1、具有结构无关时变不确定性的新一类线性系统的二次可镇定性胡三清 王军自动化与计算机 辅助工程系，香港新界沙田香港中文大学1998 年 10 月 12 日初稿，2000 年 2 月 23 日修改，2000 年 5 月 3 日发表摘要：本文研究设计一个线性状态反馈控制镇定新一类型的单输入不确定性的线性动态系统 。在给定的压缩集系统矩阵中不确定性参数是时变和有界的。我们首先提供了一个概念称为“新标准系统” ，其中一些输入要求负号不变和符号不变，并且每个输入在任意大的范围内独立变化，然后对于新一类的标准系统我们得到在一个充分必要条件下，对所有容许的不确定性变化系统可由线性控制实现二次镇定。主要结果的延伸
2、见魏（电气电子工程师协会自动控制会刊，35（3） ，268-277,1992 年） 。爱思唯尔科技有限公司版权所有。关键词：二次可镇定性，NAS 结构，单输入，时变，线性系统1 引言近年来，稳定一个不确定动态系统一直是一个非常活跃的研究领域。比方说，一般的线性矩阵不等式条件由 Boyd,EI Ghaoui,Feron 和 Balakrishnan（1994 年）提出的和由张、胡、戴、京、张、魏等人提出的特殊几何结构。这篇文章中，我们研究参数是时变的和指定的有界紧致集的不确定性动态系统。我们使用一个二次的李雅普诺夫函数来建立一个闭环系统的稳定性，原则上，二次的镇定问题可以用 Boyd 提出的线性
3、矩阵不等式条件解决，这也是一各可利用的有效算法。然而，这些条件需要检查指数中不确定参数的不等式，因此，线性矩阵不等式的数字结果不能够被处理除非这个问题的结构非常小。基于这个问题，有必要提出一些简便的方法去解决二次镇定问题。通常来说，二次镇定的方法有两类。在第一类方法中，在系统矩阵中的不确定性通常允许在充分小的范围内变化，因此被视为扰动（见 Petersen 和 Hollot，1986 年） ，一旦不确定性的数值超过指定范围，系统可能不再稳定。在第二类方法中，与之相反的是，系统矩阵可能会有一些任意大的变化条件。为了确保一个不确定性系统的鲁棒可镇定性，系统矩阵中的不确定性必须被限定在诸如“匹配条件
4、” （见 Pertersen，1988 年） ， “通常匹配条件（见 Thorp 和Barmish，1981 年） ”和“容许置乱”结构（见 Barmish，1982 年） 。这些都是充分条件。魏（1990 年）指出所有的稳定性系统满足这些充分条件，属于一个被称这为所对称逐步结构特定几何类型的一些系统子集。由魏给出的推广的反对称逐步结构在多输入系统中作为充分条件。两种特殊几何类型在确保系统的鲁棒镇定中起至关重要的作用。此后，许多作者关注魏，并且引入新几何类型，如Tsujino 提出的“普通 AS 结构” ，Fujii 和魏（1993 年）作为一个必要条件；由杨张二人（1996 年）提出的“强
5、AS 结构”和由胡（1997 年）提出的“多输入 AS 结构”作为充分条件。这些特殊几何类型提供了方便的方法来解决二次镇定的问题。本文讨论第二类方法。2 预备知识考虑一个线性时变不确定系统 (A(q(t),b(q(t)（或简写为不确定系统 (A(q),b(q)）由状态方程描述为（1）其中 x(t)R n 是状态，u(t)R 是控制，q(t)Rp 是被限定在指定有界紧致集 Q 的不确定模型勒贝格可测集。在这个框架内，A() 和 b() 分别为 nn 矩阵和(n1)矩阵集合 Q 中的连续矩阵函数。因此，对于恒定的 qQ, A(q)和 b(q) 是模型矩阵的结果。本文中，除非特别说明，我们假定 A(
6、q)和 b(q)取决于 q 的不同的组成部分，即，我们有 q=r:s，这里 A()仅取决于 r，b()仅取决于 s。后来，为了简便记数，我们通常用 (或 )来表示一个符号不变或负号不变的不确定项。注意 (或 )在不同的项中不一定是相同的 q 函数。I 或者 In表示单位矩阵，实矩阵 的范数是 MTM 的最大特征的平方根。min(max)也表示经运算所得的最小（最大）特征值。M(i:j)表示 nn 不确定矩阵的 22 子矩阵（或者当 i=j 时为 11） ，这里 M(q)由定义。其中，1 ijn.*项在任意矩阵中通常表示 0 或者不确定项。定义 2.1 一个不确定系统 (A(q),b(q)称为关
7、于 Q 的二次可镇定（QS）如果存在一个 nn 正定对称矩阵 P，一个正常数 ,和一个连续反馈控制律： ，当 u(0)=0 满足以下条件，任给容许的不确定 q()，由此得出以下结论 （2）对于全对偶测试法(x,t)Rn0,+). L(x,t)是李雅普诺夫导数的相关李雅普诺夫函数 V(x)=xTPx。此外，(A(q),b(q)被称为是可通过线性控制来二次镇定（QSVLC）关于 Q 当 u(x)=Kx,这里K 是一个 n 维常数列向量。定义 2.2一个（n+1）（n+1）阶不确定矩阵 ，如果存在两个整数 i*和 j*满足 0i *n，0j *n 和 1i * +j*n 以致mii(q)(1ii *
8、 +j*)和 mii+1(q)(i*+1in) 是分别为各自无关的 q的(包括常数函数)负号不变和符号不变函数称为新标准形式。本文中，由于篇幅原因，我们假定 i*=0,除非特别声明，1j *n.我们在内部实验报告讨论其它情况。因此，例如当 j*=2和 n=4 时，新标准形式如下表示：定义 2.3一个不确定系统 (A(q),b(q)被认为是在新标准下具有结构无关不确定形式如果它和方阵 M（q）匹配定义为在新标准形式中和每一项 mij(q)(除了 mii(q)( 1ij *)和 mii+1(q)( 1in)是零或者一个不确定在 内独立变化，这里 rij0 可能会是任意大。评论 2.4显然，新标准形
9、式和魏（1990 年）提出的标准形式不同。如果j*允许为零，新标准形式可能被看作为一个由魏（1990 年）提出的定义 2.2 标准形式的延拓，这样以来，前者比后者更具有实际意义。引理 2.5（见 Barmish(1985 年)的证明） 。一个不确定系统 (A(q),b(q)是二次镇定的等价于存在一个 nn 阶正定对称矩阵 S 使得 xT(A(q)S+SAT(q)xv,up 1 和 vk. 有 。（3）如果 pk+2,j v,1vj ,up1 这里 j 1 有例 3.2对于 44 阶矩阵（这里 j*=2）所有可能的新反对称逐步回归结构如下：评论 3.3（1）例 3.2 与由魏（1990 年）提出
10、的例 2.8 相比，我们容易地看出定义 3.1 不同于魏（1990 年）的定义 2.5。 （2）如果 j*=0，我们也可以看出定义 3.1 恰好和魏（1990 年）提出的定义 2.5 相同，因此为一个更为普遍的情况。Ishida, Adachi 和 Tokumaru（1981年）研究的不确定系统（无控制）的鲁棒镇定由零组成，正项和负项符号不变。在定义 3.1 中，我们易见一个不确定系统 (A(q),b(q) 有新反对称逐步回归结构仅由零，*，正负符号不变的项组成。通过定义 2.6，2.9 和 2.11 与定义 3.1 相比较，我们发现一个重要的事实。事实 3.4如果一个不确定系统 (A(q),
11、b(q)满足以下条件：M(q)作为在（3）中有新反对称逐步回归结构，则 +(M(q),b+)，其中总可以由最简系统 (A 0(q),b0(q) 通过一系列的增广（上或下）得出，这里 (或者为 )。此外，一旦我们采用一个第二类上增广（或第二类下增广）运算，我们不再采用第一类上增广（或下增广）运算。这个事实揭示了一个秘密：一个新反对称逐步回归结构仅由一系列的增广构成。事实 3.4 可以被看作选择新反对称逐步回归结构的定义和将会在证明定理 3.9 充分部分中起核心作用。下面，引理将会被用于证明定理 3.9 的必要性。引理 3.5考虑一个自由系统 (A c,bc)，这里 和 Ac=aijnn满足以下条
12、件：a ii=-1(i=1,j*),aii+1=1(i=1,n-1)和其它项全为零，0j *n。如果存在一个容许对（S,）对 (A c,bc)，则 S 中的一些项具有以下性质：（1）对于所有的 i=1,n,有 sii0和对于所有的 i,j=1,n 且 ij,有 siisjjs2ij；（2）如果存在一些 i（1in-1）使得 ，则对任意的整数 k 满足和 ；（3）如果存在一些 i（1in-1）使得 ，则对于任意的整数 k满足 和 ，这里 r 为无穷大。引理 3.6考虑一个不确定系统 (A c,bc)，这里 和 Ac=aijnn满足以下条件：（1）a ii=-1(i=1,j*),aii+1=1(i
13、=1,n-1)；（2）存在一个不确定结构 auv这里 1vj 和 vv,pk+2,1kj ,vk 且 up 1,或者 uv,j v,1vj ,pk+2,j 0，且由魏（1990 年）提出的定理 3.2，我们只需要考虑系统 (A *(q),b*(q)是二次可镇定的，其中且 A*(q)满足以下条件：（1） 且 ，其中1j n；（2） 是一个不确定结构且独立于 akn+1；(3)除了 和 au1 外，其它项全为零。下面，我们假定 j*=n 且根据三种情况考虑 (A *(q),b*(q)。至于情况 1j*n1, 我们可以用类似的方法推导出相反的结论。情况 1：u=n 且 1kn-1。引理 3.8 表明
14、系统不能被二次镇定。情况 2：2uk 且 2kn-1。因为 au1是一个不确定结构，它依据引理 3.6 这里 ，根据 akp 是一个不确定结构，它从引理 3.7 中导出， 这里，。注意引理 3.5 性能 (2)和 uk 我们立即得到，这与 矛盾。情况 3:k+1un-1 且 1kn-2.它从引理 2.5 存在一个正定对称矩阵 S 使得 xT(A(q)S+SAT(q)xrnk+2skk， 根据（ 5） ，引理 3.5 的性质（3）和 un-2,我们立即得出：snnr2sn-1 n-1 且 snnrs nn-1(11)设 akn+1=r， （9）式变为（12）然后，当 r 足够大，结合 snnr2
15、sn-1 n-1，式（11）和（6）与（12） ，我们容易绘制(8/r)s nnr2snn(13)如果 r 是足够大是一个相反必要条件。因此，s nnr nk+2skk。 从引理 3.5（6）的性质（2）和 snnr nk+2skk 可以得出：（14）另一方面，从（6）和引理 3.5 的性质（2）我们有|s 21|rN1s11 与（14）式结果相反。证明情况 2 类似于证明情况 1，因此略去，至此，证毕。评论 3.10（1）从以上证明我们容易地知道引理 3.5-3.7 起关键作用。事实上，我们也可以对定理 3.2（必要性）由魏（1990 年）提出，通过应用引理 3.5-3.7 来证明。详细的证
16、明此处略去。 （2）当 j*在定理 3.9 可能会是零，定理 3.9 是由魏（1990 年）提出的定理 3.2。因此，定理 3.9 延拓了魏（1990 年）的定理 3.2。 （3）注意引理2.7，2.10 和 2.12 以及定理 3.9 的证明，我们可以容易地对一个带有新反对称逐步回归结构不确定系统设计一个理想的线性控制器，过程此处略去。注意由魏（1990 年）的推论 3.3 和 3.4，此处我们同样略去相关结果。4.结论本文我们研究具有结构无关时变不确定性的新一类单输入线性系统的二次可镇定性。通过介绍一个概念“新标准类型” ，我们推导出可通过线性控制来二次镇定的充要条件，判断一个系统可通过线
17、性控制来实现二次镇定，我们仅需要检查系统矩阵是否为所有不确定项形成一个称之为新反对称逐步回归结构的一个特殊几何类型。我们的结果延拓了魏（1990 年）的主要结果。致谢作者感谢副编辑和评审员的有深度的评论和 Roberto Tempo 和杨广宏（音）教授的令人关注和有用的讨论。本研究得到了香港自然科学研究基金会授权 GUHK4150/97E 的支持。附录本附录中，可以找到证明 Barmish(1983 年)的定理 3.1 的一些相关的知识。引理 2.7 的证明（必要性）假设 (A(q),b(q)是可通过线性控制实现二次镇定的，即存在一个线性稳定控制器 u=Kx 对 (A(q),b(q)以及一个n
18、n 阶正定对称矩阵 S 使得（A.1）对所有 qQ 是负定对称矩阵。我们称（S,K）是 (A(q),b(q)的一个期望对。我们的任务是对 +(A+(q),b+(q)建立一个期望对（S +,K+）使得(A.2)对所有 qQ 是负定对称矩阵。分割 S+与 K+,分别为（A.3）其中 ， ，以及 。选择 ， ，以及 ，这里 r0 选为充分大以便 S+是正定对称矩阵且 rKSKT。选择 K1+=kn+1+K。然后计算。我们可以容易选择一个合适的 k+n+1 来确保对所有的 qQ， 是负定对称矩阵。从在证明由 Barmish(1983 年)的定理 3.1 以及负定矩阵中选取 S,K，我们能够容易地证明引
19、理 2.7 的充分性部分。为证明引理 2.10，我们首先介绍以下引理。引理 A.1考虑一个不确定系统 (A(q),b(q)，其中 A(q)=aijnn，以及，它的上增广系统 +(A+(q),b+(q)定义如下：（A.4）则 (A(q),b(q)是可通过线性控制实现二次镇定等价于 +(A+(q),b+(q)可通过线性控制实现二次镇定。引理 A.1 的证明（必要性）假设 (A(q),b(q)是可通过线性控制实现二次镇定，即存在一个期望对（S,K）使得（A.1）对所有的 qQ 是负定对称矩阵。现在我们的目标是选择一个期望对（S +,K+）来确保（A.2 ）对所有的 qQ 是负定对称矩阵。为实现此目标
20、，我们分割 S+和 K+为(A.5)其中， 以及。选择 s+01=0，s +00=r0(来确保 S+是正定对称矩阵)，s+11=S，k +0=1/r,以及 K+1=K。计算 。我们可以选取一个合适的 r0 来确保对所有的 qQ，是负定对称矩阵。（充分性）假设 +(A+(q),b+(q)是可通过线性控制实现二次镇定的，即存在一个期望对（S +,K+）如（A.5）来保证（ A.2）对qQ是负定矩阵。选择 S=s+11 且 K=K1+k0+s01+s11+1能够保证式（18）对qQ 是负定矩阵。引理 2.10 的证明（必要性）假设 (A(q),b(q)是可通过线性控制实现二次镇定。设考虑它的上增广系
21、统 (A1(q),b1(q)，其中从引理 A.1 中我们看出 (A1(q),b1(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。从 A1(q)中建立一个系统 (A2(q),b2(q)，其中比较 (A2(q),b2(q)与 (A1(q),b1(q)，我们容易地发现 (A1(q),b1(q)是一个定义 2.6 中的 (A2(q),b2(q)的下增广运算。因此，它从引理 2.7 中得出 (A2(q),b2(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。类似地，(A +(q),b+(q)是 (A2(q),b2(q)的下增广运算。然后，从引理 2.7中得出 (A+(q),b+(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。（充分性）
22、假设 (A+(q),b+(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。注意 an0 在 A+(q)是一个结构独立的不确定项。设 an0=0，从引理 A.1中我们立即有 (A(q),b(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。下面引理对证明引理 2.12 有用。引理 A.2考虑定义 2.11 中的不确定系统 (A(q),b(q)和 (A+(q),b+(q),这里 an00。则 (A(q),b(q) 是可通过线性控制实现二次镇定等价于(A+(q),b+(q)是可通过线性控制实现二次镇定。引理 A.2 的证明(必要性) 重复引理 A.1 的（必要性）证明过程，我们容易地选择(A+(q),b+(q)的一个期望对（
23、S +,K+） 。例如，我们选择s+00=r30,s+11=S, ,且 s+01 与 k+0 满足以下条件：（1）当 是正符号不变， 且 k0+=k1/r2；（2）当 是负号不变， 且 k0+=-k1/r2，这里 r 是足够大。引理A.2 的充分性证明类似于引理 A.1下面，在证明引理 3.5-3.8 中，我们考虑 j*=n。原因类似于0j *rN3svv 与(A.11)结果相反。则我们得出这样一个结论，所以 。引理 3.7 的证明应用证明由魏（1990 年）的引理 4.12 的方法范围，一个负定对称矩阵 (S,q)这里（1）当 1krnk+2skk。首先，假设 和结果设（A.15）中 。如果
24、 r 是足够大，从， ，s nnrnk+2skk， （6）式以及（A.15） ，我们有(A.16)这是一个相反的结果。然后假设 。从引理 3.5的性质（2）|s 21|rnk+2skk(6), (A.17) 与 (A.14),我们可以推出（A.18）当 r 是足够大。如果 an12 是足够大，从(A.18)中，我们可以得出 snnrN4s11 ，与(A.17)结果相反。因此我们可以得出一个必要条件 s nnrnk+2skk, 总能得出相反的结果。当 s nnr nk+2skk。从式子 (6) 和引理 3.5 的性质（2）中得出以下结果 |s 21|rN5s11 与(A.19)结果相反。因此当 1kn1 时，我们总能得出相反的结果。情况 2：k=n1。 因为 是一个结构独立的不确定项,从引理 3.7 中我们有 (A.21)从引理 3.5 的性质（2）中得出(A.22)的结果导出(A.23)设(A.23)中 ，与此同时注意|s 21|rn1s11 与 (A.21), 从 (A.23)中，我们可能得到(A.24)当 r 是足够大，如果 an12是足够大，从(A.24) 中我们有与(A.22)结果相反。
