1、第一章 习题解答1.2 给定三个矢量 ， ， ：ABC= +2 -3xayz= -4 +z=5 -2Cxz求：矢量 的单位矢量 ；AAa矢量 和 的夹角 ；BB 和 （ ）和（ ） ；ACAC （ ）和（ ）BB解： = = = （ +2 -3 ）/Aa149xayz14 = /cosB=A35.o = 11, = 10 4xayz （ ）= 42BC（ ） = 42A （ ）=55 44 11xayza（ ） =2 40 +5BCz1.3 有一个二维矢量场 = （ y）+ (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图F(r)x形。解：由 dx/( y)=dy/x,得 + =c21.6 求数量
2、场 =ln（ + + ）通过点 P（1，2，3）的等值面方程。2xy2z解：等值面方程为 ln（ + + ）=c则 c=ln(1+4+9)=ln14那么 + + =142xy2z1.9 求标量场 （x,y,z ）=6 + 在点 P（2，-1，0）的梯度。2x3yze解：由 = + + =12x +18 + 得xayza3yxa2yzea= 24 +72 +xyz1.10 在圆柱体 + =9 和平面 x=0，y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域，设此区域的表面为 S:2求矢量场 沿闭合曲面 S 的通量，其中矢量场的表达式为A= 3 + （3y+z）+ (3z x)xa2yza验证散度定理。解
3、： = + + + +sdS曲 dxozASyozd上 AS下= =156.4AS曲 232(csinsi)曲= = 6xoz)yzxo= =0dy23dyz+ = + =AS上下 (6cos)d上 cosd下 27=193sd = =6 =193V(6)xd(cos1)Vdz即： =sA1.13 求矢量 = x+ x 沿圆周 + = 的线积分，再求 对此圆周所包围的xay22y2aA表面积分，验证斯托克斯定理。解： = =ldA2Ld4=Aza2y= = =SsdS2sinSd4a即： = ，得证。l1.15 求下列标量场的梯度：u=xyz+ 2x= + + = (yz+zx)+ xz+ x
4、yuxayuzaxyazu=4 y+ z 4xz2= + + = (8xy-4z)+ (4 +2yz)+ ( 4x)uxayuzaxya2xza2y = + + = 3x+ 5z+ 5yxyzxyz1.16 求下列矢量场在给定点的散度 = + + =3 +3 +3 =6AxyzA2xy(1,0)| =2xy+z+6z =2(1,0)|1.17 求下列矢量场的旋度。 =A = （x x）+ （y y）+ （z z）=aa01.19 已知直角坐标系中的点 P(x,y,z)和点 Q(x,y,z),求：P 的位置矢量 和 Q 点的位置矢量 ；rr从 Q 点到 P 点的距离矢量 ；R 和 ；r 。1()
5、R解： = x+ y+ z;rxayz= x+ y+ z za = = （x x）+ （y y）+ （z z）Rraaa = , =30 22211()()()xyz=( + + )Rxayza1R= x21(y2(za21()R= a3R3z3= （x x）+ （y y）+ （z z）1a= 3即： =1()R3第一章 习题解答1.2 给定三个矢量 ， ， ：ABC= +2 -3xayz= -4 +z=5 -2Cxz求：矢量 的单位矢量 ；AAa矢量 和 的夹角 ；BB 和 （ ）和（ ） ；ACAC （ ）和（ ）BB解： = = = （ +2 -3 ）/Aa149xayz14 = /co
6、sB=A35.o = 11, = 10 4xayz （ ）= 42BC（ ） = 42A （ ）=55 44 11xayza（ ） =2 40 +5BCz1.3 有一个二维矢量场 = （ y）+ (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图F(r)x形。解：由 dx/( y)=dy/x,得 + =c21.6 求数量场 =ln（ + + ）通过点 P（1，2，3）的等值面方程。xyz解：等值面方程为 ln（ + + ）=c22则 c=ln(1+4+9)=ln14那么 + + =142xy2z1.9 求标量场 （x,y,z ）=6 + 在点 P（2，-1，0）的梯度。2x3yze解：由 = + +
7、 =12x +18 + 得xayza3yxa2yzea= 24 +72 +xyz1.10 在圆柱体 + =9 和平面 x=0，y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域，设此区域的表面为 S:2求矢量场 沿闭合曲面 S 的通量，其中矢量场的表达式为A= 3 + （3y+z）+ (3z x)xa2yza验证散度定理。解： = + + + +sdAS曲 AdxozSyozAd上 S下= =156.4S曲 232(csinsi)曲= = 6xoz)yzxo= =0Ady23dyz+ = + =S上下 (6cos)d上 cosd下 27=193sdA = =6 =193V(6)xd(cos1)Vdz即：
8、 =sA1.13 求矢量 = x+ x 沿圆周 + = 的线积分，再求 对此圆周所包围的xay22y2aA表面积分，验证斯托克斯定理。解： = =ldA2Ld4=za2y= = =SsdS2sinSdA4a即： = ，得证。lA1.15 求下列标量场的梯度：u=xyz+ 2x= + + = (yz+zx)+ xz+ xyuxayuzaxyazu=4 y+ z 4xz2= + + = (8xy-4z)+ (4 +2yz)+ ( 4x)uxayuzaxya2xza2y = + + = 3x+ 5z+ 5yxyzxyz1.16 求下列矢量场在给定点的散度 = + + =3 +3 +3 =6AxyzA
9、2xy(1,0)| =2xy+z+6z =2(1,0)|1.17 求下列矢量场的旋度。 =A = （x x）+ （y y）+ （z z）=aa01.19 已知直角坐标系中的点 P(x,y,z)和点 Q(x,y,z),求：P 的位置矢量 和 Q 点的位置矢量 ；rr从 Q 点到 P 点的距离矢量 ；R 和 ；r 。1()R解： = x+ y+ z;rxayz= x+ y+ z za = = （x x）+ （y y）+ （z z）Rra = , =30 22211()()()xyz=( + + )Rxayza1R= x21(y2(za21()R= a3R3z3= （x x）+ （y y）+ （z
10、z）1a= 3即： =1()R3第二章 习题解答2.5 试求半径为 a，带电量为 Q 的均匀带电球体的电场。解：以带电球体的球心为球心，以 r 为半径，作一高斯面，由高斯定理 =Q，及 得，SDdAE r a 时，由 = ，得S2243ra34QrD30Ea ra 时，由 =Q，得SDdA34Qr30Er2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为 a 和 b（a0 的区域外电场强度为 0，即：= =0，得 =120ssre1S2sa2.9 一个半径为 a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q 的电荷，球壳上又另充了电量为 Q 的电荷，已知内部的电场为 ，计算：4()r
11、Ea球内电荷分布；球的外表面的电荷分布；球壳的电位；球心的电位。解：由 ，得0vEA304ra rEeE0srreD由高斯定理 = =qSdA24r当 r a 时，q=2Q，Q=0a02rQ aEdl=2-2ara2.17 一个有两层介质（ ， ）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为 和 ，电12 12容器极板的面积为 S。当外加压力为 U 时，求：电容器的电场强度；两种介质分界面上表面的自由电荷密度；电容器的漏电导；当满足参数是 ，问 G/C=?(C 为电容器电容 )121解：由 ，得n2ED,JU，211d122d两介质分界面的法线由 1 指向 2由 ，得21sE=s212Ud12d由
12、，知IJES121dG= =IU21S =DQC21dG/C= 1120122 22 2033 3302121212212203.1(),)(,)4 1( )()()()()4(2)z=0,(x y zrxyzdqrxyzdxyzdEqxyzzaaarrrrrxydqExy 在 导 体 平 面 上 有 则 322200)(3)()416dqqFdd由 库 仑 定 律 得2003012002130 002000200003.660,( )66( )6( )xxxdxCxdUddx dxddxUdEadDEd 板 间 电 位 满 足 泊 松 方 程边 界 条 件 为(0)=,()=U对 方 程 进
13、 行 两 次 积 分 得代 入 边 界 条 件 得C所 以 板 间 电 位 分 布 为x 000 0006() 3sxxsdxxdUdaDddad =极 板 上 的 电 荷 密 度 为x极 板 上 的 电 荷 密 度 为3.8电 位 分 布 满 足 拉 普 拉 斯 方 程222 0, ,0, , 000()()()()()()0()=()()()0(1)xybxaybyxaybxaUfgfgyfxgyf gyxffxgygy 即边 界 条 件 为分 离 变 量 ,设代 入 方 程 并 且 两 边 同 时 除 以 得设 则方 程 可 写 成 以 下 形 式 20, ,020,1(2)00()si
14、n()1,0()sinh()sinh()sisi()sin()yxaybxan nxybnnnn gyybfxAxbnxybAxyb 解 方 程 并 要 求 满 足 边 界 条 件 得只 有 时 方 程 满 足 要 求解 得将 代 入 方 程 ()并 满 足 边 界 条 件解 得则则 电 位 的 通 解 为,01000101sinh()sin()sin()sin()0ii2sinh()sin()i()i()xaybxanbbbnbnUAymbnmyydbbAaydb 代 入 边 界 条 件 得两 边 同 时 乘 以 i并 对 从 到 积 分 ,并 由时时 得0sih2in(3)mbAabUdy
15、()00001,350 00 0(1)U=(3)(1cos)sinh()241(1,35)sinh()sinh()4sin()i(2)sinsinsinsin=(m=1)2(3mmnb bbbmAabAabxUbybaymymUdyUdybbb 时 ,由 方 程 得则代 入 电 位 的 通 解 求 得 电 位 为时() ()由 方 程01010)sinh()22sinh()sinh()sin()ibbUAababxybUba得则代 入 电 位 的 通 解 求 得 电 位 为222 00 3.9000U()()()()()()0()()=()()0(1)2(x xay yyCfgfxgyfxgy
16、f gyxffxgygy 电 位 分 布 满 足 拉 普 拉 斯 方 程即边 界 条 件 为分 离 变 量 ,设代 入 方 程 并 且 两 边 同 时 除 以 得设 则方 程 可 写 成 以 下 形 式解 方 程x0x2nyyan ya1)0()sin(x)a a,C()si()an nnnnfxgyAex并 要 求 满 足 边 界 条 件得只 有 时 方 程 满 足 要 求解 得将 代 入 方 程 ()并 满 足 边 界 条 件解 得则ya1 0y00100a0 01sin()asin(x)axasin()sin()2i()i()0sinxsin(x)sin()aannnamaanAxeUU
17、AmmnxdAamaUAxda 则 电 位 的 通 解 为代 入 边 界 条 件 得两 边 同 时 乘 以 i()并 对 从 0到 积 分 ,并 由时时 得()=00 y0a1,35 2(1cos)24(1,35)4sin()a mmm nn AAUxe 既则代 入 电 位 的 通 解 方 程 得3.1 设一点电荷 与无限大接地导体平面的距离为 ，如图 3.1 所示。求：qd（1）空间的电位分布和电场强度；（2）导体平面上感应电荷密度；（3）点电荷 所受的力。1201222203333021212122120(),)()41( )()()()()4()z=0,(xy zrxyzdqryzdxz
18、dEqaaarrrrxydqE在 导 体 平 面 上 有 则323222200).()(3)()416zsz zadaxyqqFadd由 库 仑 定 律 得3.6 两无限大接地平行板电极，距离为 ，电位分别为 0 和 ，板间充满电荷密度为U的电荷，如题 3.6 图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。0xd解 ： 板 间 电 位 满 足 泊 松 方 程 20xd边 界 条 件 为 0()=,dU对 方 程 进 行 两 次 积 分 得30126xCd代 入 边 界 条 件 得 021,CUd300,()6所 以 板 间 电 位 分 布 为xUx200200000000()66()3x=极
19、板 上 的 电 荷 密 度 为d极 板 上 的 电 荷 密 度 为xxsxsxdUdEaDdaUdD3.8 一个沿 z 方向的长且中空的金属管，其横截面为矩形，金属管的三边保持零电位，而第四边的电位为 U，如题 3.8 图所示。求：（1）当 时，管内的电位分布；0（2）当 时,管内的电位分布。sinyb（1） 电 位 分 布 满 足 拉 普 拉 斯 方 程22 00, ,0, , ()()()0()=()0(1)()即边 界 条 件 为分 离 变 量 ,设代 入 方 程 并 且 两 边 同 时 除 以 得设 则方 程 可 写 成 以 下 形 式xybxaybaUfgfxyfxgyffxfgy2
20、2解 方 程 并 要 求 满 足 边 界 条 件0, ,0得只 有 时 方 程 满 足 要 求yxaybxa2()sin)解 得 nngyb0,1,()sinh()将 代 入 方 程 ()并 满 足 边 界 条 件解 得xybnfAxb则 y则 电 位 的 通 解 为 1sinh()si()nxyb,01001sinh()si()sin()i()02sinh()si()代 入 边 界 条 件 得两 边 同 时 乘 以 iy并 对 从 到 b积 分 ,并 由时时 得 xaybxabbnUAmdyybAadnyb0sih()2(3ymbaUd0(1)=)cossinh()2时 ,由 方 程 得 m
21、bAam001,3541(,35)sinh)si()4sin()h则代 入 电 位 的 通 解 求 得 电 位 为nUAabxyba 000(2)sinisin=(m1)2时y)y)bbUmddbU0100(3)sinh()2i()sinh()i由 方 程 得则代 入 电 位 的 通 解 求 得 电 位 为bUAabxybUa3.9 一个沿+y 方向无限长的导体槽，其底面保持电位为 ，其余两面的电位为零，如图 3.90U所示。求槽内的电位函数。 2200U电 位 分 布 满 足 拉 普 拉 斯 方 程即边 界 条 件 为 xxayyC ()()()0()=()分 离 变 量 ,设代 入 方 程
22、 并 且 两 边 同 时 除 以 得设 则 fgfxfxgyfx0x()0(1)2方 程 可 写 成 以 下 形 式解 方 程 并 要 求 满 足 边 界 条 件得afxfgy2nyyan0()six)aa,C()sinnfxgAex只 有 时 方 程 满 足 要 求解 得将 代 入 方 程 (并 满 足 边 界 条 件解 得则 ya10y010a001sin()si(x)aasin()i()20sinxsin(x)i()anna maAxeUUmxdxAaUdx 则 电 位 的 通 解 为代 入 边 界 条 件 得两 边 同 时 乘 以 i并 对 从 到 积 分 ,并 由时时 得()=0y0
23、a1,35 2co24(,35)sin() mmmnnAAUxe 既则代 入 电 位 的 通 解 方 程 得4.3 若半径为 a、电流为 I 的无线长圆柱导体置于空气中，已知导体的磁导率为 ，求导体0内、外的磁场强度 H 和磁通密度 B。解：（1）导体内：0 0 为媒质 2，其磁导1率为 ，分界面上有电流密度 分布的面电流，已知媒质 1 中磁场强度为2sxJ2aA/m13/xyzHaA求媒质 2 中磁场强度 2H解： mAaaHnJnzyx yS/52)(2112其 中则 由 到 媒 质设 电 磁 波 由 媒 质5.6 已知在空气中，电场强度矢量为 求磁场90.1si()cos(610)/yE
24、xtzVm强度 和相位常数解： 3 93 9,0.21sin(0)cos(61054.1).1co().)2/xzjwBHHaxtztradm由得相 位 常 数 ：5.7 自由空间中，已知电场强度矢量为 求（1）磁4cos()3cos()xyEatztz场强度的复数表达式（2）坡印廷矢量的瞬时表达式（3）平均坡印廷矢量解:(1) m/4)ea3(120e4azj-yxz-jyz-jx)( VBHEz 得由(2) z)-t(cos245aHES)3(10z)-tcs(az-tcs4a2zyx),()t,( 所 以 tzw/m2(3) 485)43()(120Reavz yxyxa5.9 将下列复
25、数形式的场矢量变换成瞬时表达式，或作用反的变换（1） 43jzjzxyEaee()() 2(,)R3Re4coscos()in()jtzjtzztxyx yaattzz（2） 4sinicos()x zEataxtz(,) () ()2()()icoscos)4sn)Recos()Rei4sn)cos()ztx zjtz jtzx zjz jzzx zjzjzaaaxEajexea （3） co(2inxytt(,) ()() 2()s)cos)Re2Reztx yjtzjtzx yj jzzEaa （4） sin3cos()jkzyxEajk(sin)2() (sin)2(,)(co)3sR
26、eco()cos(isinsn)jkzzyxjtkzztyxyxaktkkz（5） 2sin()yEatz(,) ()()()2cos)2ReztyjtzyjzyEaj5.12 对于线性，均匀和各向同性导电媒质，设媒质的介电常数为，磁导率为电导率为，试证明无源区域中时谐电磁场所满足的波动方程为 式中22EjwkEH2w解: HkjHHjEEjHDjJ2220)j()()(j )( 即 代 入 上 式将 EE:同 理5.15 设电场强度和磁场强度分别为 求其平均坡印廷矢量。cos()emt00()001Re2()e1cos2e mej jjemSEHE6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为)
27、()(0xwtHazyA/求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。解： )cos()(0xtaHzy/(1) 波沿+x 方向传播(2) 由题意得： k= rad/m ， 波长 ， 频率mk2Hzcf8105.（3） )cos(120)( xwtHaaEzyx mv/（4） cos240xwtS2/m6.3 无耗媒质的相对介电常数 ，相对磁导率 ，一平面电磁波沿+z 方向传播，r1r其电场强度的表达式为 )16cs(80ztEay求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和 ；（3）磁场强度的瞬时表达式；（ 4）平均坡印廷矢量。解： （1） smcvrp /1
28、05.8（2） ， )(60r mradcwr/4（3） )410cos(180ztEaHxz mA/（4） 2Re20*Szav 2/w6.4 一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。在 x=0 处，电场强度为，若海水的 ， ， 。mvtEy/)10cos(78r1rms/4求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度；（2）写出海水中的电场强度表达式；（3）电场强度的振幅衰减到表面值的 1%时，波传播的距离；（4）当 x=0.8m 时，电场和磁场得表达式；（5）如果电磁波的频率变为 f=50kHz，重复（3）的计算。比较两个结果会得到什么结论？解：（1）)/(9.82)/(9.82100mradNprsmv jjp/1053. )1(2)(26c1.07.2(2) mvxteaExy /)9.8cos(79.8(3) 52.0%1. (4) 4)(2jexjyaE9.8.10mAxeaeHxztjjxjzx /)49.810cos(R /79.849.8. 当 x=0.8m 时，mAtavEzy /)9.710cos(26.8（5）当 f=50KHz 时，Npf/8.
