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1、8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 1 of 28游戏与策略教学目标1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2. 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案3. 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题知识点拨实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。例题精讲模块一、探索与操作【例 1】 将 113 这 13 个自然数分别写在 13 张卡片上，再将这 13 张卡片按一定的顺序从左至右排好然后进行如下操作：将从左数第一张和第二

2、张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是 1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是 2；继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是 3如此进行下去，直到取出最后一张是 13 为止则 13 张卡片最初从左到右的顺序为 【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】北京奥校杯【解析】 这 13 张卡片依次是原来的第 3，第 6，第 9，第 12，第 2，第 7，第 11，第 4，第 10，第 5，第1，第 8，第 13 张，所以原来的顺序为 11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13【答案】11，5，1，8，10，2，6

3、，12，3，9，7，4，13【例 2】 在纸上写着一列自然数 1，2，98，99一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到 4，5，98，99，6；而第二次操作后得到 7，8，98，99，6，15这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 2 of 28【解析】 第一轮：分 33 次划 19，后面写上 6，15，24，294 共 33 个数第二轮：分 11 次划去这33 个数，后面写上 45，126，207，855，共 1

4、1 个数之后的操作一次减少 2 个数，故还需操作 5 次设这 11 个数为： ， ， 则接下去的数是： ， ，1a21a123()a456()a， ， 789()a023()45678910123( a因此最后一数为： 123194 【答案】 450【巩固】 在 1，9，8，9 后面写一串这样的数字：先计算原来这 4 个数的后两个之和 8 9 17，取个位数字 7 写在 1，9，8，9 的后面成为 1，9，8，9，7；再计算这 5 个数的后两个之和 9 7 16；取个位数字 6 写在 1，9，8，9，7 的后面成为 1，9，8，9，7，6；再计算这 6 个数的后两个之和 7 6 13，取个位数

5、字 3 写在 1，9，8，9，7，6 的后面成为 1，9，8，9，7，6，3. 继续这样求和，这样添写，成为数串 1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么这个数串的前 398个数字的和是_. 【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯，决赛【解析】 前 16 个数字是 1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9可见除去前 2 个数字 1、9 后，每 12 个数字一组重复出现.因此前 398 个数字的和是1 9 （8 9 7 6 3 9 2 1 3 4 7 1） 10 60 33 19903982【答案】1990【例 3】 圆周上放有 枚棋子，

6、如图所示， 点的那枚棋子紧邻 点的棋子小洪首先拿走 点处的 1NBAB枚棋子，然后沿顺时针方向每隔 1 枚拿走 2 枚棋子，这样连续转了 10 周，9 次越过 当将要A第 10 次越过 处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下 20 多枚棋子若 是 14 的倍数，A N请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？AB【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 设圆周上余 枚棋子，从第 9 次越过 处拿走 2 枚棋子到第 10 次将要越过 处棋子时，小洪拿aAA了 枚棋子，所以在第 9 次将要越过 处棋子时，圆周上有 枚棋子依次类推，在第 8 次将2 3a要越过 处棋子时，圆周上有 枚棋子

7、，在第 1 次将要越过 处棋子时，圆周上有 枚A2a 93a棋子，在第 1 次将要越过 处棋子之间，小洪拿走了 枚棋子，所以92 是 14 的倍数， 是 2 和 7 的公倍数，99102(3)3Na10354NaN所以 必须是奇数；又 ，所以 必须是 7 的倍78457831a41a数当 ，25，27，29 时， 不是 7 的倍数，当 时， 是 7 的倍数所9以，圆周上还有 23 枚棋子【答案】23【例 4】 有足够多的盒子依次编号 0，1，2，只有 0 号是黑盒，其余的都是白盒开始时把 10 个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果 号白盒中恰有 个球，可将这 个球取出，并给 0kkk号、1

8、 号、， 号盒中各放 1 个如果经过有限次这样的操作后，最终把 10 个球全放入()k8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 3 of 28黑盒中，那么 4 号盒中原有 个球【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】两岸四地，华杯赛【解析】 使用倒推法最终各盒中依次有球(10，0，0，0，)，前一次必然分的是 1 号盒中的球，否则1 号盒中最终至少有 1 个球所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，) 依次倒推，为：(10，0，0，0，)(9， 1，0，0，)(8 ，0，2，0，0，)(7，1，2，0，0，)(6，0，1，3，0，)(5， 1，1，3，0，)(4

9、，0，0，2，4，)(3，1，0，2，4，)(2，0，2，2，4，)(1， 1，2，2，4，)(0 ，0，1，1，3，5)，0 号盒中此时为 0 个球，不能再倒推所以，4 号盒中原有 3 个球【答案】3【例 5】 一个数列有如下规则：当数 是奇数时，下一个数是 ；当数 是偶数时，下一个数n1n是 如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是 ，则这列数的第一个数是 2n【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 本题可以进行倒推 的前一个数只能是偶数 ， 的前一个数可以是偶数 或奇数 ，12421的前一个是可以是偶数 或奇数 ，而 的前一个只能是偶数 484312由于这列数的第一个是奇

10、数，所以只有 43 满足故这列数的第一个数是 43也可以顺着进行分析假设第一个数是 ，由于 是奇数，所以第二个数是 ，是个偶数，aa那么第三个数是 ，第四个数是 11，11 只能由偶数 22 得来，所以 ，得到 ，12a 1243即这列数的第一个数是 43【答案】 43【巩固】 在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘 3 加 1 取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是 【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】 0 9 这 1

11、0 个 数 字 乘 以 3 所 得 的 数 的 个 位 数 字 互 不 相 同 是 本 题 可 以 进 行 判 断 的 基 础 采 用 倒 推 法 ， 可 以 得 到 经 过 一 次 加 密 之 后 的 密 码 是 “7118”， 再 进 行 倒 推 ， 可 以 得 到 原 来 的明 码 是 2009.【答案】2 009【例 6】 设有 25 个标号筹码，其中每个筹码都标有从 1 到 49 中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码当一个人选取了标号为 的筹码时，另一个人必须选取标号为 的最大奇因数的筹x 9x码如果第一个被选取的筹码的编号为 5，那么当游戏结束时还剩 个筹码【考点】游戏与策略 【

12、难度】3 星 【题型】解答【关键词】武汉,明星奥数挑战赛【解析】 解若 x9x5 4747 1313 4343 77 2323 1919 58-7.游戏与策略.题库 教师版 page 4 of 28当一个人拿到 19 时，下一个人就要拿 5 了，故游戏结束，拿了 7 个剩 (个) 25718【答案】 18【例 7】 一个盒子里有 400 枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200 枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出 2 枚棋子，如果颜色相同，就补 1 枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补 1 枚白色的棋子回去这样的操作，实际上就是每次都少了 1 枚棋子，那么，经过 399 次操作后，最后剩下的棋

13、子是 颜色( 填黑或者白 )【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】 由于起初白子 200 枚是偶数，若同色，补黑子 1 枚，白子仍为偶数；若异色，补白子 1 枚，白子仍为偶数因此最后 1 枚不可能是白子，故应是黑子【答案】黑【巩固】 30 粒珠子依 8 粒红色、2 粒黑色、8 粒红色、2 粒黑色、 的次序串成一圈一只蚱蜢从第 2 粒黑珠子起跳，每次跳过 6 粒珠子落在下一粒珠子上这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】走美杯，试题【解析】 这些珠子按 8 粒红色、2 粒黑色、8 粒红色、2

14、 粒黑色、 的次序串成一圈，那么每 10 粒珠 子一个周期，我们可以推断出这 30 粒珠子数到第 9 和 10、19 和 20、29 和 30、39 和 40、49 和50 粒 的时候，会是黑珠子刚才是从第 10 粒珠子开始跳，中间隔 6 粒，跳到第 17 粒，接 下来是第 24 粒、31 粒、38 粒、45 粒、52 粒、59 粒，一直跳到 59 粒的时候会是黑珠子，所以至少要跳 7 次【答案】7 次【巩固】 在黑板上写上 、 、 、 、 ，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个1234208数 和 ，然后写上它们的差( 大数减小数) ，直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是ab

15、奇数还是偶数？为什么？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为 是一1230829104个偶数，而每一次“操作” ，将 、 两个数变成了 ，它们的和减少了 ，即减少了一个ab()abb偶数那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数【答案】偶数【例 8】 桌上有一堆石子共 1001 粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于 1 的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若干步之

16、后，桌上的每一堆中都刚好有 3 粒石子？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 不可能事实上，如果可能的话，那么假定最后在桌上剩下了 堆石子，每堆 3 粒，则在此之n前一共进行了 次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作 次后(1)n 1n分成 堆） 而每操作一次，都扔去一粒石子，所以一共扔去 粒石子因此，(1)，得到 ，但 1002 不是 4 的倍数，说明 不是整数，导致矛盾所以3()0n402不可能【答案】不可能8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 5 of 28【巩固】 有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其

17、中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有 1989 块石子，第二堆有989 块石子，第三堆有 89 块石子问，能否做到：某 2 堆石子全部取光？3 堆中的所有石子都被取走？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 要使得某两堆石子全部取光，只需使得其中有两堆的石子数目一样多，那么如果我们把最少的一堆先取光，只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数，再平分一下就可以实现了而题中数字正好能满足要求所以，全部取光两堆是可以的对于第二个问题，要取走全部 3 堆，则必须 3 堆石子的总数是 3 的倍数才有可能，但1989、989、89 之和并非 3 的倍数，所以是不可能

18、的可以取光其中的两堆石子如进行如下的操作：第 1 堆 第二堆 第三堆1989 989 891900 900 0 (第一步：三堆各取走 89 块)1900 450 450 (第二步：第二堆 900 是偶数，将其一半移入第三堆)1450 0 0 (第三步：三堆各取走 450 块)不能将三堆全部取光 因为每一次取走石子是从三堆中同时取走相同数目的石子，那么每次取走的石子数都是 3 的倍数，则不论怎么取，取走的石子总数是 3 的倍数，而 ，3067 被 3 除余 1，不是 3 的整数倍，所以不能将三堆石子全部取光19867【答案】可以；不能【例 9】 今有 101 枚硬币，其中有 100 枚同样的真币

19、和 1 枚伪币，伪币和真币的重量不同现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 略【答案】101 枚硬币，如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等因此应该首先拿掉一个，把剩下的 100 枚硬币在天平两边各放 50 个如果这时天平两边重量相等的话，就说明剩下的那个是伪币只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币那种比较重了如果天平两边重量不相等的话，就是说伪币还在这 100 个硬币中可以拿出其中比较轻的 50个这时同样还是把他们分成两个 25 枚，分到天平两边称重

20、如果两边重量相等，说明这 50 个硬币都是真的伪币在比较重的那 50 个中，因此伪币就应该比真币重如果两边重量不相等，说明伪币就在这 50 个比较轻的硬币中，显然伪币就应该比真币轻同样道理，也可以把比较重的那 50 个硬币分成两个 25 进行称重，同样也可以得出结论【巩固】 9 个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 第一次在左右两托盘各放置 3 个：(一)如果不平衡，那么较轻的一侧的 3 个中有一个是假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的； 如果平衡，剩下的一个是假的

21、；(二)如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的从中任取两个分别放在两托盘内： 如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的那个是假的这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻，重，8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 6 of 28平)，所以分成 3 堆是很常见的分法【答案】能【巩固】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 略.【答案】第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标

22、准的 10 个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染【例 10】 有大，中，小 3 个瓶子，最多分别可以装入水 1000 克，700 克和 300 克.现在大瓶中装满水，希望通过水在 3 个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出 100 克水的刻度线，问最少要倒几次水？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 通过对三个数字的分析，我们发现 700-300-300=100，是计算步数最少的得到 100 的方法而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：1大瓶往中瓶中倒满水2中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下 400 克水3小瓶中水倒回大瓶4中瓶再往小瓶中

23、倒满水，这时中瓶中只剩下 100 克水，标记5小瓶中水倒回大瓶6中瓶中 100 克水倒入小瓶，标记所以最少要倒 6 次水本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的【答案】 次【例 11】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2；如果是奇数则加 1. 如此进行直到为 1 操作停止. 求经过 9 次操作变为 1 的数有多少个？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛，决赛【解析】 可以先尝试一下，得出下面的图：其中经 1 次操作变为 1 的 1 个，即 2，经 2 次操作变为 1 的1 个，即 4，经 3 次操作变为 1 的 2 个，即 3，8，经

24、6 次操作变为 1 的有 8 个，即11，24，10，28，13，30，64，31.于是，经 1、2、次操作变为 1 的数的个数依次为1，1，2，3，5，8， 这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即2 1 1，3 2 1，5 3 2，8 5 3，如果这个规律正确，那么 8 后面的数依次是8 5 13，13 8 21，21 13 34，8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 7 of 28即经过 9 次操作变为 1 的数有 34 个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过 次操作变为 1 的数的个数为 ,则 1， 1， 2，nna2a3 10241112513

25、28303164321514167638421从上面的图看出， 比 大. 一方面，每个经过 次操作变为 1 的数，乘以 2，就得出一个偶1na n数，经过 次操作变为 1；反过来，每个经过 次操作变为 1 的偶数，除以 2，就得出一个1经过 次操作变为 1 的数. 所以经过 次操作变为 1 的数与经过 次操作变为 1 的偶数恰好一nnn样多.前者的个数是 ,因此后者也是 个.nana另一方面，每个经过 次操作变为 1 的偶数，减去 1，就得出一个奇数，它经过 次操作变为1n1，反过来.每个经过 次操作变为 1 的奇数，加上 1，就得出一个偶数，它经过 次操作变为n1. 所以经过 次操作变为 1

26、 的偶数经过 次操作变为 1 的奇数恰好一样多.而由上面所说，前n者的个数就是 ,因此后者也是 .1na1na经过 1 次操作变为 1 的数，分为偶数、奇数两类，所以11nna即上面所说的规律的确成立.满足规律 ，并且 1 的一串数 称为裴波那契数列，斐波那契（ Fibonacci,约 117512a1250）是意大利数学家，以他的名字命名的这种数列有很广泛的应用.【答案】34模块二、染色与操作（证明）8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 8 of 28【例 12】 六年级一班全班有 名同学，共分成 排，每排 人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个3557位置都叫作它的邻座如果要让这 名

27、同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什3么？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 建议建议教师在本讲可以以游戏的形式激发学生自主解决问题划一个 的方格表，其中每57一个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格坐到白格但实际上图中有 个黑格， 个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到178【答案】不能【例 13】 图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通有一个人打算从室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到 室，问他的目的能否达到，为什么？A

28、 A AA【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 采用染色法如右图，共有 个展览室，对这 个展览室，黑白相间地进行染色，从白室 出发99 A走过第 扇门必至黑室，再由黑室走过第 扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此12将走过黑白相间的 个展览室，再回到白室 ，共走过 扇门由于走过奇数次门至黑室，走过8A偶数次门至白室 现在，走过 扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室 【答案】无法回到【例 14】 右图是某套房子的平面图，共 个房间，每相邻两房间都有门相通请问：你能从某个房间出12发，不重复地走完每个房间吗?【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】

29、如图所示，将房间黑白相间染色，发现有 个白格， 个黑格因为每次只能由黑格到白格或由57白格到黑 格，路线必然黑白相间，这样白格数目与黑格数目之差最多为 才能不重复，但图1中黑格比白格多 个，所以无法实现不重复走遍2【答案】无法实现【巩固】 有一次车展共 个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图63所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 9 of 28【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 如右图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格由于入口处和出口处都是白格，而路

30、线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多 个，而实际上白1格、黑格都是 个，故不可能做到不重复走遍每个展室18【答案】不可能【例 15】 如右图，在 方格的 格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格5A中那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到 格中?AA【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格所以，它由 出发回到 ，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步而小方格为 个，A 52每格爬过一次，就应该为 步，不是偶数于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到25格A【答案】不可能【例

31、16】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马众所周知，马是走“日”字的请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？马【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 马走“日” 字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示：先在棋盘各交点处相间标上和 ，图中共有 22 个和 23 个因为马走“日” 字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或 ） ，要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有 个点，所2345以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点8-7.游戏与策略.题库 教师

32、版 page 10 of 28讨论：如果马的出发点不是在点上而是在 点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它 个点，4要跳 步， 是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或） 因为 步跳过的点与点4 4各 个，所以起点必是，终点也是 也就是说，当不要求回到出发点时，只要从出发，就2可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点【答案】不可能【巩固】 一只电动老鼠从右图的 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转当A这只电动老鼠又回到

33、 点时，甲说它共转了 次弯，乙说它共转了 次弯如果甲、乙二人8182有一人说对了，那么谁正确？A 【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 如右图所示:格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格点就转了多少次弯如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确【答案】甲正确模块三、染色与操作（剪拼）【例 17】 有 7 个苹果要平均分给 12 个小朋友，园长要求每个苹果最多分成 5 份应该怎样分？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 显然每人应该分 + + 712414于是，拿 4 个苹果，每个苹果 3 等分；拿 3

34、个苹果，每个苹果 4 等分.【答案】拿 4 个苹果，每个苹果 3 等分；拿 3 个苹果，每个苹果 4 等分【例 18】 右图是由 个大小相同的方格组成的图形试问能不能剪裁成 个由相邻两方格组成的长方形？1 7【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 将这 个小方格黑白相间染色（见右下图） ，有 个黑格， 个白格相邻两个方格必然是一黑14 86一白，如果能剪裁成 个小长方形，那么 个格应当是黑、白各 个，与实际情况不符，所以7147不能剪裁成 个由相邻两个方格组成的长方形【答案】不能【巩固】 你能把下面的图形分成 个大小相同的长方形吗？动手画一画78-7.游戏与策略.题库 教师版

35、 page 11 of 28【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 可以通过染色发现黑白方格个数相同，可以按一黑一白分成 块含有 个小方格的长方形，答案72如下（答案不唯一）：【答案】【巩固】 有 6 张电影票(如右图) ，想撕成相连的 3 张，共有_种不同的撕法.【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 形如 的有 2 种，形如 的有 8 种.所以共有 （种）210【答案】 种10【巩固】 右图是由 个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成 个相同的长方形？4 20【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 将 个小正方形剪裁成 个相同的长方形，就

36、是将图形分割成 个 的小长方形，将图形4020 201黑白相间染色后，发现有 黑， 白，黑、白格数目不等，而 的小长方形覆盖的总是黑白19格各一个，所以不可能做到【答案】不可能【巩固】 右面的三个图形都是从 44 的正方形纸片上剪去两个 11 的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成 12 的七个小矩形.【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 12 of 28【解析】 如右图（1）能，黑白格数相等；（2） （3）不能，黑白格数不等，而 12 的小矩形一次覆盖黑白格各一个.【答案】 （1）能；（2） （3）不能【例 19】 用 个 的长方形能

37、不能拼成一个 的正方形？请说明理由946 44 444443333 333322222222 2111 11 1114321【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 本题若用传统的自然染色法，不能解决问题因为要用 来覆盖，我们对 正方形用四种46颜色染色为了方便起见，这里用 、 、 、 分别代表四种颜色为了使每个 长方形在123 14任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图这样，可以发现无论将 长方形放于何处，盖住的必然是 、 、 、 各一个要不重叠地拼出 ，需 个 长方形，则49必然盖住 、 、 、 各 个但实际上图中一共是 个 、 个 、 个 、 个 ，因而不可1

38、2349910238能用 个 长方形拼出 正方形96【答案】不可能【例 20】 能否用 个 所示的卡片拼成一个 的棋盘？96【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 不能将 的棋盘黑白相间染色（见右图） ，有 个黑格而每张卡片盖住的黑格数只能是618或者 ，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数， 张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能13 9盖住 个黑格8【答案】不可能【巩固】 如右图，缺两格的 方格有 个格，能否用 个 图不重复地盖住它且不留空隙?862318-7.游戏与策略.题库 教师版 page 13 of 28【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 这种覆

39、盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一用 来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等但从染色后整个图来看，黑格 个，白格 个，故不可能将整个图不重不漏地302盖住【答案】不可能【巩固】 用 个 和 个 能否盖住 的大正方形？158【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 如右图，对 的正方形黑白相间染色后，发现 必然盖住 白 黑， 个则盖住 白8 2510黑 则盖住了 白 黑或 黑 白，从奇偶性考虑，都是奇数而这种形状共 个，奇1031数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一

40、种形状的 白 黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格但实际染色后共 个白格 个黑格，故不可能按题目32要求盖住注意：本题中每个 盖 白 黑或 黑 白， 个这种形状盖住的不一定是 白 黑或31131黑 白，因为可能一部分盖 白 黑，另一部分盖 黑 白这是一个容易犯错的地方31 3【答案】不可能【例 21】 在 的网格正方形( 如图 1)中用图 2 形状的图形来覆盖，要求图 2 的分割线落在正方形的网8格线上为使所余部分不能再放下图 2 形状的图形，最少需用图 2 形状的图形 个882211图 1 图 2【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 最少需要图 2 形状的图形 11 个

41、每个 的正方形至少被覆盖住 2 个小方格，才不能再放下图28-7.游戏与策略.题库 教师版 page 14 of 282 形状的图形在 的正方形中有 16 个 的正方形，因此至少需要覆盖住 个小822163方格而要覆盖住 32 个小方格至少需要 11 个图 2 形状的图形(10 个只能覆盖 个小方0格)具体覆盖方法很多，这里仅给出几种供读者参考(如下图)【答案】11 个【例 22】 用若干个 和 的小正方形能不能拼成一个 的大正方形？请说明理由231【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 如图所示，将 或 的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格

42、23共有 个，是奇数，所以只用 和 的小正方形，不可能拼成 的大正方形7231【答案】不可能【巩固】 个 正方形和 个 长方形能不能拼出 的大正方形?请说明理由121548【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 若仍然将 的大正方形黑白相间染色，则 和 两种形状盖住的都是两白两黑必须寻8241找其他的染色方法新的方法必须使得 和 长方形无论放在何处，都分别符合一定的规律采用如右图的染色方法，则： 长方形必盖住两黑两白，共 个 ，盖住 黑 白； 长方形可盖住 白 黑或4115430231黑 白可以发现，总共只能盖住 黑 白或 白 黑，而图中实际有 个黑格 个白格，3312故不可

43、能用 个 和 个 的长方形盖住 的大正方形对区域染色也可理解为对多个5128方格染色，但此时方格染色范围更广，染色方案更加灵活【答案】不可能8-7.游戏与策略.题库 教师版 page 15 of 28【例 23】 有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是 现有一批现成的木箱，内空尺寸是124，问：为什么不能用这些商品将木箱装满?6【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 略【答案】采用如右图的染色方法每件 的商品必占 个白的小立方体和 个黑的小立方体在整个大正方体中， 的12444 2黑正方体共有 (个 )故 的黑正方体共： (个)白正方体共：5111421(个)可见， 的小立

44、方体黑白总数不等，而每件 的商品能占的60 4黑白小立方体个数相同，故不可能用这种商品装满木箱而没有空隙模块四、操作问题（计算）【例 24】 对于任意一个自然数 ，当 为奇数时，加上 ；当 为偶数时，除以 ，这算一次操作现n12n2在对 连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现 ？为什么？231 0【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作” 一下，得到1222222122212157684363547901578 这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到 ，但也不能肯定得不到 当然，连续操作10下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入

45、循环，这时就可以肯定不会出现 因为0这一过程很长，所以这不是好方法我们可以从另一个方面来考虑，因为 和 都是 的倍231数，而 不是 的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是 的倍数 不是 的倍数，21所以不可能出现【答案】不可能【巩固】 小牛对小猴说：“对一个自然数 进行系列变换：当 是奇数时，则加上 2007；当 是偶数时，nnn则除以 2现在对 2004 连续做这种变换，变换中终于出现了数 2008 ”小猴说：“你骗人！不可能出现 2008 ”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？【考点】游戏与策略 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 试着按照规则进行变换，得到的结果依次如下：2004，1002，501，2508，1254，627，2634，1317，3324，1662，831，283