1、第 1 页 共 10 页第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳
2、法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式知识点拨一、裂项综合（一） 、 “裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 ，那么有1ab ab11()abab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：， 形式的，我们有：()2n1()2(3)nn111()2(3)()2()2(3)nnnnn裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满
3、足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二） 、 “裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）1abab22abba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项(1) 1234.(1)n(1)()3n(2) 5.22(1)4nn二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简第 2 页 共 10 页三、循环小数化分数
4、1、循环小数化分数结论：纯循环小数 混循环小数分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母 n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0的左侧； ； ； ，0.a0.ab10.90ab0.9abc2、单位分数的拆分：例： = = = = =1211分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母 N 的约数中任意找出两个 m 和 n,有：=()()()nnN1AB本题 10 的约数有:1,10,2,5.。例如：选 1 和 2，有：()1200()()3015本题具体的解有： 11
5、264例题精讲模块一、分数裂项【例 1】 111345367890【 333.1245178920【例 2】 计算： 5719123480、 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2相比较于 2，4，6，这一公差为 2 的等差数列(该数列的第 个数恰好为n的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一n个的和再进行计算也可以直接进行通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为 ，所以2，再将每一项的 与3111nn1n分别加在一起进行裂项后面的过程
6、与前面的方法相同2n第 3 页 共 10 页【 计算： 5717912345801（ ）【 计算： 34512125637034【例 3】 123492523410 【例 4】 1112320 、 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 ，12()1， 12()23【例 5】 . 22222211135793第 4 页 共 10 页、 这题是利用平方差公式进行裂项： ，2()abab【例 6】 113921()(1)()239 【例 7】 1231241235
7、0 、 找通项()()12nna【例 8】22222223333333111416 、222233()16()()4nnnna n 【例 9】 计算：2223911、 通项公式： ，2n na第 5 页 共 10 页【 计算： 22 21 9050505、 本题的通项公式为 ，没办法进行裂项之类的处理注意到分母2n，可以看出如果把 换成21111n nnn的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一0个 将项数和为 100 的两项相加，得250，2 2222 10100121 5550nnn n所以原式 （或者，可得原式中 99 项的平均数为 1，所以原式 ）49 9
8、【例 10】 2222 10110154321 、 虽然很容易看出 ， 可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂3254项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有 减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子)12()6321 nn也恰好有 10 项，是不是“一个对一个”呢？模块二、换元与公式应用【例 11】 计算： 3333157915第 6 页 共 10 页【例 12】 计算： 23456113【 法一：利用等比数列求和公式。原式71372649法二：错位相减法设 23456113S则 ， ，整理可得 3 61S3641729S
9、法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差 1由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值由题设，则运用“借来还去”的方法可得到 ，整理得到 345623S 6S364729S【例 13】 计算：22222(4610)(359)13981【例 14】 计算：222222134501【例 15】 2078.51.5016.3 第 7 页 共 10 页【例 16】 计算：
10、1111()()()()24624624三、循环小数与分数互化【例 17】 计算： ，结果保留三位小数0.1+25.3016【例 18】 某学生将 乘以一个数 时，把 误看成 1.23，使乘积比正确结果减少 0.3.则正确结果该是多少?1.23a1.23【例 19】 有 8 个数， ， , , , 是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第 4 个数是 ，那0.512390.514372 0.51么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数? 【例 20】 真分数 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1992，那么 是多少? 7a a【例 21】 和 化成循环小数
11、后第 100 位上的数字之和是_.209187第 8 页 共 10 页、 如果将 和 转化成循环小数后再去计算第 100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们209187发现 ，而 ，则第 100 位上的数字和为 9.0.9【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立 【例 23】 111145注：这里要先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式 5-2-1 和连加式 5+2+1. 【例 24】 所有分母小于 30 并且分母是质数的真分数相加，和是_。【例 25】 若 ，其中 a、b 都是四位数，且 ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b）是1204第 9 页 共 10 页课后练习：练习 1. 123456112312346123457练习 2. 12389()()()410练习 3. 计算： _333159练习 4. 计算： 1111120723082082307 练习 5. ； (结果表示成循环小数) 10.15280.32.340.981月测备选【备选 1】计算： . 239!410!【备选 2】计算：2222221304506第 10 页 共 10 页【备选 3】计算：3312206【备选 4】计算： 62173945873945876217394587394580207【备选 5】计算 (结果表示为循环小数) 209190
