1、1992年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(每小题 5分，共 30分)1. 对于每个自然数 n，抛物线 y(n2 n)x2(2n1) x1 与 x轴交于 An， Bn两点，以| AnBn|表示该两点的距离，则| A1B1| A2B2| A1992B1992|的值是( )(A) 9 (B) 93 (C)1(D) 9232. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1 为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )(A)(x2y)(y 21x)=0 (B)(x21y)(y 2x)=0(C)(x21y)(y 2)=0 (D)(x2)(y 2)=03. 设四面体四个面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，
2、它们的最大值为 S，记 =)(41i/S，则 一定满足( )(A)21)2.用数学归纳法证明：fn(x)= ),21,(,)1()1( 2221 为 奇 数为 偶 数 niCyCyCnininiin 1993年全国高中数学联合竞赛试卷第 一 试一选择题(每小题 5分，共 30分)1 若 M( x， y)| |tgy|+sin2x0， N( x， y)| x2+y22，则 MN的元素个数是（ ）(A)4 (B)5 (C)8 (D)92 已知 f (x) asinx+b+4(a， b为实数)，且 f (lglog310)5，则 f(lglg3)的值是（ ）(A)5 (B)3 (C)3 (D)随 a
3、， b取不同值而取不同值3 集合 A， B的并集 AB a1， a2， a3，当 AB时，( A， B)与( B， A)视为不同的对，则这样的(A， B)对的个数是（ ）（ A）8 （ B）9 （ C）26 （ D）274 若直线 x 4被曲线 C：( x arcsina)(x arccosa)( y arcsina)(y arccosa)0 所截的弦长为 d，当 a变化时 d的最小值是( )(A) (B) 3 (C) 2(D)5 在 ABC中，角 A， B， C的对边长分别为 a， b， c，若 ca等于 AC边上的高 h，则2cossin的值是( )(A)1 (B)1(C) 31(D)16
4、 设 m， n为非零复数， i为虚数单位， zC，则方程| z ni| z mi| n与| z ni| z mi| m在同一复平面内的图形( F1， F2为焦点)是( )二填空题（每小题 5分，共 30分）1 二次方程(1 i)x2( i)x(1 i)0( i为虚数单位， R)有两个虚根的充分必要条件是 的取值范围为_2 实数 x， y满足 4x25 xy4 y25，设 S x2 y2，则minax1S_ _xyF1F2 xyF1F2Oo F1F2 F1F2x x yo o y(A) (B) (C) (D)3 若 zC， arg(z24) 65， arg(z2+4) 3，则 z的值是_ _4
5、整数 3109的末两位数是_5 设任意实数 x0 x1 x2 x30，要使193logl193log2210 xxx9log3k恒成立，则 k的最大值是_ _6 三位数(100，101，999)共 900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 198倒过来看是 861；有的卡片则不然，如 531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_ _张卡片三 （本题满分 20分）三棱锥 S ABC中，侧棱 SA、 SB、 SC两两互相垂直， M为三角形 ABC的重心， D为 AB的中点，作与 SC平行的直线 DP证明：(1) DP
6、与 SM相交；(2)设 DP与 SM的交点为 ，则 为三棱锥 S ABC的外接球球心四 （本题满分 20分）设 0 a b，过两定点 A(a，0)和 B(b，0)分别引直线 l和 m，使与抛物线 y2 x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线 l与 m的交点 P的轨迹五 （本题满分 20分）设正数列 a0， a1， a2， an， 满足 1212nnnaa(n2)且 a0 a11求 an的通项公式1994年全国高中数学联赛试题第 一 试一选择题(每小题 6分，共 36分)1设 a， b， c是实数，那么对任何实数 x， 不等式 0cossinxba都成立的充要条件是(A)a， b同时为
7、0，且 c0 (B) 2(C) abc2 (D) abc22给出下列两个命题：(1)设 a， b， c都是复数，如果 c22，则 c20；(2)设 a， b， c都是复数，如果 ab220，则 ab22那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确3已知数列 an满足 3411ann()，且 a9，其前 n项之和为 Sn，则满足不等式|Sn625的最小整数 n是(A)5 (B)6 (C)7 (D)84已知 40,1ab，则下列三数： xab(sin)logsi， yab
8、(cos)lgcos， zb(sin)logcs的大小关系是(A)x za2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。2002年全国高中数学联赛试题及参考答案 试题一、 选择题（本题满分 36分，每小题 6分）1、函数 f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（ ） 。 （A） （,1） （B） （,1） （C） （1,） （D） （3, ） 2、若实数 x，y 满足(x+5) 2+(y-12)2=142，则 x2+y2的最小值为（ ） 。 FABCDE（A）2 （B）1 （C）3 （D）2 3、函数 f(x
9、)=x/1-2x-x/2（ ） （A）是偶函数但不是奇函数 （B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数 （D）既不是偶函数也不是奇函数 4、直线 x/4+y/3=1与椭圆 x2/16+y2/9=1相交于 A，B 两点，该椭圆上点 P，使得 PAB 面积等于 3，这样的点 P共有（ ） 。 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 5、已知两个实数集合 Aa 1,a2,a100与 Bb 1,b2,b50 ，若从 A到 B的映射 f使得 B中每个元素都有原象，且 f(a1)f(a 2)f(a 100)则这样的映射共有（ ） 。（A）C 50100 （B）C 4899 （C）
10、C 49100 （D）C 4999 6、由曲线 x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1；满足x2+y216,x 2+(y-2)24,x 2+(y+2)24 的点（x,y）组成的图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2，则（ ） 。 （A）V 1=（1/2）V 2 (B)V1=（2/3）V 2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2 二、 填空题（本题满分 54分，每小题 9分）7、已知复数 Z1,Z2满足Z 12,Z 23,若它们所对应向量的夹角为 60,则(Z 1Z 2)/(Z1Z 2)= 。 8、将二项式（x+1/（2 4x） ） n
11、的展开式按 x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个。 9、如图，点 P1，P 2，P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P 1，P i，P j，P k） （1ijk10）有 个。 10、已知 f(x)是定义在 R上的函数，f(1)=1 且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5，f(x+1)f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x，则 g(2002)= 。 11、若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则x-y的最小值是 。12、使不等式 sin2x+acosx+a21+cosx 对一切 xR 恒成立的负数 a
12、的取值范围是 。三、解答题（本题满分 60分，每小题 20分）13、已知点 A（0,2）和抛物线 y2=x+4上两点 B，C 使得 ABBC，求点 C的纵坐标的取值范围。 14、如图，有一列曲线 P0，P 1，P 2，已知 P0所围成的图形是面积为 1的等边三角形，P k+1是对 Pk进行如下操作得到：将 Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,） 。记 Sn为曲线 Pn所围成图形的面积。（1） 求数列S n的通项公式；（2） 求 limSn.n 15、设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0)满足条件：（1）
13、当 xR 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)x;（2） 当 x(0,2)时，f(x)(x+1)/2) 2;（3） f(x)在 R上的最小值为 0.求最大的 m(m1)，使得存在 tR，只要 x1,m，就有 f(x+t)x。2003年全国高中数学联赛第一试一、 选择题（每小题 6分,满分 36分）1 删去正整数数列 1,2,3,中的所有完全平方数，得到一个新数列这个新数列的第 2003项是(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)20492 设 a, bR, ab0，那么，直线 axy+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是OxyxyOxyO xyO(A) (B) (
14、C) (D)3 过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F作倾斜角为 60的直线若此直线与抛物线交于 A,B两点，弦 AB的中垂线与 x轴交于 P点，则线段 PF的长等于(A) (B) 38(C) 316(D)8 34 若 x 125, ，则 y= tan(x+2)tan(x+ 6)+cos(x+)的最大值是(A) (B) 6 (C)1(D) 5125 已知 x,y都在区间(2,2)内，且 xy 1，则函数 u= 24x+ 9y的最小值是(A)8(B) 124(C) 72(D) 56 在四面体 ABCD中，设 AB=1， CD= 3，直线 AB与 CD的距离为 2，夹角为 3，则四面体 ABCD的
15、体积等于(A) 23(B) 21(C)1(D) 3二、 填空题(每小题 9分,满分 54分)7 不等式| x|32x24|x|+30 的解集是 _.8 设 F1,F2是椭圆14y的两个焦点， P是椭圆上的点，且| PF1|:|PF2|=2:1，则 PF1F2的面积等于_.9 已知 A=x|x24x+30, xR, B=x| a120, x22(a+7)x+50, xR若 AB, 则实数 a的取值范围是_.10已知 a,b,c,d均为正整数，且 logab=3, logcd= 45，若 ac=9, 则 bd=_.11将八个半径都为 1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，
16、且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_.12设 Mn=(十进制) n位纯小数 0. n21|ai只取 0或 1(i=1,2,n1)， an=1， Tn是 Mn中元素的个数， Sn是 Mn中所有元素的和，则 TSlim=_.三、 解答题(每小题 20分，满分 60分)1. 已知523x,证 1923521xx2. 设 A、B、C 分别是复数 aiz0,bi1, ),(2Rcbaiz对应的不共线三点。证：曲线 )sncoss4240 tttz与 ABC中平行于 AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。3. 一张纸上画有半径为 R的圆 O和圆内一定点 A，且 OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点 刚好与 A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。
