1、1选修系列教学中的几个问题一、常用逻辑用语的教学1内容与要求的说明(1)按照课标的规定，学习常用逻辑用语，主要目的是使学生体会逻辑用语在表述和论证中的作用，能利用这些逻辑用语准确地表达数学内容。因此，教材中没有举“生活中的实例” 。虽然这与课标中提到的“通过生活和数学中的丰富实例，理解的意义”有一定的不符，但我们认为这样更有利于教学，因为生活中的例子虽然有趣，但是容易引起歧义。这里，所用的数学例子一般都比较简单，主要考虑的是把重点放在理解逻辑用于上。有些老师感觉不过瘾，认为书本上的题目太简单了。总的来说，通过一定的数学例子让学生理解相关的知识，脑子中有一些例子支撑概念的理解，而不在概念的形式表
2、达上作过多的文章，这是本章教学的一个原则。(2)本章内容涉及：命题及其关系；充分条件与必要条件；简单的逻辑联接词；全称量词与存在量词(新增内容，包括概念，判断全称命题和特称命题真假的方法，对含有一个量词的命题的否定)。三部分内容之间具有紧密的联系。教科书注意加强联系性，提高思想性，如结合串联、并联电路理解逻辑联结词“且” 、“或”的含义，结合串联、并联电路的接通和断开理解“且” 、 “或”联结的命题的真假；类比集合的“交” “并” “补”运算理解逻辑联结词“且” “或” “非”等。各部分内容的编排，一般是按照思考、探究、发现、归纳总结，最后给出数学结论的形式展开的，体现了“归纳式” ，给学生概
3、括的机会。不要机械地记忆，形成丰富例证很重要。2本章难点分析本章的主要难点是理解必要条件的意义；对含有一个量词的全称命题或特称命题的否定。充要条件的编写，也有人提出因为必要条件难理解，所以把充分条件和必要条件分开说。但是考虑到这两个概念之间紧密的联系，而且条件和结论具有相对性(p、q 都可以作为条件)所以放在一起出。学生往往不清楚由 p 推出 q，则 p 是 q 的充分条件，为什么 q 又成了 p 的必要条件了？这儿的必要性怎么理解？为此，教科书在边框中引入与不等式有关的例子，帮助学生从原命题与逆否命题的等价性角度去理解必要条件。这是一个示范，教学中可以再举一些例子，也可以让学生自己举例。实际
4、上， “充分”就是“有此就够了，不需要别的了” ；“必要”就是“必须要有，有了又不一定够” 。对必要性的理解难在“有了不一定够” 。这里，分清条件和结论是关键。对含有一个量词的命题的否定，学生出现逻辑错误的原因是不知道该否定什么。如错误的认为教科书 P26 的探究 1 中“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形” ；错误的认为 P27 的探究 2 中“某些平行四边形是菱形”的否定是“某些平行四边形不是菱形”等。教学中要引起重视，这关系到学生对相关命题的认识，并可能影响到后来的相关命题的证明，如从逆否命题的角度去证明一个命题，就涉及到对这个命题结论的正确否定。为避免这些逻
5、辑上易犯的错误，教科书是通过大量的实例帮助学生去理解量词的含义以及对它们的正确否定。3教学建议(1)注意使用数学实例，加强对基本概念意义的理解本章内容，重在让学生通过对常用逻辑用语的学习，体会运用逻辑用语在表述和论证中的作用，能用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。为此，教科书在安排内容时，就突出了让学生领会这些常用逻辑用语的含义，从而更好的运用这些常用逻辑2用语的这一目的。本章内容与日常生活中的某些逻辑表述、形式逻辑中的表述，有一定关联，但又有一定差别。为此，教科书从大量数学实例出发，帮助学生认识这些常用逻辑用语的数学含义。例如， “命题”概念的阐述通过总结 6 个数学例子的基础
6、上概括得出；四种命题及其关系通过对命题“若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论，达到对四种命题及其关系的认识；逻辑联结词“或” “且”“非”含义和用法也通过学生熟悉的数学实例讲授的；全称量词和存在量词主要通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定。要注意不要在复杂性上做文章有些问题。(2)强调联系性可以调动一下学生的不同学科知识。例如，教科书中有：使用有典型性的学生熟悉的数学实例，从逻辑角度说明；串联、并联电路，形象直观地理解“且” “或”的含义及判断相关命题的真假；类比集合“交” “并” “补”运算，体会逻辑联结词“且” “或” “非
7、”的含义，以及由它们联结得到一个新命题的过程。(3)符号语言的运用注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释。注意自然语言、文字语言、符号语言三者的相互转化。二、解析几何的教学1“课标”对解析几何内容的安排为了体现“基础性”“多样性”“选择性”的原则，普通高中数学课程标准(实验)(以下简称“课标”)螺旋上升地在必修和选修模块中设置了解析几何内容。必修模块，要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标
8、系；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。选修 1、2 模块(必选)，要求学生学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，“课标”设置了坐标系与参数方程专题(任选)，要求学生通过本专题的学习，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提
9、高应用意识和实践能力。从上述安排可见，“课标”构建的解析几何课程体系，是以坐标法为核心，依“直线与方程圆与方程圆锥曲线与方程极坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。2教材编写过程中考虑的几个问题(1)突出坐标法的核心地位，强调数形结合思想应当说，任何解析几何的教材都会把这个问题作为首要任务加以考虑，关键是如何落实。为此，教材从三个方面考虑：第一，随时随地强调坐标法的基本思想，明确表述坐标法的基本步骤，并将其概括为“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算与变换，解决代数问题；第三步：分
10、析代数结果的几何含义，并“翻译”成几何结论。3第二，用坐标法解决典型的平面几何问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量。例如，用坐标法证明三角形、平行四边形的性质，证明与圆相关的一些命题等。这些问题在平面几何中有一定困难，但用坐标法解决却“轻而易举” 。第三，在解析几何学习的入门阶段，不安排涉及复杂代数运算的题目，减少代数变换的困难，但通过各种机会渗透和概括坐标法思想，强调经历用坐标法解决问题的完整过程，使学生集中精力于坐标法的学习。在后续阶段，逐步加强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的思路。例如，在每一个章前引言中，不厌其烦地阐述解析几何的基本思想；加强“如何在坐标系下确
11、定问题的几何要素”的引导，体现“从平面几何到解析几何”的过渡；明确提出“如何利用几何关系和几何量的代数表示讨论几何问题”的思考任务；强调用坐标法研究问题的规范，给出利用方程完整地讨论几何性质的示范；等。例如，在回顾“平面直角坐标系”时，教科书给出两个具体问题，一个是来自实际生活的“声响定位”(P2 思考)，另一个是数学本身的问题(P4 例 1)，题干中都没有给定坐标系，其目的是让学生根据实际需要建立坐标系的过程中，体会坐标法除了突出坐标法和数形结合思想，教科书还注意体现解析几何的“综合学科”特点，强调其他思想方法的渗透和提炼。例如，在“平面直角坐标系中的伸缩变换”中，先引导学生回顾由 的图象到
12、 的图象的变换过程，再抽象出一般的坐标变换公式，sinyxsinyAx体现了从具体到抽象的思想；通过类比圆的参数方程中参数的几何意义，猜想椭圆参数方程中参数的几何意义；与线性规划建立联系，利用参数方程解决更广泛的优化问题；等。(2)根据学生学习心理安排教学内容与以往教材相比较，在强调教材的科学性、逻辑性、结构性的同时，特别关注学生的学习心理，注意按照学生的思维逻辑组织教学内容，这是人教 A 版的一个总体特色。在解析几何部分，具体体现在如下几个方面：第一，强调“先行组织者”的使用。认知心理学认为， “先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向，能够为学生的学习建立一个“导游图” ，避免学习的盲目
13、性，同时也为新旧知识间搭建了一座桥梁。前已指出，解析几何具有“方法论”的学科特征，在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正是“先行组织者”的“强项” 。所以，在教材内容的展开过程中，特别是在每一章节的开篇，我们赋予“先行组织者”以重要地位，特别注重用坐标法讨论问题基本思路的引导。实际上，这既是解析几何思想的教学，又是一种思维策略的教学。第二，坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识” ，采取“渗透明确应用”的过程。我们知道，坐标法、数形结合思想等都是数学中关于“怎么想” “怎么做”的知识，属“默会知识”范畴。这种知识的掌握，更多地要靠实践过程中的领悟和理解。因此，从总体看，教材按如下思
14、路展开这些内容：在“直线与方程” “圆与方程”部分，从渗透到逐步明确，同时提供用坐标法解决几何问题的示范和练习，引导学生体会解析几何思想；在“圆锥曲线与方程” “参数方程”中，在进一步明确坐标法和数形结合思想的基础上，加强用坐标法解决综合性问题的训练，使学生在实践中深刻理解，学会用坐标法思考和解决问题。第三，改变“从定义出发”的教材呈现方式，尽量用“归纳式”呈现教材，注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会。这是与以往教材有很大区别的地方。例如，在讲“倾斜角与斜率”概念时，先引导学生思考在直角坐标系中(给定了参照系)， “几个条
15、件确定一条直线” “如何刻画倾斜程度 ”“如何用一个量来表示倾斜程度 ”等具体问题，并把它与日常生活中的“坡度”概念联系起来。在学生获得充分感知后，再概括出概念。又如， “曲线的方程” “方程的曲线”概念，这是一个充要条件，是数学严谨性的体现，在培养学生思维的逻辑性和严谨性方面都是很好的载体，但这也是一个不容易把握的概念，过早地出现，没有足够的知识准备，不仅会导致学生理解的困难，还会使他们产生“为什么要这样来要4求”的疑问。因此，教材在直线与方程、圆与方程部分先有意识渗透相关概念，在圆锥曲线与方程之前，再安排这一概念的学习，并且也采用了从具体到抽象的思路。(3)问题引导学习，改进教与学的方式这
16、也是本套教材的一个特点。在解析几何部分，具体体现在如下几个方面：第一，充分发挥“史料”的作用，从整体上展示解析几何所研究的问题。正如上文所述，解析几何的发明既是为了解决人类实践活动中提出的问题，又是为了探寻科研的普适性方法。教科书以这些历史资料为素材，从宏观上提出问题，引导学生感受坐标法。我们认为，这样的处理对学生把握解析几何的基本思想和学习方向很有好处，这也是区别于以往教科书的一个突出特点。第二，利用“观察” “思考” “探究”栏目提出问题，引导学生主动学习。这些问题是学生在学习具体内容时普遍都会遇到的，教科书通过它们来引导学生的思考方向，为学生独立思考、自主探究构建平台。例如，在引入椭圆概
17、念时，通过“你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件吗？”引导学生探究确定椭圆的几何要素，从而为选择坐标系、建立标准方程、讨论椭圆的性质等做好必要准备。在推导椭圆标准方程的过程中，通过“观察图形，你能从中找出表示 a， c， 的线段吗？”引导学生思考 a， c， 的2 2几何意义，使学生理解引入 b2的合理性。(4)加强背景和应用，完善学习过程我国数学教学有以练习促理解、以技能训练代替思维训练的习惯，解析几何教学也以解答大量题目为主，这是一种“掐头去尾烧中段”的做法，对学生形成全面的数学理解没有好处。解析几何是一门“方法论”色彩浓厚的学科，应当以“用坐标法研究问题”为主线，以让学生领会坐标法和
18、数形结合思想为主要任务，仅靠做练习题是无法完成这一任务的。为此，加强背景和应用，使学生经历完整的用坐标法解决问题的过程，变“掐头去尾烧中段”为“接头续尾烧全鱼” ，是解析几何教学中必须予以充分重视的问题。教科书在这方面作出了努力，例如：第一，加强确定各类图形的几何要素的分析，在此基础上建立适当的坐标系。实际上这是“几何眼光观察在先”的体现，是以往教材不够重视的地方。第二，加大用坐标法思想分析问题的力度。从简洁性考虑，以往教材往往直接呈现逻辑过程，这是一种思考的“结果” ，而对“为什么这样思考”则需要学生自己去体会，但这对学生而言是比较困难的。人教 A 版通过加强用坐标法分析问题，既展示了过程，
19、又体现了对学生思维的引导。教科书在这方面作出了努力，例如：给出问题背景后，借助“观察” “思考” “探究”等栏目，提出根据实际问题的需要选择和建立坐标系的任务；在介绍极坐标概念前，先给出“校内方位”问题让学生体会用距离与角度刻画点的位置的方便性；在引入参数方程的概念时，提供“抛物运动”背景，让学生感受“借助参数建立方程”的必要性，并体会如何根据问题的特点选择合适的参数；等这些做法对于发挥解析几何的综合作用，促使学生深刻理解坐标法，提高综合应用数学知识解决问题的能力，都起了很好的作用。(5)加强联系与综合，体现“思想性”实际上，解析几何是高中数学中综合性最强的内容之一，同时也是初等数学到高等数学
20、过渡的桥梁之一。另外，联系与综合也是体现思想性的最好载体。在编写本专题时，发挥解析几何课程特点和优势，把它作为提高思想性的强大平台，沟通代数、几何、三角等的相互联系，引导学生认识数学的内在一致性，成为主要指导思想之一。具体体现在如下几方面：第一，与已有知识的联系。例如，数学史上，函数曾被当作曲线来研究，由于把曲线看成是动点的轨迹，函数(变量之间的关系)与曲线建立了非常紧密的联系，由此也使运动进入了数学。这样，从曲线作为坐标平面内点的运动轨迹，用运动变化的思想，用函数的5观点研究问题，是解析几何学习中的应有之意。当然，这种联系与综合，既有点斜式方程与一次函数、抛物线方程与二次函数这样的“显性”内
21、容，更加重要的，还有用函数和运动变化的观点看待和处理点的轨迹方程等问题的“隐性”联系。例如，函数的性质就是在变化过程中表现的规律性，像单调性、周期性、奇偶性、最大(小)值等，都是在变化过程中表现的某种“不变性” ，这是学生熟悉的。在解析几何中，也要通过方程研究这种“规律性” ，或利用这种“不变性”建立曲线的方程，如椭圆方程的建立依赖于动点到两个定点的距离关系保持不变；圆锥曲线的方程、性质源于“两个距离”的不变关系；等。总之，在解析几何的研究中，怎样把动点表现的“变”与定点、定直线、定长、定角等表现的“不变”联系起来，或“以静驭动” ，或“假动观静” ，确是一个关键性的问题。教材正是利用了解析几
22、何与函数间的深刻渊源关系，从函数及其性质的研究中得到启发，水到渠成地展开相应的问题和方法。又如，在介绍平面直角坐标系中的伸缩变换时，与三角函数图象的伸缩变换建立联系；在建立曲线的极坐标方程、直线和圆锥曲线的参数方程时，加强用平面几何、三角函数知识进行分析的过程；与向量知识建立联系，利用向量法研究双曲线、直线、渐开线的参数方程等，用向量的数量积处理“垂直”关系；等第二，与实际问题的联系。解析几何是学习数学应用的好载体，为此，教科书不仅在正文方面注意给出实际问题，在例题、习题、探究与阅读材料等方面均作了安排例如，在得出直线的参数方程后，为让学生进一步理解坐标法思想，了解直线参数方程的应用，教科书安
23、排了“台风侵袭”问题；在学习椭圆的参数方程后，安排“探究”活动，让学生研究椭圆规的构造原理；在“渐开线与摆线”一节，介绍了它们在实际中的典型应用；等。(6)体现教学设计思想本次课改中，变革教学方式和学习方式是一个共识，教材对此负有责任。人教 A 版通过渗透以引导学生主动学习为核心的教学设计理念，达到引导教、学方式变革的目的。其中，特别注意了针对数学核心概念、思想方法的教学设计的引领作用。应该说，解析几何中只有坐标系、曲线与方程、斜率、直线的方程、圆锥曲线的方程等不多的核心概念，但坐标法、数形结合思想等极其重要。因此，如何以这些核心概念为载体，更好地体现坐标法和数形结合的基本思想，设计恰当的“问
24、题串”以引导学生独立地、有序地、积极地思考，从而把积极主动的学习方式落在实处，就成为解析几何教材中体现教学设计思想的关键。例如，在“圆锥曲线与方程”中，以“曲线与方程”和“椭圆与方程”为核心构建内容、方法和思想体系，设计了以“曲线与方程”为指导思想，以椭圆的概念、几何要素、方程和性质的学习为重点，类比“椭圆与方程”学习“双曲线与方程” “抛物线与方程”的教学思路。4几个教学建议前面介绍教材特点时，已经涉及了如何教学的问题。下面我们再概括地谈几点建议。(1)以坐标法为核心和纽带，构建解析几何教学体系。教学过程中，只有体现解析几何课程特点，抓住它的核心，才能真正发挥这一课程的作用，达成它的教学目标
25、。解析几何所讨论的内容是非常丰富的，中学数学的解析几何课程只是最基础的、最简单的部分，但是其中的思想却是有一般意义的。因此，教学中应当注意以圆锥曲线与方程、参数方程等为载体，把让学生掌握坐标法这一工具去解决一些几何、代数的问题作为核心和重点。(2)解析几何是“以代数方法研究几何问题”，但教学中要注意代数与几何的相互为用。实际上，首先应该明确面临的几何问题是什么，然后才能用代数方法研究之。所以，教学中一定要注意“先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解”的基本思路，不要忽视“几何要素的分析”这一环。实际上就是要处理好“代数求解”与“几何直观”之间的关系。如果过多地把注意力集中在代数角度研究，
26、虽然能达到细致入微的境界，但没有直6观形象的支撑，最后还是不能很好地把握几何性质。所以，教学中适当地进行“代数关系的几何意义”的训练也是很有必要的。(3)学习解析几何的另一个拦路虎是代数变换的繁琐、冗长，需要较强的运算能力。解题过程中，许多学生都是因为不能顺利进行代数变换而导致失败。鉴于当前学生数学水平的实际状况，为了使学生把握解析几何的基本思想，在教学中一定要注意控制代数变换的难度和技巧。(4)注意循序渐进地提高综合和联系的要求。解析几何课程的特点就在于它的综合性，但对学生而言，这样的综合能力需要逐步培养。有些问题，虽然其需要的基础知识学生都具备，但由于综合与联系所带来的思想方法的要求会极大
27、地提高，伴随着的是对学生思维能力的高要求，因此这样的问题也不能过早出现。例如：圆的方程为 x2+y2=r2，直线的方程为 y=kx，这是最简单、常见的；三角函数中，正弦函数的性质、和(差)角公式是学生熟悉的；平面几何中，关于直线、圆的一些简单性质也是学生了解的。在这样的知识背景下，可以变化出非常复杂的问题来：题 1 圆 x2+y2=r2上任意一点的坐标表示为 P(rcos ,rsin )，直线的方程为 y=kx，由于直线过圆心(原点)，因此将“圆上的点到直径的距离不大于半径”翻译为代数语言就有如下命题：设 k， R，那么 1。21sincok题 2 由 k=tan ，可以将直线方程化为 xco
28、s +ysin =0，由 cos2 +sin2 =1，又可以将方程化为 0。以“单位圆上的点到直径的距离不大于 1”为基础，可yax2以构造出命题：如果| a|1，| b|1，那么 1。21bab题 3 更一般地，以圆的方程 x2+y2=d2，直线方程 ax+by=0 和“圆上的点到直径的距离不大于半径”为基础，可以构造如下命题：已知 a， b， c， d 是实数，| c| d |，求证 | d| 。2c2ba显然，如果在学习了直线与方程、圆与方程后，就让学生解答上述几个题目，那么大部分学生都会感到太难了。其原因并不是知识不具备，而是自觉应用数形结合的思想、综合运用知识的能力还达不到这样的水平
29、。在 4-4 的教学中，更要注意突出教学重点，把握教学要求：(1)极坐标系、圆锥曲线与直线的参数方程、坐标法思想、数形结合思想与参数法是本专题的教学重点(2)与以往教科书相比较， “平面直角坐标系中的伸缩变换” 、 “柱坐标”和“球坐标”是新增内容，但这些内容只要求了解平面直角坐标系中的伸缩变换/,.xy只研究 0 与 0 的情形，教学时不要作扩充；介绍“柱坐标”和“球坐标”的目的是进一步完善学生坐标系的概念，使学生认识到坐标法思想有更广阔的应用空间 (3)根据高中数学课程标准的要求，本专题只介绍了特殊位置的圆、直线等简单曲线的极坐标方程，对圆锥曲线的极坐标方程不作要求极坐标的多值性不要过多讨
30、论，同时，对求出的极坐标方程是曲线的极坐标方程也不要求证明(4)便于与信息技术整合的教学内容如下：平面直角坐标系中的伸缩变换；柱坐标系7与球坐标系；椭圆、双曲线、渐开线与摆线的形成，以及这些曲线的参数方程中参数的几何意义的认识(5)本专题的学习报告不占用上课时间，利用课外时间完成，可以利用网络或板报的形式进行交流三、空间向量与立体几何1对内容的说明在三维空间中，表示方向和大小的量是有三个分量的向量三维空间向量(简称空间向量)。空间向量在理论研究和解决实际问题方面有广泛应用，它成为解决立体几何中的大量问题的有力工具。通过学习本章，可以使学生在对平面向量已有认识的基础上，进一步学习空间向量，并运用
31、空间向量研究立体几何中的问题，进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。原教学大纲中有关“直线、平面、简单几何体”的 B 方案也有空间向量的内容，但是B 方案的重点在于立体几何知识，对空间向量只是作为解决部分问题的工具对待。本章中空间向量和向量方法是重点内容，对立体几何知识并不系统安排，而是通过问题举例的形式加强对向量方法的一般性认识。由此看来，在这些内容的处理上原教学大纲与新课程标准的侧重点有明显区别。全章共分两节， “空间向量及其运算”是本章的基础，重点在空间向量的基本概念和基本运算；“立体几何中的向量方法”从一个侧面(立体几何)反映了空间向量的应用，同时也是对空间向量的再认识。利用空间向
32、量解决立体几何问题的“三步曲” ，是本章的第二个重点。本章的难点是：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。主要的是利用“基底” 、 “坐标表示”等概念。2编写中考虑的几个问题(1)本章在编写过程中突出了如下两个指导思想：第一，在本套教科书前面的“空间几何体”(必修 2)和“平面向量”(必修 4)的基础上，从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深” 的认识发展过程。(2)以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。(2)注重知识间的联系，
33、温故而知新，运用类比的方法认识新问题综观本章内容与前面相关内容，容易发现：空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在几何意义、坐标表示、运算等方面都有一致性，平面向量基本定理与空间向量基本定理也有形式上基本一致的内容。利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形。基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论。鉴于上述认识，本章编写时，注意了充分利用学生已有的关于平面向量和平面几何中向量方法的知识基础和学习经验，在回顾和归纳预备知识的基础上，进行新旧内容之间的类比。本章内容的呈现方式多为从回
34、顾平面向量的相应内容说起，叙述方式多为“与平面向量一样，” “类似于平面向量” “对比平面向量” ，设置的问题中有许多是与平面向量有关的，全章从开篇引言到章尾小结都关注空间向量与平面向量的联系。总之，本章教材编写过程中，重视知识结构中的纵向联系，强调内容中“推广”和“发展”的成分，创造条件帮助学生实现认识上的正向迁移，从而达到温故知新的效果。8(3)强调通性通法，突出一般规律，渗透基本数学思想分析本章主要内容，会对以下认识产生深刻印象。第一，向量是从丰富的物理背景中抽象出的数学概念，不论平面向量、空间向量，还是高维向量，都是既有大小又有方向的量。向量的表示方式与坐标密切相关，坐标表示形式可以刻
35、画量的大小和方向，向量的维数与它所在空间的维数一致。向量的运算有其自有的法则、运算律、几何解释和表示形式。第二，几何中的向量方法是一种常用的方法。平面几何所讨论的对象是同一平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系，利用平面向量可以表示平面上直线之间的平行、垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论。与此完全相似，立体几何所讨论的对象是三维空间中的点、直线、平面等元素，它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过进行空间向量的运算得出几何结论。鉴于上述认识，编写本章时，注意了解决好以下两个问题。
36、第一，从扩充对于“数(量)与运算”的认识的角度反映空间向量及其运算。本章注意引导学生思考向量及其运算与实数及其运算的异同，空间向量及其运算与平面向量及其运算的异同。让学生经历和体会由实数到向量、由平面向量到空间向量的推广过程，使其认识推广数学概念的的必要性，体验数学在结构上的和谐性，认识其中的共同规律(例如加法、乘法中的交换律)。本章强调不同维数向量及其运算的通性通法，注重反映其中蕴涵的一般规律(例如向量基本定理)，并关注向量概念推广过程中的新问题(例如维数增加所带来的影响)，讨论这些问题所引发的变化。第二，体现引入向量为解决某些几何中问题提供了通法。向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元
37、素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问题。这种“三部曲”式的解决问题过程，在数学中具有一般性，例如解析几何就是将几何元素用方程表示，进行代数运算，再回归到几何问题。这种一般性的方法中，蕴涵了“符号化”和“模型化”思想(即用抽象符号把一类对象转化为其他等价形式)， “运算化”和“程序化”思想(即通过对量化后的对象进行特定运算来解决问题)。本章 3.2 节的重点正是放在向量方法上，其中的立体几何问题只是体现向量方法的载体，说明一般方法的例子。教科书围绕“使学生认识向量方法在解决几何问题中的作用，体会向量方法三部曲 ”这个中心来设计，重在反映向量方法的一般过程和基本思想，同时关注对象的维数增加后
38、带来的变化及其应对方法(例如，联系平面几何向量方法中的直线方向向量，认识立体几何向量方法中的平面法向量)。这样，强调通性通法，突出一般规律，渗透基本数学思想，是编写本章教材着重考虑的另一问题。3教学建议(1)把重点放在空间向量和向量方法上。本章中空间向量和向量方法是重点内容，而对于立体几何知识并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应用，使学生加强对几何中向量方法的一般性认识。因此，本章的教学应突出重点，特别是 3.2 节“立体几何中的向量方法”的教学，应与原教学大纲中 B 版教材的教学在侧重点上有明显区别，即不是立体几何问题本身为重点，而是把具体
39、的立体几何问题作为学习向量方法的载体，以向量方法作为主要教学目标。32 节的主要部分是通过例题讨论这一节的主题立体几何中的向量方法，结合例题学习可以使学生对这一主题有更具体的感受。例 14 是逐步深入地展开讨论的，其中例 1、例 2 直接利用向量运算，例 3、例 4 把向量方法与坐标方法相结合。这一节最后以框图形式引导学生进行小结，这又可以使学生对上述主题(向量方法“三部曲”)的认识得9到进一步深化，提高抽象概括一般规律的能力。教学中应体会这些内容的设计目的，使它们能够服务于向量方法这个主题，把主要注意力放在重点内容上。(2)注意数与形的关联。向量的特征之一是其本身具有数与形两重含义。本章教学
40、中，除了要关注前面多次提及的知识纵向联系之外，还要特别关注知识的横向联系，从不同角度研究同一问题，认识与运用向量及其运算中数与形的关联。例如，下列等价关系是从数与形两方面建立的，它们在向量方法中有重要作用，教学中应结合几何图形予以探讨，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背。设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则ml, ba, vu,线线平行 ；lmbka线面平行 ；u0面面平行 v.k线线垂直 ；lmab线面垂直 ；uk面面垂直 v.0上述关系一方面用向量运算刻画了直线、平面的几何位置关系，另一方面也给出向量运算的直观几何解释，教学中对这种双重作用应充分重
41、视。(3)深化理解向量运算的作用。向量是既有大小又有方向的量，对于它规定了运算法则，本章讨论了空间向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积。正是有了向量运算，向量才显示其重要性。为了使学生能更深刻地体会向量运算的作用，本章教科书中提出问题：你同意“向量是躯体，运算是灵魂” “没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？这个问题是要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用。如果向量仅能表示空间中的点、直线和平面，那么它的作用就只能相当于“路标”了。有了向量的运算后，这样的运算与空间几何元素的位置关系就可以对应起来。例如，线线垂直可以与向量的数量积建立对应关系，即 (直线 l,m 的方
42、向向量分别为 )。lmab0 ba,两个平面 ， 的夹角 ( )的大小，可以由 来计算(平面 的法向2vucos,量分别为 )。这样我们就可以通过向量运算来讨论空间几何中的位置关系或度量问题，vu,而这些正是几何所要讨论的主要问题。因此，我们说向量的主要作用要通过其运算来体现。如果没有运算，那么向量仅能表示空间中的点、直线和平面的位置，即只是“没有灵魂的躯体”或“路标”而已。10对于上述问题的理解，可能不是可以简单地完成的，因此在本章教学中应反复引导学生对其加深认识。四、导数及其应用微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方
43、法和手段导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用在选修模块中，学生将学习导数和定积分的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受它们在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。1对内容的说明(1)导数概念是微积分的基本概念之一，它有着丰富的实际背景。教科书选取了两个典型的变化率问题，从平均变化率到瞬时变化率定义导数。在此基础上，教科书借助函数图象，运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系。同时，教科书还注重渗透和展现其中蕴含的丰富思想，如逼近、以直代曲等。(2)在导数的计算一节，教科书先根据导数定义求出几个常见函数的导数，以让学生进一步理解导数的概念；然
44、后，教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，本节的重点在于让学生会使用这些公式与法则求简单函数的导数。(3)导数是研究函数的有力工具，教科书主要介绍了如何用导数研究函数的单调性，如何用导数求函数的极大(小)值和最大(小)值。其中，运用导数研究函数的单调性是本节的基础。(4)教科书选取了三个生活中的优化问题：如何设计海报、饮料瓶大小对公司利润的影响、磁盘的最大存储量，以说明如何通过建立这些问题的数学模型，运用导数这个工具解决生活中的优化问题。(5)在引导学生认识定积分概念的过程中，教科书利用求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题，着重揭示出“以直代曲” “以不变代变”和
45、“逼近”这些重要的思想方法，给出求解这类问题的一般步骤，进而引出定积分的定义和几何意义(6)教科书引导学生分析分别用变速直线运动的“位置函数” s=s(t)及其导数(“速度函数”) 表示物体在某一时间段内的位移的方法，使学生体会微积分基本定理的()vts内涵，了解导数和定积分之间的内在联系(7)教科书介绍了定积分在求一些简单平面图形的面积、变速直线运动的路程以及变力作功中的应用，使学生进一步体会定积分丰富的背景和广泛的应用2编写中考虑的几个问题(1)突出概念本质。导数和定积分都是微积分中的核心概念。导数就是瞬时变化率，是平均变化率有确定(的)变化趋势的结果，蕴含了由均匀变化研究不均匀变化，通过
46、一个小的区域研究一点的性质，由一点的性质估计此点附近的性质等基本思想；定积分概念中最本质的思想是在局部小范围内“以直代曲” “以不变代变” 。教科书编写的重点就是突出概念的本质思想，并没有从数学定义的角度讲极限，而是通过对跳水运动的研究，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从中引出导数；通过解决曲边梯形的面积给出解决这类问题的一般步骤(分割、近似代替、求和、取极限)，从而揭示出定积分的思想，引入定积分的概念。这样，可以避免学生难以克服极限概念的理解这个问题，从而将更多的精力关注于导数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定积分理解为一种特殊的极限。虽然教科书没有给出极限的定义，但
47、是自始至终都体现出了极限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体，逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格的极限定义打好基础。11同时，教科书对概念的表示、公式的推导、运算法则等都作了淡化处理，以突出对概念内涵的理解。(2)重视直观、强调背景、体现应用在学生初次接触微积分的概念时，给学生一个形象直观的背景支持，使学生充分认识导数和定积分的几何意义和物理意义，对于学生正确理解概念、建立概念的抽象定义都是非常重要的。在编写过程中，教科书在这方面作了较大的努力。例如，借助于过一点的曲线割线到切线的变化过程，展示平均变化率到瞬时变化率的过程；导数的运算中，求出导函数后，给出相应的几何意义和
48、物理意义的解释；解决曲边梯形面积的每一步，始终是数值计算与图形分析相结合；提供利用导数几何意义和定积分几何意义解决问题的机会；等等。微积分的思想来源于实践，反过来又服务于实践。教科书强调概念的背景及其在不同方面的应用。因此，教科书选取了与生活实际密切相关的，现实世界中比较常见的素材，例如，气球的膨胀率、高台跳水运动、净化水费用、国内 GDP 增长率、工厂“三废”(废物、废水、废气)排污率、城市绿地面积的增长率、人口增长速度、汽油的使用效率、饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响等，通过这些素材来引发学生学习微积分的兴趣，展现概念的发生、发展过程，反映微积分的应用，从而使学生感受微积分与科技、社会以及
49、自己的生活的紧密关系。(3)关注微积分的文化价值。微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。教科书在不同的时机让学生通过了解微积分的发展史。例如，在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题” ，阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；通过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学研究中的作用；通过实习作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值。3教学建议(1)极限概念的处理。一般地，导数概念学习的起点是极限，即从数列 数列的极限 函数的极限 导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但是也产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。因此，教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率
