1、胡寿松自动控制原理习题解答第二章21 设水 位自动控制系统的原理方案如图 118 所示， 其 中 Q1 为水箱的进水流量， Q2 为水箱的用水流量，H 为水箱中实际水面高度。 假定水箱横截面积为 F， 希望水面高度 为 H 0 ， 与 H 0 对应的水流量为 Q0 ， 试列 出水箱的微分方程。解 当 Q1 Q2 Q0 时， H H 0 ； 当 Q1 Q2 时， 水面高度 H 将发生变化， 其变化率与流量差 Q1 Q2 成正比，此时有F d (H H 0 ) (Q Q ) (Q Q )dt 1 0 2 0于是得水箱的微分方程为F dH Q Qdt 1 222 设机 械系统如图 257 所示 ，
2、其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式及传递函数。图 257 机械系统解 图 257(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得胡寿松自动控制原理习题解答第二章21f1 ( x解：对上式两边去拉氏变换得：（ 2s+1） X（s ） =1/s2 X (s) 1 1s 2 (2s 1) s 2 1 s42s 1运动模态 e 0.5t所以： x(t ) t 2(1 e 1 t2 )( ) &x (t ) x&(t ) x(t) (t）。 解：对上式两边去拉氏变换得：(s 2 s 1) X (s) 1 X (s) 1(s 2 s 1) 1(s 1/ 2) 2 3 /
3、 4运动模态 et / 2 sin 2 所以： x(t ) 2 e t / 23 sin 2 （ 3） &x (t ) 2x&(t ) x(t ) 1(t）。解：对上式两边去拉氏变换得：(s 2 2s 1) X (s) 1 X (s) s 1 s(s 2 2s 1) 1s(s 1) 2 1 s 1 s 1 1(s 1) 2胡寿松自动控制原理习题解答第二章0 0运动模态 e t (1 t )所以： x(t ) 1 e t te t 1 e t (1 t)2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程：Q K P式中 K 为比例常 数， P 为阀门前 后的压差。 若 流量 Q 与压差
4、P 在 其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近 作微小变化 ， 试导出线 性化方程。解：设正常工作点为 A，这时 Q0 K P0在该点附近用泰勒级数展开近似为：y f ( x ) df ( x) ( x x )0 dx0 x0即 Q Q0 K1 (P P0 ) dQ 其中 K1 dP 1 K 12 P P P2-7 设弹簧特性由下式描述：F 12.65 y1.1其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。解：设正常工作点为 A，这时 F 12.65 y1.10 0在该点附近用泰勒级数展开近似为：y f ( x ) df ( x) ( x x )0 dx0 x0
5、即 F F0 K1 ( y y0 ) dF 其中0.1 0.1K1 12.65 1.1y0 13.915 1.1y0 dy y y02-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为：胡寿松自动控制原理习题解答第二章0ed Ed cos式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。解：设正常工作点为 A，这时 Ed Ed 0 cos 0胡寿松自动控制原理习题解答第二章s 02在该点附近用泰勒级数展开近似为：y f ( x ) df ( x) ( x x )0 dx0 x0即 ed Ed cos 0 K s ( 0 )其中 K ded d Ed 0
6、sin 0 2-9 若某系 统在阶 跃 输入 r(t) =1(t)时 ， 零初始条 件 下的输出 响应 c(t) 1 e 2t e t ， 试求系统 的 传递函数 和脉 冲 响应。 解：对输出响应取拉氏变换的：C (s) 1 1 1 s 2 4s 2因为： C (s) (s)R(s) 1 (s)s s 2 s 1 s(s 1)(s 2) s所以系统的传递函数为： (s) s 2 4s 2 (s 1)(s 2) 1 s(s 1)(s 2) 1 1 s 12s 2系统的脉冲响应为： g (t ) (t) e t e 2t2-10 设系统传递函数为C (s) R(s)2s 2 3s 2且初始条件 c
7、(0)=-1, c& (0)。试求阶跃输入 r(t)= 1 (t)时，系统的输出响应 c(t)。解：由系统的传递函数得：d c(t) 3 dc(t) 2c(t ) 2r (t ) （1 ）dt 2 dt对式（1 ）取拉氏变换得：s 2 C (s) sc(0) c&(0) 3sC (s) 3c(0) 2C (s) 2R(s)将初始条件代入（2 ）式得(s 2 3s 2)C (s) s 3 2 1s（2 ）即： C (s) 2 s 2 3ss(s 2 3s 2) 2 2s 6s s 2 3s 2 1 s 4 s 1 2s 2所以： c(t) 2 4e t 2e 2t胡寿松自动控制原理习题解答第二章
8、0R2-11 在图 2-60 中，已知和两方框相对应的微分方程分别是6 dc(t ) 10c(t) 20e(t )dt20 db(t) 5b(t ) 10c(t)dt且初始条件均为零，试求传递函数 C (s) / R(s) 及 E(s) / R(s)解：系统结构图及微分方程得：G(s) 206s 10 H (s) 1020s 510 20 E (s) 10 10C (s) 10G(s) 6s 10 R(s) 1 G(s)H (s) 20 10R(s) 1 G(s)H (s)1 20 10 1 6s 10 20s 56s 10 20s 510(20s 5)(6s 10) 1200s 2 1500
9、s 500 200(20s 5) 200(20s 5) (6s 10)(20s 5) 200 120s 2 230s 250(6s 10)(20s 5) 200 120s 2 230s 2502-12 求图 2-61 所示有源网络的传递函数1解：（ a） Z 0 R0 / C sR 1C0 s1 R0T s 1 T0 R0 C000 0C0 s胡寿松自动控制原理习题解答第二章R 00R1 111U 0 (s) R1 R1 (T s 1)U i (s) Z 0 0（ b） Z 0 R0 / 1 C sR 1C0 s1 R0T s 1 T0 R0 C000 0C0 sZ R 1 T1 s 1 T
10、R CC1 s C1 s1 1 1U 0 (s) Z1 1 (T s 1)(T s 1)U (s) Z R C s 1 0i 0 0 1Z12 R1 /( R2 1C2 s) R1 / T2 s 1C2 s（c ）R T2 s 1C2 s R1 (T2 s 1) T2 R2 C2R T2 s 1C2 sT2 s R1 1U 0 (s) Z12 R1 T2 s 1U i (s) R0 R0 T2 s R1 12-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2 -62所示，试求闭环传递函数 U ( ) ( )。 图2 -62 控制系统模拟电路 解： U1 (s) Z1 （1 ） U 2 (s) Z
11、2 （2 ） U 0 (s) R2 （3 ）U 0 (s) U i (s) R0 U1 (s) R0 U 2 (s) R0式（1 ）（2 ）（3 ）左右两边分别相乘得胡寿松自动控制原理习题解答第二章R 3 R 3R 3RR 0 23mU 0 (s)U 0 (s) U i (s) Z1 Z 2R0 R0R2 即R0U 0 (s) U i (s) 0 1 U i (s) 0U 0 (s) Z1 Z 2 R2 U 0 (s) Z1 Z 2 R2所以： U i (s) 0 1U 0 (s) Z1 Z 2 R2R1 12U 0 (s) 1 Z1 Z 2 R2 T1 s 1 C2 sU (s) R 3 R
12、 3 Z Z R R 1i 0 1Z1 Z 2 R2 R1 R20 1 2 2 3 1 R T1 s 1 C2 s(T1 s 1)C2 sR0 R1 R22-14 试参照例 2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求 出电动机的传递函数 m (s) / U a (s) 和 m (s) / M c (s)解：由公式（2-2 ） 、 （2- 3） 、 （2-4 ）取拉氏变换U a (s) Ea (s) IL s R a (s) Ea (s) Ce m (s)a aCm I a (s) M m (s)M m (s) M c (s) (s)J m s
13、f m得到系统结构图如下：McUa(s) 1 Ia(s) CmMm 1 m(s) Las+Ra Jms+fmCe胡寿松自动控制原理习题解答第二章0 0 m c m (s) CmLa s Ra1J m s f m CmU a (s) 1 Ce CmLa s Ra1J m s f m(La s Ra )( J m s f m ) Ce Cm m (s) M c (s) 1 1J m s f mCe Cm 1 La s Ra(La s Ra )( J m s f m ) Ce CmLa s Ra J m s f m2-15 某位置随动系统原理方块图如图2 -63所示。已知电位器最大工作角度 max
14、330 o ，功率放大级放大系数为 K3,要求： (1) 分别求出电位器传递系数 K0、第一级和第二级放大器的比例系数 K1和 K2； (2) 画出系统结构图； (3) 简化结构图，求系统传递函 数 0 (s) / i (s) 。图2 -63 位置随动系统原理图 解：（1 ） K 15V0 1650 K 30 31 10 K 20 22 10（ 2） e (s) i (s) 0 (s) U s (s) K 0 e (s) U a (s) K1 K 2 K sU s (s)U a (s) Ra I a (s) La sI a (s) Eb (s) M m (s) Cm I a (s)Js 2 (
15、s) fs (s) M (s) M (s)系统结构图如下：Eb (s) K b 0 (s)胡寿松自动控制原理习题解答第二章0 K K K CmmMc i e 0K Us 1 2 s Ua Eb1Las+RaM 1 0Js2+fsKb(3) 系统传递函数 0 (s) / i (s)CmK K K K s(La s Ra )( Js f )0 1 2 s C K K K K K C 0 (s) 1 m b s(La s Ra )( Js f )0 1 2 s m s(La s Ra )( Js f ) Cm K b i (s)1 K K K KCms(La s Ra )( Js f ) 1 K 0
16、 K1 K 2 K s Cms(La s Ra )( Js f ) Cm K b0 1 2 s C K1 m b s(La s Ra )( Js f ) K 0 K1 K 2 K s Cms(La s Ra )( Js f ) Cm K b K 0 K1 K 2 K s Cm2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图 2-64 所示：要求（1 ） 分别求速度调节器和电流调节器的传递函数（2 ） 画 出 系 统 结 构 图 （ 设 可 控 硅 电 路 传 递 函 数 为 K 3 /( 3 s 1) ； 电 流 互 感 器 和 测 速 发 电 机 的 传 递 函 数 分 别 为K 4 和
17、K 5 ；直流电动机的结构图用题 2-14 的结果） ；胡寿松自动控制原理习题解答第二章（3 ） 简化结构图，求系统传递函数 (s) / U i (s)解： （1 ）速调U ST (s) Z1 R1 1C1 s R1C1 s 1 T1 s 1U i (s) U f (s) R流调R1R2 RC1 s RC1 sU LT (s) Z 2 C2 s R2 C2 s 1 T2 s 1U ST (s) U dlfk (s) R R RC2 s RC2 s（2 ）系统结构图如下：K4Ui T1s+1RC1sUfUST T2s+1RC2sULTK3 Ua 3s+1 Eb1 MmCmLas+Ra IaCe1
18、 Jms+fmK5(3) 简化结构图，求系统传递函数 (s) / U i (s)因为求系统传递函数 (s) / U i (s) ，所以令 M c 0 ，系统结构图如下：K4Ui T1s+1UfUST T2s+1RC2sULTK33Ua Eb1Las+Ra Ia1 Jms+fmCeK5将 K4 后移到输出，系统结构图化简如下：Ui T1s+1RC1sUfUST T2s+1RC2sULTK4K3 Ua 3s+1 Eb1Las+Ra IaJms+fmCmCmCe1 Jms+fmK5胡寿松自动控制原理习题解答第二章23 m 2 12进一步化简得：Ui T1s+1RC1sUST T2s+1RC2sULT
19、K4K3 Ua 3s+1Jms+fmCmCm （ Las+Ra） (Jms+fm)+ Ce CmUf Jms+fmK5进一步化简得：Ui T1s+1RC1sUfK3 Cm (T2s+1) CmRC2s (Las+Ra)(Jms+fm)+ Ce Cm( 3s+1)+ K3 K4 Cm(Jms+fm)( T2s+1)K5进一步化简得：Ui K3 Cm 2 1 2(T s+1)( T s+1)2RC1s CmRC2s (Las+Ra)(Jms+fm)+ Ce Cm( 3s+1)+ K3 K4 Cm(Jms+fm)( T2s+1)+ K5 K3 Cm (T2s+1)( T1s+1)所以：(s) U i
20、 (s)K C 2 (T s 1)(T s 1)RC1 sCmRC2 s(La s Ra )( J m s f m ) Ce Cm (3 s 1) K 3 K 4 Cm ( J m s f m ) K 5 K 3Cm (T2 s 1)(T1 s 1)2-17 已知控制系统结构图如图2 -65所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数 C(s)/R(s)。 胡寿松自动控制原理习题解答第二章解：（a ）图2 -65 题2 -17系统结构图 R(s) C(s) G1(s）G2(s） G2(s)G3(s)R(s) C(s) G1(s）G2(s）G2(s)G3(s)胡寿松自动控制原理习题解答第二章R(s)
21、G1(s)+ G2(s)11+G2(s) G2(s)C(s)C (s)所以： R(s)G1 G21 G2 G3（b ）R(s)G1(s） G2(s）C(s)H1(s）1+ H1(s)H2(s）R(s) G1 (1+ H1H2)1+ H1H2- G1H1G2(s）C(s)C (s)所以： R(s)G1G2 (1 H1 H 2 )1 H1 H 2 G1 H1(c)G3R(s)G1G21+G2H1C(s)H2R(s)G3G2G11+G2H1C(s)G1 H2胡寿松自动控制原理习题解答第二章GR(s)G1+G3G21+ G2H1+ G1G2H2C(s)C (s)所以： R(s)G2 (G1 G3 )1
22、 G2 H1 G1G2 H 2(d)R(s)H2/G3C(s)G1 G2 G3 H3H2R(s)H2/ G1G33 C(s)G1 G2 1+ G3H3H2R(s)H2/ G1G3 G3G1 G2 C(s)C (s)所以： R(s)1+ G1H1G1G2 G3(1 G1 H1 )(1 G3 H 3 ) G2 H 21+ G3H3(e)R(s) C(s)G1 G2H1/ G3G3H2+ H1/ G3G4胡寿松自动控制原理习题解答第二章R(s) G1G2G31+ G2G3H2+ H1G2C(s)H1/ G3G4R(s) G1G2G31+ G2G3H2+ H1G2- G1G2H1C(s)G4C (s)
23、所以： R(s) G4 1 G G HG1G2 G3 H G G G H2 3 2 1 2 1 2 1(f)R(s)H1 G1G1 G2C(s)G3R(s)G1+G3G21+ G1G2H1C(s)C (s) (G G )G所以： 1 3 2R(s) 1 G1G2 H12-18 试简化图2 -66中的系统结构图，并求传递函数 C(s)/R(s )和 C(s)/N(s)。胡寿松自动控制原理习题解答第二章G GC解： （1 ）求 C (s)R(s)时， N 0 这时结构图变为：R C1 2 H1R G1G2 C 1+G1G2H1C (s)所以： R(s)G1G21 G1G2 H1 G1G2（2 ）求
24、 C (s)N (s)时， R 0 这时结构图变为：N G3 G2G1 H1进一步化简得胡寿松自动控制原理习题解答第二章CGN G3 G2 G1 H1G1再进一步化简得：N G2 C G3 1+G1G2H1G1再进一步化简得：N G2 C G3 1+G1G2H1 1+G1G2H11G2再进一步化简得：胡寿松自动控制原理习题解答第二章G4N G2 C G3 1+G1G2H1 1+G1G2H11G2再进一步化简得：N G2G3-1-G1G2H11+G1G2H1G2 C G2+G1 (1+G1G2H1)所以： C (s)R(s) G2 (G2 G3 1 G1G2 H1 )(1 G1G2 H1 )G2
25、 G1 (1 G1G2 H1 )解：（1 ） 求图2 -66 题2 -18系统结构图 C (s) 时， N 0 这时结构图变为：R(s)G1 G2RG2 G CG3胡寿松自动控制原理习题解答第二章4G1G2RG2+G3 G CG1G2RC G2+G3 G4G2+G3RG1G2+G2+G3G4 C1+G4(G2+G3)所以： C (s)R(s) G4 (G1G2 G2 G3 )1 G4 (G2 G3 )(2) 求 C (s)N (s)时， R 0 这时结构图变为：NC G2 G4G3N C G4G2+G3所以： C (s)R(s) G41 G4 (G2 G3 )胡寿松自动控制原理习题解答第二章T
26、his is tri2a3 l version胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-1 设随动系统的微分方程为： T&x0 x&0 K 2 uu K1 r (t ) x f T f x& f x f x0其中 T,Tf, K2 为正常数。如果在外作用 r(t)=1+t 的 情况下，使 x0 对 r(t)的稳态误差不大于正常数 0 ,试问 k1 应满足什么条件？见习题 3-20 解答3-2 设系统的微分方程式如下： （1 ） 0.2c&(t) 2r (t )（2 ） 0.04c& (t) 0.24c&(t ) c(t ) r (t )试求系统的单位脉冲响应 k(t)和单位阶跃响应 h(t)。已知
27、全部初始条件为零。解：（1 ） 因为 0.2sC(s) 2R(s)单位脉冲响应： C(s) 10 / s k (t) 10 t 0单位阶跃响应 h(t) C(s) 10 / s 2（2 ） (0.04s 2 0.24s 1)C(s) R(s)h(t) 10tC(s) t 0R(s)0.04s 2 0.24s 1单位脉冲响应： C (s) 0.04s 21 0.24s 1 k (t) 25 e33t sin 4t单位阶跃响应 h(t) C(s) 25 12 s 62s( s 3)h(t) 1 e 3t cos 4t 3 e 3t sin 4t4 16 s (s 3) 163-3 已知系统脉冲响应
28、如下，试求系统闭环传递函数（） 。 （ 1） k (t ) 0.0125e 1.25t（ 2） k (t ) 5t 10 sin(4t 450 )（ 3） k (t ) 0.1(1 e t / 3 ) 解：（1 ） (s) 0.0125s 1.25胡寿松自动控制原理习题解答第三章n2n（2 ） k (t) 5t 10 sin 4t cos 450 10 cos 4t sin 450(s) 5 5s 2 2 4 5s 2 16 2 s 5 5s 2 16 s 2 2 s 4s 2 16（3 ） (s) 0.1 s0.1s 1 / 33-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t ) 10 12.5e
29、 1.2t sin(1.6t 53.1o )试求系统的超调量、峰值时间p 和调节时间s 。解： h(t) 1 11 2e n t sin( 1 2 n t ) arccos % e / 1 2 t p 1 nt 3.5s cos cos 53.10 0.6 % e / 1 2 e 0.6 / 10.62 e 0.6 / 10.62 9.5%t p 1 2 1.6 1.96(s)ts 3.5n 3.5 2.92(s)1.23-5 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) 0.4s 1s(s 0.6)试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解：闭环传递函数GB (s) G(s) 0.4s 1s(s 0.
30、6) 0.4s 121 G(s)1 0.4s 1 s s 1s(s 0.6)C(s) G (s)R(s) 1 0.4s 1 0.4 1B s s 2 s 1 s 2 s 1 s(s 2 s 1) 0.4s 2 s 1 1 s s 1s 2 s 1 1 s s 0.6s 2 s 1胡寿松自动控制原理习题解答第三章nnnnn2nnnc(t) 1 e 0.5t cos 3 t 2 0.6 e 0.5t sin 3 t2 1 1.22e 0.5t sin(3 23 t 55.30 )2h(t) 1 11 2e n t sin( 1 2 n t ) arccos % e / 1 2 t p 1 nt 3
31、.5s cos cos 55.30 0.569 % e /1 2 11.37% 2t p 1 2 3.63s3t 3.5s 3.5 7s0.53-6 已知控制系统的单位阶跃响应为h(t ) 1 0.2e 60t 1.2e 10t试确定系统的阻尼比和自然频率。解： 求拉氏变换得H (s) 1 s 0.2 s 60 1.2 s 10 (s 60)(s 10) s(s 60)(s 10) 0.2s(s 10) s(s 60)(s 10) 1.2s(s 60)s(s 60)(s 10) 600 600 2 n s(s 60)(s 10) s(s 2 70s 600) 2s(s 2 2 s 2 )显然闭
32、环传递函数为 n (s 2 2 s 2 )其 中 2 600根据（3-17） n 10 6 2 n 70 72 6h(t) 1 e t / T1T2 / T1 1e t / T12T1 / T2 1解：根据公式（3-17）胡寿松自动控制原理习题解答第三章n21h(t) 1 te T1 te T2T1 T2 / T1 11T1 / T2 11T2 n ( 1 2 1) n ( 1 2 1)显然： T1 10 T2 60T1 T2 2 1 2 11 6 1 1 1 21 1 2解方程得 72 6由 T1 n ( 1 1 2 1) 10得到 n ( 1) 10所以 n 10 2 1107 49 12
33、 6 24 10 22 6 10 63-7 设图 3-42 是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数 K和 Kt，使系 统、。 解：系统开环传递函数25K1图 3-42 飞行控制系统G0 (s) s(s 0.8)1 25K1s(s 0.8)25KKt s 25K1s(s 0.8) 25K1 Kt s 2 1 n s(s 0.8 25K1 Kt ) s(s 2n ) 2 36 25K K 361 25胡寿松自动控制原理习题解答第三章n2n 0.8 25K1 K t 12 14所以 Kt 453-8 试分别求出图 3-43 各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。r(t) 1 S2c(t)
34、r(t)1+s 1 S2 c(t)r(t) 1 S2c(t)- - -+ S(a) (b) +(c)解：（ a） n 1 0s 1图 3-43 控制系统系统临界稳定。（ b） (s) （ c） (s) s 2 s 1s 1s 2 s 1 n 1 n 1 0.5 0.5 % 29.8% % 16.3%t s 7.51st s 8.08s3-9 设控制系统如图 3-44 所示。要求： 图 3-44 控制系统 (1) 取 1， 2 .，计算测速反馈校正系统的超调量、调节时间和速度误差； (2) 取 1 .， ，计算比例 -微分校正系统的超调量、调节时间和速度误差。 解： （1 ）系统开环传递函数10G (s) (1 s)1s(s 1)10 2 s 10(1 1s) s(s 1) 10 2 s10 s(s 2)2ns(s 2n )0 2 101 n s(s 1)10 2n 2 110胡寿松自动控制原理习题解答第三章 % e / 1 2 35.1%
