1、3.6 线性变换及其矩阵表示1. 基本概念映射 象 原象 单射（1-1 的） 满射（到上的） 双射（一一对应）映射的相等： 。对 有 ，BA:,Aa)(a记为 映射的复合： 。定义C: ;:对:)()(,aa变换： A线性变换： ，其中 为数域 上的线性空V: F间。若对任意的 及任意的 都有,k)()(k则称 为 上的一个线性变换。例 3.6.4 求导变换 )(,)(: xFfxfD例 3.6.6 数乘变换： ，Vkk特别地， 时，称为零变换，记为 ； 时，0k01k称为恒等变换或单位变换，记为 性质 3.6.1：(1) )()( ;)(2) 保持线性组合、线性关系式不变，即若 ，则ikik
2、(3) 将线性相关的向量组变成线性相关的向量组。（线性无关的怎样？）可逆变换： 性质：(1) 可逆变换是一一对应；(2) 逆变换唯一；(3) 若 是线性变换，则 也是线性变换。12. 线性变换的矩阵(表示)设 为 维线性空间 上的一个线性变换。取nV的一组基： ，则有唯一确定的Vn,21。此时，对任意的 ，若设j),(，则 。由此可知，ja)()(jja由 唯一确定，即 由 唯一确定。从)()j )(j而 与 互相唯一确定。j设 njaanjjj ,21,)(21 将上式写为矩阵形式：nnnna 122112121 ,)(,)(, 记为 ，称矩阵 为 在基 下,21 A,的矩阵(表示)。例 上
3、的零变换，单位变换，数乘变换在V的任意基下的矩阵分别为 。kI,0例 3.6.10 求 中求导变换 在自然基：nxFD下的矩阵。12,1nx求法：先求 。)( ,)( ,1nxD定理 3.6.3 设 是线性空间 上的一个线性变V换， 为 的一个基，且 在该基下的矩阵n,1 V表示为 ，即AAnn,11 对任意的 ，设 ， ，则 ixiy)(XY注意：与坐标变换公式有何不同？定义： 。);()()()(k若在基： 下， ， ，则n,1 AB;BA;k定理 3.6.4 设 是线性空间 上的一个线性变换，V为它的一个基，且n,1 Ann,11 则 可逆 可逆。A定义 3.6.8 设 是数域 上的两个
4、线性空间, 是V,F到 的一个映射.若对任意 及 ,均有V VFk),()()()(则称 是 到 的一个线性映射,此时,若 还是双射,则称 是 到 的一个同构映射.V例如, 数域 上的 维线性空间 同构于向量FnV空间 .n再如, 数域 上的 维线性空间 上所有的线性变换的集合 构成一个线性空间，且 与* *同构。nF3. 线性变换在不同基下的矩阵在线性空间 中取两个基： ，Vn,1。同时，设n,1 An,1 Bn1 P,1另一方面， nnn ),(),(, 11 A1)(,P比较与，由 在基： 下矩阵表示的n,1唯一性可知 AB例 在 中定义线性变换：3RTTxxx),(),( 321321
5、(1) 求 在自然基： 下的矩阵；321,(2) 求 在基：下的矩阵。TTT),(,)0(,)0(214. 线性变换的特征值与特征向量设 是线性空间 上的一个线性变换，V为它的一个基，且n,1 Ann,11 在 中，能否找到适当的基，使得 在该基下的矩V阵为对角阵？不妨设已经找到，为 ，于是有n,21,1n nn 11,)(,)(即ii)(,设 ，则有Pnn,11 nA1定义 3.6.7 设 为数域 上线性空间 上的一个线FV性变换。若存在数 和非零向量 ，使得)(则称数 为线性变换 的一个特征值， 为 对应特征值 的特征向量。结论：线性变换 在某个基下的矩阵为对角阵 有 个线性无关的特征向量
6、。n)(XA其中， 为 的特征值， 是 在基： 下的 n,1矩阵表示， 是特征向量 在基： 下的坐X,标，即 。ix类似地，可定义矩阵的特征值与特征向量。如何求？首先需要计算行列式！小 结1. 线性空间的基、维数、坐标（求过渡矩阵，求坐标）2. 生成子空间、解空间（求基、维数）3. 标准正交向量组（Schmidt 正交化方法）4. 正交矩阵5. 线性变换的矩阵表示第四章 行列式4.1 排列定义 由 n 个数 1，2，, n 组成的一个有序数组称为一个 n 阶排列。定义 在一个排列中，如果两个位置上的数排在前面的大于排在后面的，则称这两个数构成一个逆序。一个排列中所含逆序的总数称为该排列的逆序数
7、。排列 j j j 的逆序数记为 ( j j 12n12j )。n4.2 行列式的定义2121bxa其中 （i, j = 1, 2）为常数， （j = 1, 2）为jba未知数。由消元法可知，当0211a时，可得上述方程组有唯一解: 2112121 ,abxabx引用符号21a表示 即令,21a21a211a则上述方程组的解可表示为2112211,abxabx称符号为二阶行列式。它含有两行、两列，称为它的元素，其下角标 i 表示 所在的行ija ij数， 表示 所在的列数。ij 21a红实线称为该行列式的主对角线，蓝虚线称为该行列式的次对角线（或副对角线） 。符号只是个记号，它的实质意义是式右
8、端的代数式，称之为二阶行列式的展开式，它是一个数。对于 3231221bxaxa其中 （i, j = 1, 2, 3）为常数， （j = 1, 2, jb3）为未知数，由消元法可知，有同样的结论。记32132132132311aaa aD当 时，可得上述方程组有唯一解：0DDxx321, 其中3213213221332211 abab abaD23131231231212 ababaD 21312312312213 ababaD 称式中的符号3231a为三阶行列式。它含有三行、三列， 称为它的ij元素，其下角标 i 表示 所在的行数， 表示ij所在的列数。ija 3231a红实线称为该行列式的
9、主对角线，蓝虚线称为该行列式的次对角线（或副对角线） 。三阶行列式的实质意义是式右端的代数式，称之为三阶行列式的展开式，它也是一个数。3 阶行列式的展开式：,3213213213231aaaaD 的规律：（1）项的形式： 321jj是 1, 2, 3 的排列（2）项的个数：3! = 61, 2, 3 的全部排列的数目（3）项的符号： )(21j于是，三阶行列式的展开式又可表为321 321321)(321j jjjaa式中的和式取遍 1, 2, 3 的全部排列。定义 个数 排成 n 行 n 列，2n),21,( jia记为nnaa 212112称上面符号为 n 阶行列式， 称之为第 行第 j
10、列iji的元素。n 阶行列式表示一个数，其值为 nnnjjjjn aaa 221 121)(2112)上面和式取遍 1, 2, n 的全部排列。上式右端称为 n 阶行列式的展开式。定义 设 n 阶方阵nnaaA 21121则称 n 阶行列式 nnaa 21为方阵 的行列式，记为 或 。A|Adet例 设四阶上三角矩阵 4321410aa求 。|A解 根据行列式的定义，43214321)(4321410| jjjaaaA因为4j4j3,302ja24,1j所以， 4321)34(432110| aaA321a例 设 是上三角矩阵，则 的值为 的主|A对角元之积。若 是上（下）三角矩阵，则称 为上
11、（下）A|三角行列式。4.3 行列式的性质性质 1 设 是 n 阶方阵，则 ijaA，即|TAnnnaa 21112 na212121例 设 是下三角矩阵，则 的值也为 的A|A主对角元之积。性质 2 设 是 n 阶方阵，ija，则 ，即BijR |nnjjjiniiaaaa 21211niiijnjjaa 21211推论 若行列式有两行完全相同，则该行列式等于零。性质 3 设 是 n 阶方阵，ijaA，则 ，即BAikR |knniiinniii naaaaa 2111221112 推论 1 若行列式中某一行的元素全为零，则该行列式等于零。推论 2 若行列式中某两行成比例，则该行列式等于零。
12、问题 对方阵 ， 与 有什么关系？A|k|性质 4 设 是 n 阶方阵，且 nnnsss nsnss aacbcbaaA 21,1,1,21 ,1,12,1 令 nnsssnsnssnnsssnsnss aaccaaAaabbaaA 2112111221121112 , , , ,则 。|问题 对同阶方阵 ， 与 有BA,|,BA关系吗？性质 5 设 是 n 阶方阵， ，则ijkR ，即|BA nnnijijij iniinjjjinii aakkaaaaa 21211121211 例 计算四阶行列式dcab解 004312)( dcabdcabR例 计算四阶行列式abD4解 ababaC341324babaabaR01)3(1)3(1432)。3)(上例中的方法是否可用于计算 n 阶行列式？abbaDn 例 设 、 是 4,1321A,231B阶方阵，且 ，求 。|A解 因 , ,21321故 ) |, ,| , ,|(2 | 231313 21 BA。6)(2)|小结: 1) 重点; 2)难点; 3)注意点.
