1、- 1 -41.1 圆的标准方程圆的标准方程提出问题右图是一个公园内的摩天轮该摩天轮总高度为 160 米，转盘直径为 153 米问题 1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径问题 2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点( x， y)的坐标满足什么关系？提示： .x2 y21532问题 3：以(1,2)为圆心，3 为半径的圆上任一点的坐标( x， y)满足什么关系？提示： 3. x 1 2 y 2 2导入新知圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的
2、半径(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为 C(a， b)，半径长为 r 的圆的标准方程是( x a)2( y b)2 r2.当 a b0 时，方程为 x2 y2 r2，表示以原点为圆心、半径为r 的圆化解疑难1由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点2几种特殊位置的圆的标准方程：条件 圆的标准方程- 2 -过原点 (x a)2( y b)2 a2 b2(a2 b20)圆心在 x 轴上 (x a)2 y2 r2(r0)圆心在 y 轴上 x2( y b)2 r
3、2(r0)圆心在 x 轴上且过原点 (x a)2 y2 a2(a0)圆心在 y 轴上且过原点 x2( y b)2 b2(b0)与 x 轴相切 (x a)2( y b)2 b2(b0)与 y 轴相切 (x a)2( y b)2 a2(a0)点与圆的位置关系提出问题爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心 O 越近，谁获胜如图 A， B， C 分别是他们掷一轮飞镖的落点看图回答下列问题：问题 1：点与圆的位置关系有几种？提示：三种点在圆外、圆上、圆内问题 2：如何判断他们的胜负？提示：利用点与圆心的距离导入新知点与圆的位置关系圆的标准方程为( x
4、 a)2( y b)2 r2，圆心 C(a， b)，半径为 r.设所给点为 M(x0， y0)，则判断方法位置关系几何法 代数法点在圆上 MC r点 M 在圆 C 上点 M(x0， y0)在圆上( x0 a)2( y0 b)2 r2点在圆内 MC r点 M 在圆 C 外点 M(x0， y0)在圆外( x0 a)2( y0 b)2 r2化解疑难- 3 -1点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外2判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法求圆的标准方程例 1 过点 A(1，1)， B(1,1)且圆心在直线 x y20 上的圆的方程是( )A( x3) 2( y1) 24B( x3) 2(
5、 y1) 24C( x1) 2( y1) 24D( x1) 2( y1) 24答案 C类题通法确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a， b)及半径 r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于 a， b， r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷活学活用求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，1)，且过点(5,2)；(2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，4)；(3)求过两点 C(1,1)和 D(1,3)，圆心在 x 轴上的圆的标准方程解：(1)圆的半径长 r ， 5 4 2 2 1 2
6、10故圆的标准方程为( x4) 2( y1) 210.(2)设圆心为 C(0， b)，则(30) 2(4 b)25 2，解得 b0 或 b8，则圆心为(0,0)或(0，8)又半径 r5，圆的标准方程为 x2 y225 或 x2( y8) 225.(3)直线 CD 的斜率 kCD 1，3 11 1线段 CD 中点 E 的坐标为(0,2)，故线段 CD 的垂直平分线的方程为 y2 x，即 y x2，令 y0，得 x2，即圆心为(2,0)由两点间的距离公式，得 r . 2 1 2 0 3 2 10所以所求圆的标准方程为( x2) 2 y210.- 4 -点与圆的位置关系例 2 如图，已知两点 P1(
7、4,9)和 P2(6,3)(1)求以 P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点 M(6,9)， N(3,3)， Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外解 (1)设圆心 C(a， b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2的中点，得 a 5， b4 626.9 32又由两点间的距离公式得r| CP1| ， 4 5 2 9 6 2 10故所求圆的方程为( x5) 2( y6) 210.(2)由(1)知，圆心 C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM| ， 6 5 2 9 6 2 10|CN| ， 3 5 2 3 6 2 13 10|CQ| 3 . 5 5 2 3 6 2 10因此，点 M
8、在圆上，点 N 在圆外，点 Q 在圆内类题通法1判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围活学活用若点(1,1)在圆( x a)2( y a)24 的内部，则 a 的取值范围是( )A a|1 a1B a|0 a1C a|a1 或 a1D a|a1答案：A- 5 -10求解圆的方程中漏解 典例 已知某圆圆心在 x 轴上，半径长为 5，且截 y 轴所得线段长为 8，求该圆的标准方程解 法一：如图所示，由题设| AC
9、| r5，| AB|8，| AO|4.在 Rt AOC 中，|OC| |AC|2 |AO|2 3.52 42设点 C 坐标为( a,0)，则| OC| a|3， a3.所求圆的方程为( x3) 2 y225，或( x3) 2 y225.法二：由题意设所求圆的方程为( x a)2 y225.圆截 y 轴线段长为 8，圆过点 A(0,4)代入方程得 a21625， a3.所求圆的方程为( x3) 2 y225，或( x3) 2 y225.易错防范1若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在 x 轴负半轴的情况而导致出错2借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，
10、要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况成功破障圆心在直线 2x y70 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0，4)， B(0，2)，则圆 C 的标准方程为_答案：( x2) 2( y3) 25随堂即时演练1圆( x1) 2( y2) 24 的圆心、半径分别是( )A(1，2)，4 B(1，2)，2C(1,2)，4 D(1,2)，2答案：D- 6 -2点 P(m,5)与圆 x2 y224 的位置关系是( )A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定答案：A3圆( x3) 2( y1) 225 上的点到原点的最大距离是_答案：5 104经过原点，圆心在 x 轴的负半轴上，半径为 2 的圆的方程是
11、_答案：( x2) 2 y245求以 A(2,2)， B(5,3)， C(3，1)为顶点的三角形的外接圆的方程答案：( x4) 2( y1) 25课时达标检测一、选择题1已知点 P(3,2)和圆的方程( x2) 2( y3) 24，则它们的位置关系为( )A在圆心 B在圆上C在圆内 D在圆外答案：C2以 P(2,3)为圆心，且与 y 轴相切的圆的方程是( )A( x2) 2( y3) 24B( x2) 2( y3) 24C( x2) 2( y3) 29D( x2) 2( y3) 29答案：B3圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A x2( y2) 21B x2( y
12、2) 21C( x1) 2( y3) 21D x2( y3) 21答案：A4已知圆 C 经过点 P(2,4)和点 Q(4,4)，直径为 2 ，则圆 C 的标准方程为( )10A( x1) 2( y3) 210B( x1) 2( y5) 210C( x1) 2( y3) 210 或( x1) 2( y5) 210D( x1) 2( y3) 210 或( x1) 2( y5) 210答案：D- 7 -5当 a 为任意实数时，直线( a1) x y a10 恒过定点 C，则以 C 为圆心， 为半5径的圆的方程为( )A( x1) 2( y2) 25B( x1) 2( y2) 25C( x1) 2(
13、y2) 25D( x1) 2( y2) 25答案：C二、填空题6圆心为直线 x y20 与直线 2x y80 的交点，且经过原点的圆的标准方程是_答案：( x2) 2( y4) 2207点(5 1， )在圆( x1) 2 y226 的内部，则 a 的取值范围是_a a答案：0,1)8若圆心在 x 轴上，半径为 的圆 C 位于 y 轴左侧，且与直线 x2 y0 相切，则圆 C5的方程是_答案：( x5) 2 y25三、解答题9求经过点 A(1,4)， B(3,2)两点且圆心在 y 轴上的圆的方程解：法一：设圆心坐标为( a， b)圆心在 y 轴上， a0.设圆的标准方程为 x2( y b)2 r
14、2.该圆过 A， B 两点，Error!解得Error!所求圆的方程为 x2( y1) 210.法二：线段 AB 的中点坐标为(1,3)， kAB ，2 43 1 12弦 AB 的垂直平分线方程为 y32( x1)，即 y2 x1.由Error!解得Error!点(0,1)为所求圆的圆心由两点间的距离公式，得圆的半径 r ，10所求圆的方程为 x2( y1) 210.10求过点 A(1,2)和 B(1,10)且与直线 x2 y10 相切的圆的方程解：圆心在线段 AB 的垂直平分线 y6 上，设圆心为( a,6)，半径为 r，则圆的方程为(x a)2( y6) 2 r2.- 8 -将点(1,10)代入得(1 a)2(106) 2 r2，而 r ，代入，得( a1) 216 ，|a 13|5 a 13 25解得 a3， r2 ，或 a7， r4 .5 5故所求圆为( x3) 2( y6) 220，或( x7) 2( y6) 280.
