1、12010/01说明：本卷中，A T 表示矩阵 A 的转置， T 表示向量 的转置，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式，A -1表示方阵 A 的逆矩阵，r（A）表示矩阵 A 的秩.一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 30 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式 （ ）10342,1304zyxzyx则 行 列 式A. B.1 C.2 D.32 382.设 A，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC） -1=（ ）A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1 C. C-1A-
2、1B-1 D. A-1C-1B-13.设 1， 2， 3， 4 是 4 维列向量，矩阵 A=（ 1， 2， 3， 4）.如果| A|=2，则|-2 A|=（ ）A.-32 B.-4 C.4 D.324.设 1， 2， 3， 4 是三维实向量，则（ ）A. 1， 2， 3， 4 一定线性无关 B. 1 一定可由 2， 3， 4 线性表出C. 1， 2， 3， 4 一定线性相关 D. 1， 2， 3 一定线性无关5.向量组 1=（1，0，0） ， 2=（1，1，0） ， 3=（1，1，1）的秩为（ ）A.1 B.2 C.3 D.46.设 A 是 46 矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组 Ax=0
3、 的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.47.设 A 是 mn 矩阵，已知 Ax=0 只有零解，则以下结论正确的是（ ）A.mn B.Ax=b（其中 b 是 m 维实向量）必有唯一解C.r（A ）=m D.Ax=0 存在基础解系8.设矩阵 A= ，则以下向量中是 A 的特征向量的是（ ）4963752A.（1，1，1） T B.（1，1，3） T C.（1，1，0） T D.（1，0，-3 ） T9.设矩阵 A= 的三个特征值分别为 1， 2， 3，则 1+ 2+ 3 = （ ）A.4 B.5 C.6 D.710.三元二次型 f （x 1，x 2，x 3）= 的矩阵为（
4、 ）2323121 9464xxx2A. B. C. D.963421963401960421912304二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 =_.1376954212.设 A= ，则 A-1=_.10213.设方阵 A 满足 A3-2A+E=0，则（A 2-2E） -1=_.14.实数向量空间 V=（x 1,x2,x3）|x 1+x2+x3=0的维数是_.15.设 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解.则 A（5 2-4 1）=_.16.设 A 是 mn 实矩阵，若 r（A TA）=5 ，则
5、r（A ）=_.17.设线性方程组 有无穷多个解，则 a=_.2113xa18.设 n 阶矩阵 A 有一个特征值 3，则|-3E +A|=_.19.设向量 =（1，2，-2） ， =（2，a，3） ，且 与 正交，则 a=_.20.二次型 的秩为_.3213 844),( xxxxf 三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21计算 4 阶行列式 D= .876543222.设 A= ，判断 A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵 A-1.37524123.设向量 =（3，2） ，求（ T ） 101.24.设向量组 1=（ 1， 2， 3， 6） ， 2=（ 1， -1， 2
6、， 4） ， 3=（ -1， 1， -2， -8） ， 4=（ 1， 2， 3， 2） .3（1）求该向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.25.求齐次线性方程组 的基础解系及其通解.0342314x26.设矩阵 A= ，求可逆方阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵.3240四、证明题（本大题 6 分）27.已知向量组 1, 2， 3， 4 线性无关，证明： 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1 线性无关.2010/04一、单项选择题（本大题共 20 小题，每小题 1 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码
7、填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知 2 阶行列式 =m , =n ,则 =（ ）21ba21cb21cab4A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n）2.设 A , B , C 均为 n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA，则 ABC=（ ）A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA3.设 A 为 3 阶方阵，B 为 4 阶方阵,且行列式| A|=1，|B|=-2，则行列式|B| A|之值为（ ）A.-8 B.-2 C.2 D.84.已知 A= ，B= ，P = ，Q= ，则 B=（ ）321a321a10103A.PA B.AP C.QA D.AQ5.已知 A
8、是一个 34 矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩（A）=2 B.若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩（A）=2C.若秩（A）=2，则 A 中所有 3 阶子式都为 0 D.若秩（A）=2，则 A 中所有 2 阶子式都不为 06.下列命题中错误的是（ ）A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已知向量组 1, 2, 3 线性无关， 1, 2, 3， 线性相关，则（ ）A. 1 必能由 2, 3， 线性表出 B. 2 必能由
9、1, 3， 线性表出C. 3 必能由 1, 2， 线性表出 D. 必能由 1, 2, 3 线性表出8.设 A 为 mn 矩阵，mn,则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（ ）A.小于 m B.等于 C.小于 n D.等于 n 9.设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为（ ）A.AT B.A2 C.A-1 D.A*10.二次型 f（x 1,x2,x3）= 的正惯性指数为（ ）21321xA.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 的值为_.20
10、189712.设矩阵 A= ,B= ,则 ATB=_.3013.设 4 维向量 （3,-1,0,2） T, =（3,1,-1,4 ） T，若向量 满足 2 =3 ，则 =_. 14.设 A 为 n 阶可逆矩阵，且|A |= ,则|A -1|=_.n115.设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则5|A|=_.16.齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为_. 0321x17.设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是-3，则矩阵 必有一个特征值为_.123A18.设矩阵 A= 的特征值为 4，1，-2 ，则数 x=_.021x
11、19.已知 A= 是正交矩阵，则 a+b=_。1021ba20.二次型 f（x 1, x2, x3）=-4x 1x2+2x1x3+6x2x3 的矩阵是_ 。三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.计算行列式 D= 的值。3322cbac22.已知矩阵 B=（2，1，3） ，C=（1，2，3） ，求（1）A= BTC；（2）A 2。23.设向量组 求向量组的秩及一个极大线性无关组，并, T43TT (1,)(-,0(,0)(,) 用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。24.已知矩阵 A= ，B= .（1）求 A-1；（ 2）解矩阵方程 AX=B。102313542
12、5.问 a 为何值时，线性方程组 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，63241321xax6要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解） 。26.设矩阵 A= 的三个特征值分别为 1，2，5，求正的常数 a 的值及可逆矩阵 P，使 P-1AP= 。302a 5021四、证明题（本题 6 分）27.设 A，B ，A+ B 均为 n 阶正交矩阵，证明（A+B） -1=A-1+B-1。2010/07试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵 A 的转置矩阵；A *表示 A 的伴随矩阵；r(A)表示矩阵 A 的秩；| A |表示 A 的行列式；E 表示单位矩阵。一、单项选择题（本大题
13、共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 3 阶方阵 A=（ 1， 2， 3） ，其中 i（i=1,2,3）为 A 的列向量，若| B |=|（ 1+2 2， 2， 3）|=6，则| A |=( )A.-12 B.-6 C.6 D.1272.计算行列式 =( )32 0 51 A.-180 B.-120 C.120 D.1803.若 A 为 3 阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( )A. B.2 C.4 D.8214.设 1， 2， 3， 4 都是 3 维向量，则必
14、有( )A. 1， 2， 3， 4 线性无关 B. 1， 2， 3， 4 线性相关C. 1 可由 2， 3， 4 线性表示 D. 1 不可由 2， 3， 4 线性表示5.若 A 为 6 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中解向量的个数为 2，则 r(A)=( )A.2 B.3 C.4 D.56.设 A、 B 为同阶方阵，且 r(A)=r(B)，则( )A.A 与 B 相似 B.| A |=| B | C.A 与 B 等价 D.A 与 B 合同7.设 A 为 3 阶方阵，其特征值分别为 2,1,0 则| A+2E |=( )A.0 B.2 C.3 D.248.若 A、B 相似，则下列说
15、法错误的是( )A.A 与 B 等价 B.A 与 B 合同 C.| A |=| B | D.A 与 B 有相同特征值9.若向量 =（1，-2,1）与 =(2，3，t )正交，则 t=( )A.-2 B.0 C.2 D.410.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2,1,0，则( )A.A 正定 B.A 半正定 C.A 负定 D.A 半负定二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设 A= ,B= ，则 AB=_.4 210 30 1212.设 A 为 3 阶方阵，且| A |=3， 则| 3A-1 |=_.13
16、.三元方程 x1+x2+x3=1 的通解是 _.14.设 =（-1，2，2） ，则与 反方向的单位向量是_.15.设 A 为 5 阶方阵，且 r(A)=3，则线性空间 W=x | Ax=0的维数是_.816.设 A 为 3 阶方阵，特征值分别为 -2， ，1，则| 5A -1 |=_.217.若 A、B 为 5 阶方阵，且 Ax=0 只有零解，且 r(B)=3，则 r(AB)=_.18.实对称矩阵 所对应的二次型 f (x1, x2, x3)=_.1 0 219.设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解 1= ， 2= 且 r(A)=2，则 Ax=b 的通解是_.3 20.设 = ，则 A=
17、 T 的非零特征值是 _.321三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.计算 5 阶行列式 D=20110222.设矩阵 X 满足方程X =2 01 0 1 0 213 4求 X.23.求非齐次线性方程组的通解.089543121xx24.求向量组 1=（1,2，-1,4 ） ， 2=(9,100,10,4)， 3=（ -2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.25.已知 A= 的一个特征向量 =（1,1，-1） T，求 a， b 及 所对应的特征值，并写出对应于这个特征 35 ba值的全部特征向量.926.设 A= ，试确定 a 使 r(A)=2.2 1 2a四
18、、证明题（本大题共 1 小题，6 分）27.若 1， 2， 3 是 Ax=b(b0) 的线性无关解，证明 2- l， 3- l 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的线性无关解.全国 2010 年 10 月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明:在本卷中,A T 表示矩阵 A 的转置矩阵,A *表示矩阵 A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵 A 的行列式,r(A) 表示矩 A 的秩.一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分,共 20 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 A
19、 为 3 阶矩阵,|A|=1,则|-2A T|=( )A.-8 B.-2 C.2 D.8102.设矩阵 A= ,B=(1,1),则 AB=( )1A.0 B.(1,-1) C. D. 113.设 A 为 n 阶对称矩阵,B 为 n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA4.设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ,则 A-1= ( )4321A. B. C. D. 21342214321345.下列矩阵中不是初等矩阵的是( )A. B. C. D. 01011031026.设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,则必有( )A.A+B 可逆 B.A
20、B 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆7.设向量组 1=(1,2), 2=(0,2),=(4,2),则 ( )A. 1, 2, 线性无关 B. 不能由 1, 2 线性表示C. 可由 1, 2 线性表示, 但表示法不惟一 D. 可由 1, 2 线性表示,且表示法惟一8.设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的全部特征值为 0,1,1,则齐次线性方程组 (E-A)x=0 的基础解系所含解向量的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.39.设齐次线性方程组 有非零解,则 为( )0x231 A.-1 B.0 C.1 D.210.设二次型 f(x)=xTAx 正定, 则下列结论中正确的是( )A
21、.对任意 n 维列向量 x,xTAx 都大于零 B.f 的标准形的系数都大于或等于零C.A 的特征值都大于零 D.A 的所有子式都大于零二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 的值为_.2101112.已知 A= ,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为 _.32113.设矩阵 A= ,P= ,则 AP3=_.41014.设 A,B 都是 3 阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A -1B|=_.15.已知向量组 1,=(1,2,3), 2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)线性相关,则数 k=_.
22、16.已知 Ax=b 为 4 元线性方程组,r(A)=3, 1, 2, 3 为该方程组的 3 个解,且 则该线性方程,9753,4321组的通解是_.17.已知 P 是 3 阶正交矩,向量 _.)P,(,201,3则 内 积18.设 2 是矩阵 A 的一个特征值 ,则矩阵 3A 必有一个特征值为 _.19.与矩阵 A= 相似的对角矩阵为_.302120.设矩阵 A= ,若二次型 f=xTAx 正定,则实数 k 的取值范围是_.k2三、计算题(本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分)21.求行列式 D= .012的 值22.设矩阵 A= 求满足矩阵方程 XA-B=2E 的矩阵 X.,012B,1023.若向量组 的秩为 2,求 k 的值. k2,k6,3,14224.设矩阵 .01b,21A12(1)求 A-1;(2)求解线性方程组 Ax=b,并将 b 用 A 的列向量组线性表出 .25.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 -1,1,2,设 B=A2+2A-E,求(1)矩阵 A 的行列式及 A 的秩.(2)矩阵 B 的特征值及与 B 相似的对角矩阵.26.求二次型 f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3 经可逆线性变换 所得的标准形.33212yx四、证明题(本题 6 分)27.设 n 阶矩阵 A 满足 A2=E,证明 A 的特征值只能是 .1
