1、线性代数第一章行列式第一节二阶与三阶行列式一、 二元线性方程组与二阶行列式对于二元线性方程组 121axb（）使用加减消元法，当 时，方程组(1.1)有解为，12210 （）2121211,babaxx(1.2)式中的分子、分母都是 4 个数分两对相乘再相减而得其中分母 是由方程组(1.1) 的1221a4 个系数确定的，把这 4 个数按它们在方程组(1.1)中的位置，排成两行两列 (横排称行、竖排称列)的数表（）12a表达式 称为数表(1.3)所确定的行列式，记作1221a， （）12a数 (i=1,2; j=1,2)称为行列式 (1.4)的元素元素 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素位
2、于第 i 行，ija ija第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于第 j 列上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆如图 1-1 所示，即实线连接的两个元素( 主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素( 次对角线) 的乘积图 1-1例 1 （）.32二、 三阶行列式三、 定义 1.1 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表（5）12133a用记号 12133a表示代数和 123123123123123123aaaa上式称为数表(1.5)所确定的三阶行列式，即12133a= （）12123123123123123aaa三阶行列式表示的代数和，也可以由下面的对角线法则来记忆，如图 1-2 所示，其
3、中各实线连接的 3 个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线连接的 3 个元素的乘积是代数和中的负项图 1-2例 2 计算三阶行列式12345解 由对角线法则（）（）（）（）（）（）（）（）例 3 0 的充分必要条件是什么?104a解 由对角线法则=104a20 当且仅当a1，因此可得：2014a的充分必要条件是a1第二节 n 阶行列式的定义一、 全排列及其逆序数把 n 个不同元素按某种次序排成一列，称为 n 个元素的全排列n 个元素的全排列的总个数，一般用 Pn 表示，且nn！对于 n 个不同元素，先规定各元素间有一个标准次序(如 n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这 n 个
4、元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它们构成了一个逆序一个排列中所有逆序的总和，称为该排列的逆序数，排列 的12ni逆序数记作 ( )12ni例如，对排列 32514 而言，4 与 5 就构成了一个逆序，1 与 3，2，5 也分别构成一个逆序，3 与 2 也构成一个逆序，所以 (32514)逆序数的计算法：不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序，设 为这 n 个自然数的一个排列，自右至左先计算排在最后一位数字 的逆12ni ni序数，等于排在 前面且比 大的数字的个数，再计算 的逆序数，然后把所有数字的逆i 12ni序
5、数加起来，就是该排列的逆序数例 1 计算 （n） （n） 解 从排列 （n） （n）看，前 n 个数 （n）之间没有逆序，后 n 个数 （n）之间也没有逆序，只有前后 n 个数之间才构成逆序2n 最大且排在最后，逆序数为 0，2n-2 的前面有 2n-1 比它大，故逆序数为 1，2n-4 的前面有 2n-1、2n-3 比它大，故逆序数为 2，2 前面有 n-1 个数比它大，故逆序数为 n-1，因此有 （n） （n） （n） (1)逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列二、 对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素保持不动，这种作出新排列的方法叫做对换将相邻两个元素对换，叫
6、做相邻对换定理 2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性证 先证相邻对换的情形设排列为对换 a 与 b，变为 显然这时排列中除 a,b1212,mnabKL1212,mnabKL两数的顺序改变外，其他任意两数和任意一个数与 a 或 b 之间的顺序都没有变当 ab 时，经对换后，a 的逆序数不变，b 的逆序数减少 1；当 ab 时，对换后，a 的逆序数增加 1，b 的逆序数不变，所以新排列与原排列奇偶性不同再证一般对换的情形设排列为 ，对换 a 与 b，变为121212,mnpabcKL可以把它看做将原排列作 n 次相邻对换变成12 ,mnpabcL，再作 n+1 次相邻对换变成 因
7、1212 121212,mnpbcKL此经过 2n+1 次相邻对换，排列变为 所以这两个排列的奇偶性1212,mnpabcKL不同三、 n 阶行列式的定义为了给出 n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的定义，三阶行列式的定义为=12133a23123123123123123aaaa由定义可看出：(1) 上式右边的每一项都是 3 个元素的乘积，这 3 个元素位于不同的行、不同的列；且每一项 3 个元素的第 1 个下标(行标) 依次为 123，排成了标准次序，第 2 个下标(列标)排成了 ，它是 1，2，3 这 3 个数的某一个排列，对应上式右端的 6 项，恰好等于这 3 个12p数排列的种数
8、因此除了正负号外，右端的每一项都可以写成下列形式： ，其中123,pa是 1，2，3 的某一个排列，其项数等于！1(2) 项的正、负号与列标排列的逆序数有关易验证上式右端带正号的项的列下标的排列都是偶排列，带负号的项的列下标的排列都是奇排列因此各项所带符号由该项列下标的排列的奇偶性所决定，从而各项可表示为 123123(),ppa综合(1)、(2)得：三阶行列式可以写成1321231213()3 ,ppaa其中 为排列 的逆序数表示对 1，2，3 这 3 个数的所有全排列 12()p123p 123p求和由此，我们引入 n 阶行列式的定义定义 2 1 设有 个数，排成 n 行 n 列的数表21
9、1221nnaa作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积 并冠以符号(-1)（ ） ，21,nppa 12,np即得(2 1)1212()nnpppa 的项，由于 为自然数 1，2，n 的一个排列，这样的排列共有 n!个，因而形如,(2 1)式的项共有 n!项，所有这 n!项的代数和1212().nnpppa 称为 n 阶行列式，记为121212nnnaa简记为 det(aij)，其中数 aij 称为行列式 det(aij)的元素，即 (2.2)121212nnnaa 1212().nnpppa 按此定义的二阶、三阶行列式，与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式是一致的特别当n=1 时，一阶行
10、列式a=a，注意与绝对值记号的区别例 2 按行列式的定义计算下三角形行列式：121,nnaa其中未写出的元素全为零(以后均如此 )解 由定义，n 阶行列式中共有 n!项，其一般项为12(),nppa其中 ( ） 现第 1 行除 外其余元素全为零，故只有一个元素 ，在12,n 1a1a第 2 行中除了 外全是零，故应在 中取一个，且只能取一个，因为 是第 1 行第2 2, 21 列的元素， ，故 不能再取 1，所以 ，即第 2 行取 ，依此类推，第 n1p2,np 2p行只能取 ，即取元素 ，从而有 nna21nnaa 12,na即 D 等于主对角线上元素的乘积同理可得上三角行列式 12122.
11、nnnaaa 作为三角形式特例的对角行列式(除对角线上的元素外，其他元素都为 0，在行列式中未写出来) ， 1212.nnaa例 3 证明 1(1)2, 211 ,.nnnnaaa证由行列式的定义 12, 1211(),.nnnnaaa其中 n（n-1）为排列 n（n-1 ）的逆序数，又 n（n-1）（n-1)+(n-2)+ ，所以结论得以证明(1),2n四、 n 阶行列式定义的其他形式利用定理 2.1，我们来讨论行列式定义的其他表示法对于行列式的任一项 1212() ,nijnppppaa 其中 1ijn 为自然排列，对换 与 成ij121() ,nijnppp 这时，这一项的值不变，而行标
12、排列与列标排列同时作了一次相应的对换设新的行标排列1jin 的逆序数为 ，则 为奇数；设新的列标排列 的逆序数为 2，12,np则，故122()(),np 1212()(,np于是 12 121 1() ()nijn ijnpppppaaaa 这就说明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了一次对换，因此行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性经过一次对换如此，经过多次对换亦如此于是经过若干次对换，使列标排列逆序数 =（ ） 变为自然排列(逆序数为 0)；12,n行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为 则有12,nq1212(),nnqqqa 又若 则 (
13、即 )，可见排列 由排列 所ipjjii jpijqa12,n 12,np唯一确定由此可得 n 阶行列式的定义如下：定理 2 2n 阶行列式也可定义为（）1212().nnpppDa 证 按行列式定义有 1212().nnppp 记 按上面的讨论可知：对于 D 中任一项12()1 ,nqqqa 总有 D中唯一的一项 与之对应并相等；反1212(),nnqqqa 1212(),nqqa 之，对于 D中的任一项 同理总有 D 中唯一一项1212(),nnqq 与之对应并相等，所以 D1212(),nnqqqa 更一般的有 n 阶行列式的定义如下：定理 2 3 n 阶行列式可定义为(2.4)1212
14、(),npqpqDa其中 122(,).np 第三节 行列式的性质记 121212nnnaa将其中的行与列互换，即把行列式中的各行换成相应的列，得到行列式 121212nnnaa上式称为行列式 D 的转置行列式，记作 (或记为 D)T性质 1 D T证 记 Ddet(aij)的转置行列式=T12122nnnbb则 bij=aji(i,j=1,2,n),按行列式的定义12 1212 12() () .n nn np pTppppDba 由定理 2.2 知 T此性质表明，在行列式中行与列有相同的地位，凡是有关行的性质对列同样成立，反之亦然性质 2 交换行列式的两行(或两列 )，行列式改变符号证 设
15、行列式12122nnnbb是由行列式det(aij)交换第 i 和第 j 两行得到的，当 ki,j 时，bkp=akp;当 k=i 或 j 时，bip=ajp,bjp=aip.于是1111()1()() .ijnijnij ijijnjinji jippppppipjpijDbbaaD 推论 1 如果行列式有两行(或两列 )完全相同，则此行列式等于零证 把这两行互换，有 D，故性质 3 行列式中某一行(或列 )的各元素有公因子，则可提到行列式符号的外面，即1211211212nniimiimnnnnaaakkaaa 推论 2 行列式的某一行(或列 )所有元素都乘以同一个数 k，等于用数 k 乘
16、此行列式推论 3 行列式的某一行(或列 )的元素全为零时，行列式的值等于零性质 4 若行列式中有两行(列 )的元素对应成比例，则此行列式等于零性质 5 若行列式的某一行(列 )的元素都是两数之和，如12112212(,()iinnniinaaaD 则 D 等于下列两个行列式之和，即 12111211222212 12.ininnninnninaaaa 证 在行列式的定义中，各项都有第 i 列的一个元素 ，从而每一项均可拆成两项()kiia之和性质 6 把行列式的某一行(列 )的各元素乘以同一数 k 后加到另一行 (列)对应的元素上去，行列式的值不变例如把行列式的第 j 列乘以常数 k 后加到第
17、 i 列的对应元素上，有111111122222221 11().()iii ijiijn jnnnnj injnjaaakaa 以上没有给出证明的性质，读者可根据行列式的定义证明利用这些性质可简化行列式的计算，为了表达简便起见，以 ri 表示第 i 行，ci 表示第 i 列，交换 i，j 两行(列)记为 ri rj（ci cj） ，第 i 行(列) 乘以数 k 记为 kri(kci） ，第 j 行(列)的元素乘以k 加到第 i 行(列)上记为 ri+krj(ci+kcj） ，第 i 行(列) 提取公因式记为 rik（cik） 利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，从而算出行列式的值例 1
18、 计算行列式 2512374.946D解 15215273401629736 0152013015215201133001()9D例 2 计算 n 阶行列式 .abDba解 注意到行列式的各行(列 )对应元素相加之和相等这一特点，把第 2 列至第 n 列的元素加到第 1 列对应元素上去，得(1)()anbDa1().baan100().baan1().)nb例 3 计算行列式 .234326106acdabcDba解从第 4 行开始，后行减前行，得0.236acdbcDa0.263abcdabc402abcdabc可见，计算高阶行列式时利用性质将其化为上三角行列式，既简便又程序化例 4 设 1
19、1111,kkknnnkaDcb 111det(),ijkkaD112et(),nijnb证明： 12.D证 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为ijrk1D11;kkkPp 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为2Dijc2D1212.nnnqq 于是，对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ，把 D 化为ijrkijck1 111211kk knnnknppqcq 第四节行列式按一行(列)展开 将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念在 n 阶行列式中，划去元素 aij 所在的行和列，余下的 n-1 阶行列式(依原来的排法) ，
20、称为元素 aij 的余子式，记为 Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j，称为元素 aij 的代数余子式，记为Aij（）i+j ij.例如四阶行列式 121342341243aa中元素 的余子式和代数余子式分别为23a12142334;aM232323(1)A引理一个 n 阶行列式 D，如果第 i 行所有元素除 外全为零，则行列式ija.ijaA证 先证 位于第 1 行第 1 列的情形，此时ij2120,nnaaD这时第三节例 4 中当 k=1 时的特殊情形，按第三节例 4 的结论有.11aMA再证一般情形，此时 111100.jnijnnjnaDaa 我们将 D 作如下的调换：把 D 的第
21、 i 行依次与第 i-1 行，第 i-2 行，第 1 行对调，这样数 就调到了第 1 行第 j 列的位置，调换次数为 i-1 次；再把第 j 列依次与第 j-1 列，第 j-2 列，ija，第 1 列对调，数 就调到了第 1 行第 1 列的位置，调换次数为 j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对ija调，将数 调到第 1 行第 1 列的位置，第一行其他元素为零，所得的行列式记为 D，则，而ija在 D中的余子式仍然是 在 D 中的余子式 Mij，利用前面的结果，有ij ija1ijM于是 1()()ijijijijaA定理 4.1 行列式等于它的任一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式的
22、乘积之和，即aiAiai2Ai2 +ainAin(i=1,2,，n),或ajAj a2jA2j+anjAnj(j=1,2, ，n)证 112112000ni i innnaaDaaa 12111212121 120000,nn ni i innnnnnaaaaa 根据引理有ai1Ai1ai2Ai2+ainAinnk=1aikAik(k=1,2, ，n)类似地，我们可得到列的结论，即a1jA1ja2jA2j+anjAnjnk=1akjAkj(j=1,2, ，n)这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的例 1 再解第三节中例 1解
23、 2520103746923461D131230()1()0（）（）例 2 计算行列式 11200n nnn nabDcdc 解 按第 1 行展开有 11121 1000000n nnn nabaDacdc d 1 111121 1()0000n nnnn nabbcdc ,2(1)2(1) 2(1)nnnnadDbadbcD以此作递推公式，得22(1)2()1112211()()()()(),nnnnnnnniiiDadbccDabadbcdbdcdc 其中记号“”表示所有同类型因子的连乘积例 3 证明范德蒙(Vandermonde) 行列式（）1221112()nn ijijnnxxDx证
24、 用数学归纳法证明当 n=2 时，2112()ijnijxx(4.1)式成立假设(4.1) 式对 n-1 阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对 n 阶范德蒙行列式成立为此，将 Dn 降阶，从第 n 行开始，后一行减前一行的 倍得1x2131122213110()()()nnnnnxxDx按第 1 列展开，并提取每一列的公因子，有 232131122()()nn nnnxxDxx 上式右端行列式是 n-1 阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于nij2（xixj ） ，故2131121()()().n ijnijijnijxxx显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是 x，x，xn 互不相等由定理 4.
25、1 还可以得到下述推论推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即aiAj+aiAj ainAjn=0,ij ，或a1iA1j+a2iA2j aniAnj=0,ij 证 作行列式(ij)12112niiiiiinnaaaa则其第 j 行与行列式 D 的第 j 行不相同外，其余各行均与行列式 D 的对应行相同但因该行列式第 i 行与第 j 行相同，故行列式为零将其按第 j 行展开，便得aiAj+aiAj ainAjn=0.同理可证 a1iA1j+a2iA2janiAnj=0 将定理 4.1 与推论综合起来得nk=1aikAjk，ij,，ij,或nk=1a
26、kiAkj，ij,，ij.下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理先推广余子式的概念定义 4.1 在一个 n 阶行列式 D 中，任意取定 k 行 k 列(k n)，位于这些行与列的交点处的 k个元素，按原来的顺序构成的 k 阶行列式 M，称为行列式 D 的一个 k 阶子式；而在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素，按原来的顺序构成的 n-k 阶行列式 N，称为 k 阶子式 M 的余子式若 k 阶子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别为 i，i，ik 及j，j ，jk，则（）(iiik）（j jjk）称为 k 阶子式 M 的代数余子式如在五阶行列式 12134152512534
27、5aa中选定第 2、第 5 行，第 1、第 4 列，则二阶子式2514aM的余子式 1231544aN而代数余子式为 251().*定理 4.2(拉普拉斯定理)设在行列式 D 中任意选定 k(1kn-1) 行(或列)，则行列式 D 等于由这 k 行( 列) 元素组成的一切 k 阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和 (不证)例 4 用拉普拉斯定理计算行列式 1240.3D解 若取第 1、第 2 行，则由这两行组成的一切二阶子式共有 个246C12345614,001,.2MM其对应的代数余子式为 123456301,10,.AA则由拉普拉斯定理得（）（）（）（）（）注 当取定一行(列)即 k=
28、1 时，就是按一行(列) 展开从以上计算看到，采用拉普拉斯定理计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用第五节克莱姆法则含有 n 个未知数 x，x，xn 的 n 个线性方程的方程组axaxanxn=b，a2xa2xa2nxn=b2 ，an1xanxannxn=bn(5）有与二、三元线性方程组类似的结论，它的解可以用 n 阶行列式表示，即为下述的克莱姆(Cramer)法则.定理 5.1(克莱姆法则)若方程组(5.1)的系数行列式1212120,nnnaaD则方程组有唯一解，且可表示为(5.2)12,nDxxD其中j（j，n）是将 D 中的第 j 列元素换成常数项所得的行列式，即11,1,12
29、2221,1,1.jjnjnnjnjnaba 证 设 x，x，xn 是方程组(5 1)的解，按行列式的性质，有12112212 .jnjnnjnaaxD 再把行列式的第 1 列，第 j-1 列，第 j+1 列，第 n 列分别乘以x，xj，xj，xn 加到第 j 列上去，行列式的值不变，即1211221121.njnjjjj nnjnjaaxDxaax 1212212 .njnnnbDaa 因 D0，故 （j，n）为方程组的唯一解jx例 1 求解线性方程组12341341,2,xx解 21211030D2325311100, ,12810D22910D3 4125, 3,2100故 123484
30、9,.51xxx由此可见用克莱姆法则解方程组并不方便，因它需要计算很多行列式，故只适用于解未知量较少和某些特殊的方程组，但把方程组的解用一般公式表示出来，这在理论上是重要的使用克莱姆法则必须注意：未知量的个数与方程的个数要相等；系数行列式不为零对于不符合这两个条件的方程组，将在以后的一般线性方程组中讨论常数项全为零的线性方程组(53）1212120nnnaxax 称为齐次线性方程组而方程组(5.1)称为非齐次线性方程组显然 xxxn是方程组(5 3)的解，称为零解，若方程组 (5 3)除了零解外，还有 x，x，xn 不全为零的解，称为非零解由克莱姆法则，有以下定理.定理 5 2 如果齐次线性方
31、程组(5 3)的系数行列式 D0，则齐次线性方程组(5 3)只有零解定理 5 2如果齐次线性方程组(5 3)有非零解，则它的系数行列式必为零定理 5 2说明系数行列式 D是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在后面还将证明这个条件也是充分的例 2 问 取何值时，齐次线性方程组 (5)206(4)xyz有非零解?解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 D，52604D（） （） （）-4(4-)-4(6- )（5-)(2-)(8-),由得： ,第六节典型例题 例 1 证明： axbyzabxyz3().xzaby证明 利用性质 5，把行列式拆成 个行列式的和，除两个外，其余均因有两行成比例而3
32、2等于零，即左边 333().axyzbxyzzayxbyzzx例 2 计算行列式0000nD解按第 1 列展开，可得 Dn 与其同类型的较低阶行列式的关系.121120()()0(),nnnnDD即 DnDn1=(Dn1 Dn2)，或 DnDn1=(Dn1 Dn2).由此递推下去，得DnDn1=(Dn1 Dn2)=(Dn2Dn3)= n2(D2 D1).而 22(),D代入上式，得 （1）21.nnn同理，可得 .（2）当 时，由（1）式、 （2）式解得1.nD当 = 时，由（1）式或（2）式递推下去，得 ().nn例 3 计算 n 阶行列式12311231(,1,)nn iinxaaDxa
33、naa 解121 00nn nxaaDx121 21111() 001() 01()()nnii nk nnii nnkii aaxaaaxxxaxax 例 4 计算行列式 2211122111.nnn nnn xxDx解 只需在 Dn 中加上最后一行和最后第二列，就变成 n+1 阶范德蒙行列式的转置行列式的转置行列式 22111212112nnn nnnxxxDyyy于是有 111211 121()()()().()nTniijinjijijnnnnijijxxyyxxxx 若把 Dn+1 按最后一行展开得 11 0().nnnDayDa而 的系数恰好是(Dn). 比较上式两边 的系数，便得
34、1n 1ny11)().niijnjxx例 5设2345,146523A求（1） （2） 解将 A 中第三行的元素依次换成 5，5，5，3，3.31;345.A则第二行与第三行的对应元素相等，于是行列式的值等于 0.按第三行展开，则有（1）31233455()()0A同理，将 A 中第三行的元素换成第四行的对应元素，按第三行展开则有（2）3123435()A解（1） ， （2）联立方程组，得333450,.第二章 矩阵第一节矩阵的概念引例 1 在平面解析几何中，当坐标轴逆时针旋转 角时，新旧坐标之间存在如下的变换公式：xxcosysin ，y=xsin ycos 显然，这种新旧坐标之间的关系完
35、全可以由公式中的系数所构成的数表 cosini确定引例 2 线性方程组（）1212112,nmmnaxaxbaxaxb 其中 （i，n）代表 n 个未知量，m 是方程的个数，（ i， ，m;j ，n）称为方程组的系数， bi（i，m）称为j常数项为了便于研究和求解线性方程组，我们把系数和常数项取出并按原来的位置排成下列数表:（）121212nmmnaab这样的数表称为矩阵定义 1 1 由 mn 个数 (i=1,2,，m;j=1,2,，n)排成 m 行 n 列的ija121212nmmnaa称为 m 行 n 列的矩阵，简称 mn 矩阵为了表示它是一个整体，总是加一个括弧 (中括弧或小括弧) ，并
36、用大写黑体字母表示它，记作 121212,nmmnaaA（）其中 表示矩阵第 i 行第 j 列的元素矩阵(1 3)也可简记为 A( ）mnij ija或 A( ） ，mn 矩阵 A 也记为 Amnija元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵本书中除特别声明外，都是指实矩阵当 m=n 时， A 称为 n 阶方阵只有一行的矩阵A=( ）称为行矩阵，为了避免元素间的混淆，行矩阵一般记作12naA=( ） 只有一列的矩阵12,na 12na称为列矩阵两个矩阵若行数相等且列数相等，则称它们是同型的若 A( ）mn 与 B( ）ijaijbmn 同型，且它们的对应元素相等，即(i=1,2,
37、，m;j=1,2, ，n),ijijab则称矩阵 A 与 B 相等，记为A=B元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O注意不同型的零矩阵是不相等的显然，当未知量 的顺序排定后，线性方程组(1 1)与矩阵(1 2)是一一对应的，12,nx于是可以用矩阵来研究线性方程组例 1 设一组变量 到另一组变量 的变换由 m 个线性表达式给出：12,n 12,y（）12122,nmmmnyaxax 其中常数 (i=1,2,，m;j=1,2,，n)为变换(1 4)的系数，这种从变量 到变ija 12,nx量 的变换称为线性变换线性变换的系数构成 mn 矩阵(1 3)，称为线性变换12,my(1 4)的系数矩阵例
38、2 将某种物资从 m 个产地 运往 n 个销地 用 aij 表示由产12,mA 12,.nB地 （i=1,2, ，m)运往销地 （j=1,2,，n)的物资数量，则调运方案可用矩阵(1 3)表iAjB示下面介绍几个重要的 n 阶方阵例 3 由 n 个变量 到 n 个变量 的线性变换12,x 12,ny2,nyx 称为恒等变换，它的系数矩阵10E称为 n 阶单位矩阵，简称单位阵n 阶单位矩阵的特点是：从左上角到右下角的直线(称为主对角线) 上的元素都是 1，其他元素都为零也就是（ij） ，其中ij1，当 i=j 时， 当 ij 时例 4 线性变换 12,nyx 对应的系数矩阵 120nA称为对角阵
39、对角阵的特点是：不在主对角线上的元素都为零当 n 时，称此矩阵为数量矩阵 12120nnaaA称为上三角阵上三角阵的特点是：主对角线以下的元素全为零，即当 ij 时， 类ija似地，方阵 1210nnaa称为下三角阵第二节矩阵的运算一、 矩阵的加法定义 2.1 设有两个 mn 矩阵： A( ）m n，B( ）m n，那么矩阵ijaijb()()ijnijijcabC11212 212nmmnmbaab 称为矩阵 A 与 B 的和，记为 C注意: 只有同型矩阵才能进行加法运算设 A，B，C，O 均为 mn 矩阵，容易证明矩阵加法满足下列运算规律：(i) 交换律 A+BB+A；(ii) 结合律(A
40、+B)+C=A+(B+C);(iii) A+O=A.设矩阵 A( ）mn，记-A(- ）m n，称为 A 的负矩阵，显然有ijaijaA+(-A)=O,由此定义矩阵的减法为（） 二、 数与矩阵的乘法定义 2 2 设 是常数，A ( ）mn，则矩阵ija121212() nijmnmmnaa称为数 与矩阵 A 的乘积设 A，B 为 mn 矩阵， 为数，由定义可以证明数与矩阵的乘法满足下列运算规律：(i) ()A= (A)=( A);(ii) (+ )A=A+ A;(iii) (A+B)=A+B;(iv) 1 A=A,(-1)A=-A.三、 矩阵与矩阵相乘定义 2.3 设矩阵 则 mn 矩阵 其中
41、(),(),ijmsijsnAaBb(),ijmnCc121ijijijisjikjcba称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C=AB.由定义可以看出：C=AB 中第 i 行第 j 列的元素 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的元素的乘ijc积之和必须注意：只有当第一个矩阵(左矩阵) 的列数等于第二个矩阵 (右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘其行数与列数之间的关系可简记为（ms） （s n）（mn）例 1 设矩阵 4103,220AB求乘积 AB解 因为 A 是 23 矩阵，B 是矩阵，A 的列数等于 B 的行数，所以矩阵 A 与 B 可以相乘，AB=C 是 22 矩阵由定义 2.3
42、有4110()320324110.7B例 3 设 11,AB求 AB 与 BA解 0,1B12.A一般地 ABBA乘积 AB 有意义时，BA 不一定有意义，即使 BA 有意义，由例2，AB BA由此可知，在矩阵乘法中必须注意矩阵相乘的顺序AB 通常说成“A 左乘 B”，BA 称“ A 右乘 B”因此，矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA对于两个 n 阶方阵 A，B，若 ABBA，则称 A 与 B 是可交换的由例 2 还可看出：当 A，B 都不是零矩阵时，但 ABO，这是矩阵乘法与数的乘法又一不同之处特别注意：若 ABO ，不能推出 A=O 或 B=O 的结论；若 AB=AC，AO 也不能推出B=C 的结论可以证明，矩阵乘法满足以下运算规律，其中所涉及的运算均假定是可行的(i) (AB)C=A(BC)(结合律 )；(ii) A(B+C)=AB+AC(分配律)；(B+C)A=BA+CA;(ii) (AB)=(
