1、文德厚生 文臻教育 臻于至善解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540 年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。一 真题链接1.（2010 娄底）阅读材料：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个实数根为 x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知 x1，x 2 是方程 x2+4x+2=0 的两个实数根，则 _2.已知关于 x 的方程 x2
2、+2（a-1）x+a 2-7a-b+12=0 有两个相等的实数根，且满足 2a-b=0利用根与系数的关系判断这两根的正负情况3.设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于 x 的一元二次方程 x2+kx+4k2-3=0 的两个实数根分别是 x1，x2，且满足 x1+x2=x1x2则 k 的值为二 名词释义一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a0 ）根的判别，=b 2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组) ，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应
3、用。求代数式的值求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组根公式 二次三项式的因式分解根系关系的三大用处（1）计算对称式的值文德厚生 文臻教育 臻于至善例 若 12,x是方程 207x的两个根，试求下列各式的值：(1) 12； (2) 12； (3) 12(5)x； (4) 12|x说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 221112()xxx， 122x， 221112()()4xx，121212|4， 121，33()()xxx等等韦达定理体现了整体思想（2）构造新方程理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。例 解方程组 x+y=5Xy=6
4、 （3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程 的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。文德厚生 文臻教育 臻于至善三 典题示例例 1 已知关于 x的方程 221()04kx，根据下列条件，分别求出 k的值(1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 12,x满足 12|x说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0例 2 已知 12,x是一元二次方程 241kx的两个实数根(1) 是否存在实数 k，使 12123()()成立？若存在，求出 k的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使 12x的值为整数的
5、实数 k的整数值说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2) 本题综合性较强，要学会对 41k为整数的分析方法文德厚生 文臻教育 臻于至善四 巩固强化1. 巳知 a、b 是一元二次方程 x22x1=0 的两个实数根，则代数式（ab） （a+b2）+ab的值等于_2. 已知关于 x 的方程 x2+mx6=0 的一个根为 2，则 m= ，另一个根是 3. 若 x1，x2 是方程 x2+x1=0 的两个根，则 x12+x22= 4.已知一元二次方程 y23y+1=0 的两个实数根分别为 y1、y2，则（y11） （y21）的值为 5. 已知
6、关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k 22=0 的两实根的平方和等于 11，则 k 的值为 6. 若 x1、x2 是方程 x22x5=0 的两根，则 x12+x1x2+x22= 7.若关于 x 的一元二次方程 x24xk30 的两个实数根为 x1、x 2，且满足 x13x 2，试求出方程的两个实数根及 k 的值8. 关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值9. 阅读材料：如果 x1、x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）的两根，那么， 12bxa，ca这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：已知 m 与 n 是方程 2x26x+3=0 的两根（1）填空：m+n= ，mn= ；文德厚生 文臻教育 臻于至善（2）计算 nm1的值10. 已知关于 x 的方程 x22（k1）x +k2=0 有两个实数根 x1，x 2（1）求 k 的取值范围；（2）若|x 1+x2|=x1x21，求 k 的值11. 已知：x 1、x 2 是一元二次方程 x24x+1 的两个实数根求：（x 1+x2） 2（ 21）的值
