1、第四章 排队论排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论(Random Service System Theory),是一门研究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如，上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常常出现排队和等待现象。除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形” 排队现象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他
2、们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。排队的不一定是人，也可以是物：例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服务的人或机构称为“服务台”或“服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统，见图6-1至图6-5。不同的顾
3、客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统，见图6-1至图6-5。图6-1 单服务台排队系统图6-2 单队列S个服务台并联的排队系统图 6-3 S 个队列S 个服务台的并联排队系统图6-4 单队多个服务台的串联排队系统图 6-5 多队多服务台混联、网络系统一般的排队系统，都可由下面图 6-6 加以描述。图 6-6 随机服务系统通常称由图6-6表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系统都是一个随机聚散服务系统。这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是
4、指顾客的到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此这样的服务系统被称为随机服务系统。面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队，通常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。于是，顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时
5、间与服务设施费用大小这对矛盾，这就是随机服务系统理论排队论所要研究解决的问题。排队论是1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.KErlang)在研究电活系统时创立的，几十年来排队论的应用领域越来越广泛，理论也日渐完善。特别是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速发展，更为排队论的应用开拓了宽阔的前景。第一节 基 本 概 念一 、排队系统的描述（一）系统特征和基本排队过程实际的排队系统虽然千差万别，但是它们有以下的共同特征：(1)有请求服务的人或物顾客；(2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；(3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的
6、。排队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长，而另外一些时候服务员(台)又空闲无事。（二）排队系统的基本组成部分通常，排队系统都有输入过程、服务规则和服务台等3个组成部分：1输入过程这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流一般可以从3个方面来描述个输入过程。(1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床则是有限的。(2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中如
7、将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾客则是成批到达的。(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K个顾客(K=1、2、)的概率是多大。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。2.服务规则。这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断
8、电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。后到先服务。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。优先权服务。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服务规则。(3
9、)混合制这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。例如最多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到达时，若系统中的顾客数(又称为队长)小于K，则可进入系统排队或接受服务；否则，便离开系统，并不再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的床位是有限的。 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一定存储时间的元器件被自动认为失效。又如
10、顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用餐。 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为t时，若在这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失制；当K=时，混合制即成为等待制。3服务台情况。服务台可以从以下3方面来描述：(1) 服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台有：单队单服务台式；单队多服务台并联式；多队多服务台并联式；单队多服务台串联式；单队多服务台并串联混合
11、式,以及多队多服务台并串联混合式等等。见前面图6-1至图6-5所示。 (2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批服务。(3) 服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。（三）排队系统的描述符号与分类为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类，可给出很多排队模型。为了方便对众多模型的描述，肯道尔（DGKendall）提出了一种目前在排队论中被广
12、泛采用的“Kendall记号”，完整的表达方式通常用到6个符号并取如下固定格式：A/B/C/D/E/F各符号的意义为：A表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号：M表示到达过程为泊松过程或负指数分布；D表示定长输入；Ek表示k阶爱尔朗分布；G表示一般相互独立的随机分布。B表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。M表示服务过程为泊松过程或负指数分布；D表示定长分布；Ek 表示k阶爱尔朗分布；G表示一般相互独立的随机分布。C表示服务台(员)个数：“1”则表示单个服务台，“s”。(s1)表示多个服务台。D表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量；如系统有K个等待位子，则 00为一
13、常数，表示单位时间内到达顾客的平均数，又称为顾客的平均到达率。对于泊松流，不难证明其相继顾客到达时间间隔 i，i=1,2,是相互独立同分布的，其分布函数为负指数分布：（6-6） 0,1)(tetFti ).,21(i3.爱尔朗输入. 这是指相继顾客到达时间间隔相互独立，具有相同的分布，其分布密度为（6-7） tketta)!1()其中k为非负整数。可以证明，在参数为的泊松输人中，对任意的j与k,设第j与第j+k个顾客之间的到达间隔为).(21kkT则随机变量T k的分布必遵从参数为的爱尔朗分布，其分布密度为： 0)!1() tekttat例某排队系统有并联的k个服务台，顾客流为泊松流，规定第i
14、,K+i,2K+i个顾客排入第i号台(i=1,2,K)，则第K台所获得的顾客流，即为爱尔朗输入流，其他各台，从它的第一个顾客到达以后开始所获得的流也为爱尔朗输入流。此外，爱尔朗分布中，当K1时将化为负指数分布。4.一般独立输入，即相继顾客到达时间间隔相互独立、同分布，分布函数F(t)是任意分布，因此，上面所述的所有输入都是一般独立分布的特例。5.成批到达的输入。这时排队系统每次到达的顾客不一定是一个，而可能是一批，每批顾客的数目n是一个随机变量。其分布为 ：(6-8),.210kakP到达时间间隔可能是上述几类输入中的一种。二、服务时间分布1定长分布。每一个顾客的服务时间 都是常数 ，此时服务
15、时间t的分布函数 为：(6-9) xxtPB01)()2负指数分布。即各个顾客的服务时间相互独立，具有相同的负指数分布：(6-10)01)() xextPB其中0为一常数，服务时间t的数学期望称为平均服务时间。显然，对于负指数分布(6-11)1)()(0dxexdBtEm3.爱尔朗分布. 即每个顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。其密度函数为(6-12)0,)!1()xekxbk其中0 为一常数，此种的平均服务时间为：(6-13)()(0dxbtEK=1时爱尔朗分布化归为负指数分布当K时，得到长度为1/的定长服务。4.一般服务分布。所有顾客的服务时间都是相互独立具有相同分布的随机变量
16、，其分布函数记B(X)，前面所述的各种服务分布都是一般服务分布的特例。5.多个服务台的服务分布。可以假定各个服务台的服务分布参数不同或分布类型不同。6.服务时间依赖于队长的情况。指服务员排队的人愈多，服务的速度也就愈快。三、排队论研究的基本问题排队论研究的首要问题是排队系统主要数量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相关的还包括排队系统的统计推断问题。(1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征。(2)统计推断问题，建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰到如下问题：检验系统是否达到
17、平稳状态；检验顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务时间的分布及有关参数等。(3)系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本目的是使系统处于最优或最合理的状态。系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其内容很多，有最少费用问题、服务率的控制问题、服务台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的最优排序等方面的问题。对于一般的排队系统运行情况的分析，通常是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率P n(t)，再进行计算其主要的运行指标: 系统中顾客数(队长)的期望值L或L s； 排队等待的顾客数(排队长)的期望值L q； 顾客在系统中全部时间(逗留时间)的
18、期望值W或W s；顾客排队等待时间的期望值W q。排队系统中，由于顾客到达分布和服务时间分布是多种多样的，加之服务台数。顾客源有限无限，排队容量有限无限等的不同组合，就会有不胜枚举的不同排队模型，若对所有排队模型都进行分析与计算，不但十分繁杂而且也没有必要。下面拟分析几种常见排队系统模型。对于泊松输入负指数分布服务的排队系统的一般决策过程： 根据已知条件绘制状态转移速度图。 依据状态转移速度图写出各稳态概率之间的关系。 求出 P0 及 Pn 。 计算各项数量运行指标。 用系统运行指标构造目标 函数，对系统进行优化。典型分布 泊松分布及其 性质，负指数分布及其性质泊松 分布 (平稳状态） 0 为
19、单位 时间平均到达的顾客数P I = n = n e- / n! (n=0,1,2,)负指数分布 为平均服务率，即 单位时间服务的顾客数。P（服务时间 t ) = 1- e- t t 0系统状态概率分布及状态转移速 度图 基本的概率分布推导系统状态概率分布： n：系统状态为n时，顾客进入系统的平均速度。 n：系统状态为n时，顾客离开系统的平均速度。 Pn(t):t时刻，系统内有几个顾客的概率。(t,t+ t)有一个顾客到达概率 n t， 无顾客到达的概率1- n t（近似）各种方式发生概率表 方式 1，2，3，4 互不相容且完备，于是：Pn(t+t)=P n(t)(1- nt)(1- nt)
20、+Pn-1(t) n-1t(1- n-1t)+P n+1(t)(1- n+1t) n+1t+P n(t) nt nt (dPn(t)/dt)=limt-0 (Pn(t+t)-P n(t)/t) (t 2项都变为零)=P n-1(t) n-1-Pn(t)( n+ n)+Pn-1(t) n-13.泊松输入指数服务排队模型当n=0时，只有方式1和3，4发生，且方式1中无离去的概率为1，则dP0(t)/dt=-P0(t) 0+P1(t) 1我们假设系统是稳态的，即与时刻无关，于是可得：dPn(t)/dt=0；- 0P0+ 1P1=0n-1P n-1-( n+ n)Pn+ n+1Pn+1=0 n=1,2
21、,3 0P0= 1P1,P1= 0/ 1P0 0P0-( 1+ 1)P1+ 2P2=0 1 P1-( 1+ 1)P1+ 2P2=0P2=( 1/ 2)P1=( 0 1/ 1 2)P0Pn=( n-1/ n)Pn-1=( i=0n-1 i/ j=1nuj)p0 0P0-( 1+ 1)P1+ 2P2=0 1 P1-( 1+ 1)P1+ 2P2=0P2=( 1/ 2)P1=( 0 1/ 1 2)P0又 知 ： Pn=1 (各 事 件 两 两 不 相 容 ， 且 完备 ）P0+( 0/ 1)P0+( 1 0/ 2 1)P0+n-1 n( i/ uj)p0=1i=0 j=1状态转移速度图0 n1 2 3
22、 0 2 1 n-1 n 1 n 3 2 n+1 由此图易得：转入率=转出率n=0时， 0P0= 1P1n一般， n-1Pn-1+ n+1Pn+1=( n+ n)Pn同样可得下列公式: n = 1,2,n-1 nPn=( n-1/ n)Pn-1=( i / u j)p0i=0 j=1L=kP kk=0系统的运行指标：(稳态时）1.系统中顾客数的期望值：L=KP kk=0 2.排队等待的顾客数的期望值：Lq=(K-C) Pkkc3.有效到达率e: 稳态情况下，单位时间内进入系统的顾客数的期望值等于单位时间内离开系统的顾客数的期望值即： e= e当系统中有n个顾客时，每单位时间进入系统的顾客平均数
23、为 n，每单位时间离开系统的顾客平均数为 n e= nPn e= nPn4.L ,L q, e ,W ,Wq之间的关系：Little证明了：W=L/ e , Wq=Lq/ e几何解释： 稳态时，一个顾客，进入系统后，每单位时间，平均到达 e顾客。 e e e e e进 入 时 刻 离 开 时 刻总 时 间 Ws 进 入 时 刻 离 开 时 刻总 时 间队长 Ls 由时间段内个 Ls= eWs同理：L q= eWq又 W=W q+（1/）-W与W q只相差一段平均服务时间1/L=Lq+( e/)M/M/1 无限源系统1M/M/1/N / 参数 ， 系统状态转移速度：0 N-11 2 N-2 N
24、稳态概率方程：Pn= (/)P n-1= (/) nP0 1n NM/M/1 无限源系统由P n=1n=0 N ( / )nP0=1n=0NP0=1/ ( / )n=n=0 (1- / )/(1-( / )N+1 1/(N +1) = Pn=1/(N +1) =(1- / )( / )n/(1-( / )N+1 各计算公式：L=nP nn=0 e= nPn= (1-PN)+0PN (只有 Pn 不再进人，故 n=0，其余均为 ) e = nPn=0P0+ (1-P0)（同理）W =L/ e , Wq=W -(1/ ), Lq=Wq e其他指标： 损 =- e=P NP忙 =1-P0 , P闲
25、=P0 （只有一个服务台）平均服务台忙期的长度 T 忙 ，平均服务台闲期的长度 T 闲 ，T忙 / T闲 = P忙 / P闲 =(1- P0)/ P0T闲 =1/(是从一个顾客到下一个顾客到达的平均间隔时间)于是 T 忙 =(1- P0)/ P 0 2.M/M/1/: 0 n1 2 n-1 稳态概率方程： Pn=（ / ） Pn-1=( / )nP0 令 = /当 1时, n不 收 敛 ， 故 应 k ) = k+1顾客逗留时间超过t的概率P( U t ) = e-()t 3.损失制 M/M/1/1: 顾客到达若服务台被占用立即离开。直接可得：P0= (1- ) / (1- )2= 1 / (
26、1+ ) = / ( + ) P0+P1=1 P1=/（+）P损 =P忙 =P1= /（+）P闲 =P0= /（+）M/M/C 无限源系统1M/M/C/N0 N-11 2 N-2 c2 cNCC-1 c cC+13(c-1)cc 稳态概率应满足的关系：当 n的情形=/(c) 1时，不收敛，设1, (cn / n!) nP0 nc(cc/c!) nP0 n cLq = ccc+1P0 / c! (1-)2e =Wq = Lq/W = Wq+ 1/L=W = Lq+/M/M/C 无限源系统3.M/M/C 损失制系统（M/M/C/C/）此即M/M/C/N中 N=C 的情形cP0= cn/ n! n-
27、1n=0Pn= cn / n!nP0e=(1-Pc)Lq=0, Wq=0(不等待)W=1/L=eW=e/=(/) (1-Pc)损=-e=Pc例 题 解 析例6.1:某火车站售票处有三个窗口，同时售各车次的车票。顾客Pn=到达服从泊松分布，平均每分钟到达=0.9（人），服务时间服从负指数分布，平均服务率=24（人/h），分两种情况：1. 顾客排成一队，依次购票；2.顾客在每个窗口排一队，不准串队。 求:（1）售票处空闲的概率。（2 ）平均等待时间和逗留时间。 （3 ）队长和队列长。 解：1. M/M/3/ / 单位应相同：=0.4（人/分钟） 记 = /（3）0 31 2 32 343 稳态概率
28、： 当n3时 P n=/（n）P n-1=( n/n!) nP0 =3n/n! nP0 当n 3时 P n=/（c）P n-1=(33/3!) nP0 =4.5 nP0 =0.9/(0.4*3)=0.75由 Pn=1n=0 P0+3*0.75 P0+4.5*0.752 P0+ 4.5 n P0=1n=3P0= 1/(1+2.25+2.53125+4.5 3/(1- )=1/13.375=0.0748P1=0.1683 P2=0.1893 Lq= (n-c)Pn=33/3! 4 P0 (n-3) n-3-1n =c+1 n = 4例 题 解 析S= (n-3) n-3-1n=4 F=Sd = (
29、n-3) n-3-1d = n-3n=4 n=4= /(1- )S= dF/ d=(1-)+/(1-) 2于是：Lq=4.5 4P0/(1-) 2=1.704 e=Wq=Lq/ e=1.704/0.9=1.893分钟Ws=Wq+ 1/=1.893+2.5=4.393分钟Ls=W s=3.954故：售票处的空闲的概率为0.0748平均等待时间 Wq=1.893分钟， 平均逗留时间 W=4.393分钟队长 Ls=3.954(人) Lq=1.704(人)例 题 解 析2.M/M/1/ 三个系统并联：=0.3 =0.4 =/=0.75P0=1-=0.25 三个服务台都有空的时候，P 03=0.0156
30、Ls=/(1-)=3 e=0.3Lq=Ls-/=2.25Ws=Ls/=10Wq=Ws-1/=7.5故售票处空闲的概率为 0.0156平均等待时间 Wq=7.5分钟 平均逗留时间 Ws=10分钟队长 Ls=3 三个队 共3+3+3=9队列长 Lq=2.25 共6.75（人）相比之下，排一队共享三个服务台效率好。顾客源有限的排队系统1.M/M/1/m/m系统顾客源是m个，那么系统容量实质上最多有m个足够。0 m-11 2 m-2m (m-1) 2 m (m-2) 3顾 客 源 中 剩 余 的 顾 客 数乘 以 每 个 顾 客 到 达 的 概 率 顾 客 源 中 剩 余 的 顾 客 数乘 以 每 个
31、 顾 客 到 达 的 概 率Pn= m-(n-1)/P n-1 1nm反复推得：Pn=m!/(m-n)!(/) nP0 1nm m代 入 Pn=1 n=0m m!/(m-n)!( / )nP0=1 n=0m P0= m!/(m-n)!( / )n-1 n=0mPn=m!/(m-n)!(/) nm!/(m-k)!(/) k-1 m mk=0 e=(m-L)e= (1-P0)由(m-L)=(1-P0)得 L=m-/(1-P0)W=L/eWq=W-1/Lq=Wqe 2. M/M/c/m/m系统0 m-11 2 m-2m (m-1) 2 c2 cmCC-1(m(c-1)c m me = nPn = (
32、 m-n)Pnn=0 n=0m m= ( m Pn- n Pn)n=0 n=0稳 态 概 率 方 程Pn= (m-n+1) /n Pn-1 nc(m-n+1) /c Pn-1 cnm稳 态 概 率 方 程 反 复 代 入 得 ：Pn= m!/n!(m-n)!( / )nP0 ncm!/c!(m-n)!cn-c( / )nP0 cnm反 复 代 入 得 ： m代入 P n=1 得 (整理后)n=0 c m P0= m!/(m-n)!( / )n+ m!/(c!(m-n)! n=0 n=c+1 cn-c)( / )n-1于是可得 ：mLq=(n-c)P nn=c+1 e=(m-L)又 L=Lq+ e/ =Lq+ / (m-L) 整理得：
