其中函数 f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数 f(x)，并求该方程的通解。专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 18012-7 可降阶的高阶微分方程一、求下列各微分方程的通解1 =xsinx 2. - =xy y3.y +( )2= 4. (1+ex)+
8、 =0y y二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解12 =sin2y y 20xy10x2. x - ln + lnx=0 y y21x21ex三、函数 f(x)在 x0 内二阶导函数连续且 f(1)=2，以及 (x)- ,求f 0)()(21dtfxf(x).四、一物体质量为 m,以初速度 Vo 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为 ，摩擦系数为 u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 18112-8 高阶线性的微分方程一、选择题1下列方程中 为线性微分方程（A） （ ）+x =x (B)yy xy2(C) (D)xex2 cos32.已知函数 y1
9、= ，y 1= ，y 3=e(x- 则 2x2x2)1（A）仅 y1 与 y2 线性相关 （B）仅 y2 与 y3 线性相关（C）仅 y1 与 y3 线性相关 （D）它们两两线性相关3若 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程， +p(x) +4(x)y=0 两个特解，c 1c2 为任意常数，则yy=c1y1+c2y2 (A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解（C）是该方程的解 （D）不一定是方程的解4下列函数中哪组是线性无关的 （A）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln , lnx2x二、证明：下列函数是微分方程的通解1y=c1x2+c2x2lnx(
10、c1 c2 是任意常数 )是方程 x2 -3x +4y=0 的通解y2y=c1e-x+c2e (c1c2 是任意常数)是方程 2 的通解xxey三、设 y1(x)y2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且 y1(x)y2(x).y3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为： )()(21 xcxcy四、试求以 y= ex+c2e-x)+ (c1,c2 是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。1(cx专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 18212-9 二阶常系数齐次线性微分方程一、选择题1 以 y1=cosx,y2=sinx 为特解的方程是 （A） (B) (C) (D)0 0y0y0y
11、2微分方程 2 的通解是 （A） （B） （C） (D)xxecy2121xxecy21xxecyec23常微分方程 ， （其中 是不等的系数） ，在初始条件0)(2121 yy21,y1x=0= 特解是 0x（A）y=0 (B)y= (C) （D）xxec2121xy21)(xy4 是微分方程 的一个特解，则此方程的通解是 xey2 06yp（A） （B）xec321 xec21)(（C） （D）xy )3ossin22yx5 是微分方程 的通解ec21（A） （B） （C） （D）0y0y0y0y二、求下列微分方程的通解1 25 43 404y 065y专业 班级 学号 姓名 成绩 时间
12、1835 5. 0136yy 02)4(yy三、求下列微分方程满足初始条件的特解1 012yy10xy201xy2 03xdt 0t 10tx四、一质量为 m 的质点由静止（ t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为 k） ，求此质点的运动规律。专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 18412-10 二阶常数非齐次线性微分方程一、选择题1 微分方程， 形 式 为的 特 解 *2yxy(A)ax (B)ax+b (C)ax (D)2bxa22.微分方程 形 式 为的 特 解 *1yeyx（A） （B） （C） （D）baex baxxebxae3微分方程
13、 的特解 y*形式为 euy2（A） （B ） （C） （D）x2)(x2)(xe2 xecx22)(4微分方程 的特解 y*形式为 ycos4（A）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x5. 微分方程 的特解形式为 y*= x2in（A） （ax+b）sin 2x (B)(ax+b)sin2x+(cx+d)cos2x（C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f6. 微分方程 的特解形式为 xeyx5si54（A） (B)baexsin xcba5s
14、ino（C） （D） xe二、求下列各方程的通解1 2xey2 xysin673 4xeysin52 xycos专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 185三、求微分方程 满足 的特解xycos9 022xxy四、已知二阶常系数微分方程 有特解 ，求)2(xyxeyx612*的值，并求该方程的通解,五、 为常数。试求 的通解。kxeyky2六、设 ，其中 f(x)为连续的数，求 f(x)。xxdtftfxf00)()(sin)(七、一链长 18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下 8cm，另一边垂下 10cm，问整个链子滑过钉子需要多少时间？专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 186第十二章自测题一
15、一、 填空题1已知曲线 y=y(x)过点（0， ）且其上任一点（x,y）处的切线斜率为 xln(1+x2)，则21f(x)= 2以 为通解的微分方程是 （其中为任意常数）2ycx3。微分方程 ydx+(c2-4x)dy=0 的通解为 4微分方程 的通解为 axln5已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解 e-x,ex,sinx,cosx,则该微分方程为 二、选择题已知函数 y=f(x)在任意点 x 处的增量 y= 且当 x o 时， 是比 x 更高21y阶的无穷小量，y(o)= ，则 y(1)等于 （A）2 （B） （C） （D）4e4e2 y=y(x)是微分方程 的解，且 ，则 f(x)在
16、 0sinxy0)(xf（A） x 的某个邻域内单调增加 （B）x 的某个邻域内单调减少（C）x 处的取极小值 （D）x 处取极大值3一曲线通过点 m(4.3),且该曲线上任意一点 p 处的切线在 y 轴上的截距等于原点到 p 的距离，则此曲线方程为 （A） （B） （C） （D）252yx102y25)9()(2x 1642xy4下列方程中可利用 , 降为 p 的一阶微分方程的是 p（） （）)(2xy 02y（C） (D) 02 x三、求解下列微分方程1.求 ydx+(x2y-x)dy=0，满足 的特解，1xy专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 1872.求 的通解xey1四、求 的通解。
17、xysin五、已知 ， ， 是某二阶线性非齐次微xey21xeyxxey23分方程的三个解，求此微分方程。六、已知函数 f(x)可微 ，且对任意实数 x,y 满足：f(x+y)= ,求此函数 f(x).)()(xfeyfx七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为 m,机车牵引力为 F,阻力为 a+bv,其中 a,b 为常数，v 为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律 s=s(t).专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 188第十二章自测题二一、单项选择题设 y= 是方程 的解，若 则 在 点 )(xf 042y,0)(xf)(xf0（A）取得极大值； （B）取得极小值；
18、（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；函数 是方程 的 xey23y（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对微分方程 的特解应具有形式（其中，a,b,c 为常数） xy2cos52（A） （B）);incos(22bxa xcba2sino（C）a+bcos2x; (D) ax2+bcos2x+csin2x4.微分方程 特解应具有形式 xey396（A） （Ax+Bx）e 3x (B)x(Ax+B)e3x （C）x 2(Ax+B)e3x （D）Ax 3e3x5.设一动点以等加速度 a 作直线运动，且其初速度为 v0,初始位移为 s0，则此质点规律是 （A）
19、s=v 0+s0; (B) (C) (D)021stvs ;st02stva6 函数 f(x)满足关系式 )(,21)()( xfndtfxf 则（A）1n2e x; （B）1n2e 2x; （C ）e x+ln2; （D） e 2x+ln2.二、填空题1.微分方程 的通解 y= 02y2.以 为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是 213.以 为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是 xexcos,sin,4.微分方程 yy通 解3三、判断下列方程的类型并求其解求 的 特 解满 足 20)2(05xdxd求(xe y+1)dx+( )dy=0 的通解ye1专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 189四、求微分方程的 的通解xey265五、已知函 的图形经过原点和点 M（1，2） ，且满足微分方程)(xfy求，012 .f六、设二阶常数线性微分方程 的一个特解为 试确 xeya ,)1(2xxey定常数 并求该方程的通解,七、设函数 连续可微， 且对任意闭曲线 C 都有 )(xf ,1)(f ,0)(43dyxfyx求 .
