1、高等数学下册试题库一、填空题1. 平面 与直线01kzyx平行的直线方程是2_2. 过点 且与向量)0,14(M平行的直线方程是2a_3. 设 ，kibji2,4且 ，则 _a4. 设 ，则1)(,|,3|a_)(b5. 设平面 通过0DzByAx原点，且与平面 平526行，则 _,_,6. 设直线与平面)1(21zymx垂直，0536则 _,7. 直线 ，绕 轴旋转一周所形01yxz成的旋转曲面的方程是_8. 过点 且平行于向量)1,2(M及 的平面方a4,03(b程是_9. 曲面 与平面 的22yxz5z交线在 面上的投影方程为o_10.幂级数 的收敛半径是12nx_11.过直线 且平行于
2、 32zy直线 的平面方1 0x程是_12.设 则),2ln(),(xyyxf_01y13.设 则),arct(z _yzx14.设 则,),(2xyf_x15.设 则 _,yxzdz16.设 则,)(32f_)2,1(|z17.曲线 tztytxcosin,si,co，在对应的 处的切线与平面0平行，则zB_18.曲面 在点 处的2yx),1(法线与平面 垂0zA直，则_B_,_19.设 ， ，则2,01a1,3b=_， b=_20.求通过点 和 轴的平面方)4,(0Mz程为_21.求过点 且垂直于平面),1(0的直线方程为23yx_22.向量 垂直于向量 和d1,32a，且与 的数量3,2
3、1bc积为 ，则向量6=_d23.向量 分别与 垂直于向ba57ba27量 与 ，则向量 与 的ba34ab夹角为_24.球面 与平面922zyx的交线在 面上投影的方1zxO程为_25.点 到直线 ：),2(0Ml的距离 是31zyxd_26.一直线 过点 且平行于平面l)0,2(： ，又与直线 ：4zyxl相交，则直线121的方程是_l27.设 _b3a2则,ba,5,a 28.设知量 满足,，则1,ba3a _,29.已知两直线方程，13z02y1x:L，则过 且平行:2L的平面方程是_30.若 ， ，则 ba()2,ba， _231. _. xz,y则=_32.设 _2,1z,xy,s
4、in1yz x32 则33.设 则 1lx,u_d34.由方程 确2zyz2定 在点 全微分x,1,0_d35. ，其中 可微，22yfzuf则 _zx36.曲线 在 平面上的1,22zyO投影曲线方程为 _37.过原点且垂直于平面 的02zy直线为_38.过点 和 且平行于 轴)2,13()5,0(x的平面方程为 _39.与平面 垂直的单位6zyx向量为_40. , 可微，则 )(z2u_yx41.已知 ，则在点 处2lnz)1,(的全微分 _dz42.曲面 在点 处的32xye)0,21(切平面方程为 _43.设 由方程z.，求0zxye=_44.设 ，xygxfz,2其中 二阶可导， 具
5、有tvu二阶连续偏导数 有=_yxz245.已知方程 定义了ln，求yxz.=_246.设 ，zyxfu.， ，其02exsin中 ， 都具有一阶连续偏导数，且f，求z=_dx47.交换积分次序210),(ydxf_48.交换积分次序 dxyfdyxyfd21010 ),(),(=_49. _eIDxy其中 10,),(y50. ，I_)23(dxyD其中 D 是由两坐标轴及直线所围x51. I_12dxyD，其中 D 是由 所确定的4圆域52. I _22dxyaD，其中 D： a53. ，I_)6(xy其中 D 是由 所围1,5,成的区域54. 20xyde_55. )(22110x56.
6、设 L 为 ，则9y按 L 的jxixF)4()(2逆时针方向运动一周所作的功为 ._57.曲线 点处1,27y3z2x在切线方程为_58.曲面 在（2，1，3）处的法线方程为_59. ，当 p 满足条件 1n时收敛60.级数 的敛散性是12nn_61. 在 x=-3 时收敛，则nxa1在 时 n1362.若 收敛，则 的取值范围是lnna_63.级数 的和为 )21(1nn64.求出级数的和=_12n65.级数 的和为 _0)3(lnn66.已知级数 的前 项和 ，1nu1ns则该级数为_67.幂级数 的收敛区间为 nx1268. 的收敛区间为 ，12n和函数 为 )(xs69.幂级数 的收
7、敛区间0)1np为 70.级数 当 a 满足条件 01n时收敛71.级数 的收敛域为 214nnx_72.设幂级数 的收敛半径为 3，则0nax幂级数 的收敛区间为 11()nn_73. 展开成 x+4 的幂级23)(2xf数为 ，收敛域为 74.设函数 关于)1ln()2f的幂级数展开式为 x_，该幂级数的收敛区间为 _ 75.已知 ，则1lnllnxzy_xz76.设 y ,那么x)1(2_， _xzz_77.设 是由 及 所围D2y3x成的闭区域，则_Ddxy78.设 是由 及1|所围成的闭区域，则|_Ddxy79. _,其Cs)(2中 为圆周 )20(sin,cotaytx80. _,
8、其Ld)(2中 是抛物线 上从点 到2xy,点 的一段弧。4,二、选择题1. 已知 与 都是非零向量，且满足ab，则必有（ ）(A) ； (B) ； (C)00ba(D)2. 当 与 满足（ ）时，有ab； ( 为常数)；(A)(B)ab ； CbD3. 下列平面方程中，方程( )过 轴；y(A) ； (B) 1zyx； (C) ； (D) 0zyx014. 在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( )；2yxz(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面5. 直线 与平面12zyx的位置关系是( )(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为 ； (D)
9、夹角为 446. 若直线(2 +5) +( -2) +4=0 与直axy线(2- ) +( +3) -1=0 互相垂直，则（ ）：(A). =2 (B). =-2 a(C). =2 或 =-2 (D). =2 或 =07. 空间曲线 在 面5,22zyxxOy上的投影方程为( )(A) ； (B) ； 72yx72z(C) ；(D)02yx02zyx8. 设 ，则关21cos,0,xfx于 在 0 点的 6 阶导数 是f 60f（ ）(A)不存在 (B) 1!(C) (D)1561569. 设 由方程),(yxz所确定，其中0baF可微， 为常数，则必有（ ),(vuFba,）(A) 1yzx
10、(B) 1yzaxb(C) 1yzbxa(D) 1yzaxb10.设函数 0,0sin, 2yxyxyxf，则函 在 处（ ）(A)不f,连续 (B)连续但不可微 (C)可微 (D)偏导数不存在11.设函数 在点 处偏导数yxf,0,存在，则 在点 处 ( )yx(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立 12.设 ，则 ( )dtexy20x(A). -x4y2 (B). -x4y2 2xy e(C). -x4y2 (-2t) (D). -x4y2 (-2x2y)e13.已知 在 处偏导数存在，xf,ba,则 hfh ,lim0(A).0 (B). bafx,2(C).
11、 (D).bafx, 14.设 ，0,0),(22yxyxf则在 点关于 叙述正确的),()(f是（ ）(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在(C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在15.函数 0,yx0y4x,f 22在极限( )(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立16.设 ，则4arctnxyzx(A) )4(1xy(B) 2)4(1xy(C) 2)4(1secxy(D) 2)4(1xy17.关于 的方程 有两个21xk相异实根的充要条件是( )(A).- 2(B). - k (C).1 k2(D). 118.函数 0,01sin, 2
12、yxyxyxf，则函 在 处（ ）yf,(A).不连续 (B)连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在19.设 = ，则 xyf 2sinyx= ( )f(x)x(A). +2siny2cosyx(B) 2x 21in(C). 21siny(D). 2cox20.函数 在点 处 ( )yz0,(A).不连续 (B)连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值21.设 ,则 = ( )yxzlnz2(A).0 (B)1 (C). (D).x12y22.设 则 + 2zxyfzzx y= ( )zy(A). (B) xy(C). (D).z2zxf23.若函数 在点 处取极大yxf,
13、0,值，则 ( )(A). , ,0fx ,0fy(B)若 是 内唯一极值点，则必D为最大值点(C).0,0, 00020 yxfyxfyxfyxf 且D、以上结论都不正确24. 判断极限 yxy0lim(A).0 (B)1 (C).不存在 (D).无法确定25.判断极限 20liyxy(A).0 (B)1 (C).不存在 (D).无法确定26.设 可微， ，则yxf,43,xf31x(A).1 (B)-1 (C).2 (D).-227.设 ，其中xeyzxf2,是由方程gz确定的隐函数，则0xyz1,0xf(A).0 (B)-1 (C).1 (D).-228.设 是 次齐次函数，即zyxf,
14、k，其中 为zyxftt,k某常数，则下列结论正确的是（ ）(A) zyxfkzyfxt,(B) ftfk,(C). zyxfzf,(D). ff,29.已知 ，其中dxyID22sinco是正方形域： ，10,y则( )(A). B (C).2I21I(D).0030.设 ，duvyfxyfD,4,2其中 是由 以及 围,1成在，则 yxf,(A). (B) 4y4(C). (D).x8y831.设 ，0,|,22axD|1 xyy，则下列命题不对的是：（ ）(A). 122DDydxyx(B) 1(C). 122DDxydxy(D). 032.设 是连续函数，当 时，yxf, 0t，则22
15、,odtyx0,f(A).2 (B)1 (C).0 (D). 133.累次积分可写rdrfdcos02sin,成（ ）(A). xyfy201,(B) dd2(C). yxf10,(D). 2,34.函数 的极24yxyxf值为（ ）(A).极大值为 8 (B)极小值为 0 (C).极小值为 8 (D).极大值为 035.函数 在附加条件 下的xyz1yx极大值为（ ）(A). (B) (C).212D1436. ，其中 由deDyxD所确定的闭区域。1(A). (B) e1e(C). (D).0237. DDdxyIdxyI 2231 )()(与，其中 的大)1(：小关系为:（ ） 。(A)
16、. (B). (C). 21I21I(D). 无法判断I38.设 连续,且)(yxf,其中 DDduvf),(由 所围成,则1,02xy)()xf(A). (B). (C). yxy2(D). 1x8139. 的值是( )dyyx1522(A) (B) (C) 365(D) 71040.设 是 所围成区域, 是Dyx1D由直线 和 轴, 轴所围成的区域，则 dxyD1(A) (B) 0 yx14(C) (D) 2dxyD1241.半径为 均匀球壳 对于球心的a)1(转动惯量为（ ）(A) 0 (B) (C) 42(D) 4a6a42.设椭圆 ： 的周长为 ，L132yxl则 （ ）Lds2)(
17、A) (B) (C) ll(D) 4143.下列级数中收敛的是（ ）（A） （B） 18n184nn（C） (D)142nn12n44.下列级数中不收敛的是（ ）（A） （B） )(l1n 13n（C） （D）)2(14)(n45.下列级数中收敛的是（ ）（A） （B） 1n 1)2(n（C） （D）123n1)(4n46. 为正项级数，下列命题中错误的1nu是（ ）(A)如果 ，则 收敛。1lim1nu1nu(B) ，则 发散li1n1n(C) 如果 ，则 收敛。 1nu1nu(D)如果 ，则 发散1n1n47.下列级数中条件收敛的是（ ）（A） （B） n)(121)(nn(C） （D）)
18、(1n)()1n48.下列级数中绝对收敛的是（ ）（A） （B） nn)(121ln)(（C） （D）1n21l)(n49.当 收敛时， 与)(1nnba1na（ ）1n（A）必同时收敛 （B）必同时发散 （C）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛50.级数 收敛是级数 收敛的12na14na（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件51. 为任意项级数，若1na且 ，则该级数0limna（ ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不确定52.下列结论中，正确的为（ ） （A）若 发散，则 发散1nu1nu； （B）若 收敛
19、，则)0(n 1n发散 1nu)(n（C）若 收敛，则 收1n110)(nu敛；（D）若 与 发散，则1nu1nv发散1)(nn53.函数 的麦克劳林展开式xf1)(前三项的和为（ ） （A） ； （B） ； 243x243x（C） ； （D）818154.设 ，|2nap，则下列|,3nq命题正确的是（ ） （A）若 条件收敛，则 与1na1np都收敛；1nq（B）若 绝对收敛，则 与1na1np都收敛；1nq（C）若 条件收敛，则 与1na1np的敛散性都不定；1nq（D）若 绝对收敛，则 与1na1np的敛散性都不定.1nq55.设 , 则（ ）(A) 与 都收敛. (B) 与 都发散.
20、(C) 收敛, 而 发散. (D) 发散 , 收敛56. 75、 若 在 处收敛, 则此级数在 处（ ）(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定57.设幂级数 的收敛半径为 3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 （ ）(A) (2, 4) (B) 2, 4 (C) (3, 3) (D) (4, 2)58.若幂级数 的收敛半径为 ，则nxa1R幂级数 的收敛开区间为（ nn21） （A） （B） R,R1,（C） （D）2,59.级数 的收敛区间（ 1)5(nnx）（A） （4，6） （B） 6,4（C） （D）4，6,60.若级数 的收敛域为 ，12)(nna
21、x,3则常数 =（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）以上都不对61.若幂级数 在 处收nnxa11敛，则该级数在 处（ ）2（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定62.函数 展开成 的幂级数为2)(xef（ ）（A） （B） 02!nx02!)1(nnx（C） （D）0!n0!)(n63.函数 展开成 的幂级数241xf是（ ）（A） （B） n21 nnx21)(（C） （D）nx2n22)(64下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）（A） ， ， 34（B） ， ，（C） ， ， 6（D） ， ，3265向量 与 轴垂直，则zyxa,（ ）（A） （B
22、） 0xa0ya（C） （D） z xy66设 ，则有（ 1,1ba）（A） （B） （C）/a（D）3, 32,67直线 与直线12zyx关系是( )101zyx(A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直68柱面 的母线平行于（ 2zx）（A） 轴 （B） 轴 （C） yx轴 （D） 面zzo69设 均为非零向量，cba,则（ ）（A） （B） )/(c（C） （D）)(cbab70函数 的定义域为（ ）xylnz（A） 0,（B） 0,yxyx或（C） ,（D） 或0,yx,yx71 ，则2,f1,f（A） （B） 2yxxy2（C） （D）124272下列各
23、点中，是二元函数的极值xyyxf 93,23点的是（ ）（A） （B） 1, 1,（C） （D）73 （ dyxd2102）（A） （B） 233（C） （D）4674设 是由 ， 所围成的闭x1y区域，则 （ ）dD2（A） （B） 3438（C） （D）0 1675设 是由 所确定yx,0的闭区域，则 （ ）dDcos（A） 2 （B） 2（C） （D）0 1三、计算题1、下列函数的偏导数（1） ； 6245yxz（2） ；)ln(2（3） ； y（4） ；)(cos)si(2xz（5） ；ineyx（6） ；2ta（7） ；xyzcosi（8） ；)1(（9） ；ln（10） ；xyza
24、rct（11） ；)(2ezxu（12）y(13) ； 221zyxu（14） ；z（15） （ 为常数） ；niia1i（16） 且为jiijjijiayxu,常数。（17） ttezyx,sin2；求tyx,i,2 tzd2设 ，2),(yxf求 及 。4,3xfy3设 ，验证2exz。02y4求下列函数在指定点的全微分：（1） ，在点23),(xyxf；),(（2） ，在)1ln(,y点 ； 4,（3） ，在点 和2si),(xf ,0(。2,45求下列函数的全微分：（1） ；xyz（2） ；e（3） ； x（4） ；2yz（5） ； 2zxu（6） 。)ln(26验证函数0,0,),(
25、 22yxyxyf在原点 连续且可偏导，但它在该点不)0,(可微。7验证函数 0,0,1sin)(),( 222 yxyxyxyf的偏导函数 在原点)(),(ffyx（0，0）不连续，但它在该点可微。8计算下列函数的高阶导数：（1） ，求xzarctn；22,yxz（2），求)cos()sin(yx；22,yzxz（3） ，求xye；22,z（4） ，求)ln(czbau；2,yxz（5） ，求qpyx)(；qpz（6） tytxyxtz ,1),23an(2，求 。rqpzu（7） ，求 ；xaysinu3d9. 计算下列重积分:（1） ,其中 是矩形闭区域: , （2） ,其中 是矩形闭区
26、域: , （3） ,其中 是顶点分别为 (0,0), 和 的三角形闭区域.（4） ,其中 是由两条抛物线 , 所围成的闭区域.（5） ,其中 是由 所确定的闭区域.（6） 改换下列二次积分的积分次序 （7） （8） （9） ,其中 是由圆周 所围成的区域.（10） ,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.（11） ,其中 是由直线 , 及曲线 所围成的闭区域（12） ,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.（13） ,其中 是由直线, , , 所围成的闭区域.（14） ,其中 是圆环形闭区域: （15） ,其中 是平行四边形闭区域,它的四个顶点是 , , 和 .（
27、16） ,其中 是由两条双曲线 和 ,直线 和 所围成的在第一象限内的闭区域.（17） ,其中 是由 轴, 轴和直线 所围成的闭区域（18） ,其中 为椭圆形闭区域 （19） 化三重积分 为三次积分,其中积分区域 分别是(1) 由曲面 及平面 所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。(2) 由曲面 (c0), , 所围成的在第一卦限内的闭区域.（20）计算 ,其中 为平面 , , , 所围成的四面体.（21）计算 ,其中 是由平面 , , ,以及抛物柱面 所围成的闭区域.（22）计算 ,其中 是由锥面 与平面所围成的闭区域.（23）利用柱面坐标计算下列三重积分(1) ,其中 是由曲面 及所围成的闭区
28、域(2) ,其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域（24）利用球面坐标计算下列三重积分(1) ,其中 是由球面所围成的闭区域.(2) ,其中闭区域 由不等式 , 所 确定.25.选用适当的坐标计算下列三重积分(1) ,其中 为柱面 及平面 , , 所围成的在第一卦限内的闭区域(2) ,其中 是由球面所围成的闭区域(3) ,其中 是由曲面及平面 所围成的闭区域.(4) ,其中闭区域 由不等式, 所确定.26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1) 及(含有 轴的部分).(2) 及 二. 曲线积分1计算下列对弧长的曲线积分(1) ,其中 为圆周 , (2) ,其中 为连接(1,0)及(
29、0,1)两点的直线段(3) ,其中 为由直线 及抛物线 所围成的区域的整个边界.(4) ,其中 为圆周 ,直线 及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.(5) ,其中 为曲线 , , 上相应于 从 0 变到 2 的这段弧.(6) ,其中 为折线 ,这里 , , , 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2).(7) ,其中 为摆线的一拱 , (8) ,其中 为曲线 , 2计算下列对坐标的曲线积分(1) ,其中 是抛物线 上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧(2) ,其中 为圆周及 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).(3) ,其中 为圆周
30、 (按逆时针方向绕行).(4) ,其中 为曲线 , , 上对应 从 0 到 的一段弧.(5) ,其中 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线(6) ,其中 是抛物线 上从点 到点(1,1)的一段弧.3. 计算 ,其中 是(1) 抛物线 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.(2) 从点(1,1)到点(4,2)的直线段(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线.(4) 曲线 , 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.4.把对坐标的曲线积分 划成对弧长的曲线积分,其中 为(1) 在 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)(2) 沿抛物线 从点(0,
31、0)到点(1,1)(3) 沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性.(1) ,其中 是由抛物面 和 所围成的区域的正向边界曲线.(2) ,其中 是四 个顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)的正方形区域的正向边界.6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积(1) 星形线 , (2) 椭圆 7.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关,并计算积分值(1) (2) 8.利用格林公式,计算下列曲线积分(1) ,其中 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界(2) ,其中 为正向星形线(3) ,其中 为在抛物面 上
32、由点(0,0)到 的一段弧(4) ,其中 是在圆周 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧9.验证下列 在整个 平面内是某一函数 的全微分,并求这样的一个 (1) (2) (3) 第三部分 级数1. 判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) (4) 2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) (4) 3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性（1） （2） （3） 4用根值审敛法判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) ,其中 , , , 均为正数.5.判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) (4) 6.判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收
33、敛?(1) (2) (3) (4) 7.求下列幂级数的收敛区间(1) (2) (3) (4) (5) (6) 8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数.(1) (2) (3) 9.将下列函数展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.(1) (2) (3) (4) 10.将 展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.11.将函数 展开成 的幂级数.12.将函数 展开成 的幂级数.13.将函数 展开成 的幂级数.14.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值.(1) (误差不超过 0.0001);(2) (误差不超过 0.00001)(3) (误差不超过 0.0001)15.利用被积函数的幂级数
34、展开式求下列定积分的近似值.(1) (误差不超过 0.0001)16.将函数 展开成 的幂级数17.下列周期函数 的周期为 ,试将 展开成傅里叶级数,如果 在 上的表达式为(1) (2) (3) ( 为常数,且)18.将下列函数展开成傅里叶级数(1) (2) 19.将函数 展开成傅里叶级数.20.设 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为将 展开成傅里叶级数.21.将函数 展开成正弦函数22.将函数 分别展开成正弦技术和余弦级数23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)(1) (2) (3) 24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数(1) (2) 25.设
35、 是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为 ,试将 展开成复数形式的傅里叶级数.26设 是周期为 的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为试写出的傅里叶级数的实数形式(即三角形式)四、 证明题1三角形的三条 垂线交于一点。 （提示：用向量方法）2设其中 是导数存在),(2yxfzf的一元函数，证明函数 满足方程z。21yxz3证明 不存在。yxlim04设 证明,122zyru.022zyx5证明：曲面 的任一切平面与1x坐标面形成的四面体体积为常数。6设 222100(xy)sin,xyf(,y),，证明：但不） 偏 导 数 存 在，在 原 点 （),(yxf连续。7证明不等式 221
36、 01D(sinycox)dy,D:x,y中。8证明曲线积分与路径dyxdyxIL)()2(42无关，其中 是由点（0，0） 到（1，1）的曲线，并计算 的xy2sinI值。9若级数 收敛，证明)0(1na收敛。21na10. 已知级数 和 都收敛，21na21nb证明级数 绝对收敛。n1五、 应用题1 求曲线 与平面32,tzytx平行的切线。42z2 用对称式方程及参数方程表示直线031zyx3 曲面 在点（1，2，0）3xyez处的切平面方程和法线方程。4 求曲面 及 所22yz围成的立体的体积。5 求由曲面 及22ayx所围成图形的体积。26求位于两圆 和4)2(之间的均匀薄片的重心位
37、)(22yx置。7试分解已知正数 为三个正数之和，而a使它们的倒数之积最小。8在第一卦限内作椭球的切平面，使得切平122czbyax面与三坐标面围成的体积最小，求切点的坐标。9设生产某种产品必须投放入两种要素，和 分别为两要素的投入量，Q 为1x2产出量，若生产函数 ，其中12abx为正常数，且 假设两种要a,b,素的价格分别为 试问，当产出量,21p为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。10某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 ，销售量分21,p别为 需求函数及总成本函数分别,21q为 )(4035,0.1,.04 21221 qCpp，试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？11求级数 的和。12n12计算积分 的近似值。dxe1.013将函数 展开 的幂2)(fx级数。14设有一个无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为 0.1cm,内高为 20cm，内半径为 4cm,求容器外壳体积的近似值。15设曲线积分 与路dyxxyL)(2径无关，其中 具有连续的导数，)(且 ，计算0)(。dyxxy10,2，
