1、4.4 多边形与平行四边形,中考数学 (湖南专用),A组 20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一 多边形,1.(2016湖南益阳,6,5分)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角 和之和 是 ( ) A.360 B.540 C.720 D.900,答案 D 将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,这两个多边形的内角和之和为180+180 =360;在矩形任一边上取一点(不含顶点),连接该点与矩形的任一顶点(不与该点在同一条 边上),得到一条线段,沿此线段剪开矩形,得到一个三角形和一个四边形,这两个多边形的内角 和之和为180+360=540;任取矩形一组对边,在这两
2、边上各取一点(不含顶点),连接这两点 得到一条线段,将矩形沿这条线段剪开,得到两个四边形,这两个多边形的内角和之和为360+3 60=720;任取矩形相邻两边,在这两边上各取一点(不含顶点),连接此两点,得到一条线段,将 矩形沿这条线段剪开,得到一个三角形和一个五边形,这两个多边形的内角和之和为180+540 =720.故选D.,2.(2016湖南长沙,4,3分)六边形的内角和是 ( ) A.540 B.720 C.900 D.360,答案 B n边形的内角和是(n-2)180,六边形的内角和为(6-2)180=720,故选B.,3.(2015湖南怀化,6,4分)一个多边形的内角和是360,这
3、个多边形是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.六边形 D.不能确定,答案 B 设这个多边形的边数为n, 则有(n-2)180=360,解得n=4, 故这个多边形是四边形.故选B.,4.(2018湖南邵阳,14,3分)如图所示,在四边形ABCD中,ADAB,C=110,它的一个外角ADE =60,则B的大小是 .,答案 40,解析 ADE=60,ADC=120, ADAB,DAB=90, B=360-C-ADC-A=40.,5.(2017湖南邵阳,15,3分)如图所示的正六边形ABCDEF,连接FD,则FDC的大小为 .,答案 90,解析 易知在正六边形ABCDEF中,E=EDC=120, E
4、F=DE, EDF=EFD=30,FDC=120-30=90. 故答案为90.,思路分析 易知正六边形的各内角的度数,根据等腰三角形的性质即可得到结论.,6.(2017湖南益阳,13,5分)如图,多边形ABCDE的每个内角都相等,则每个内角的度数为 .,答案 108,解析 五边形的内角和=(5-2)180=540, 五边形的每个内角都相等,每个内角的度数=5405=108.,7.(2015湖南娄底,16,3分)一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形的边数为 .,答案 6,解析 设这个多边形为n边形,则有(n-2)180=2360,解得n=6,故答案为6.,考点二 平行四边形,1.(
5、2017湖南衡阳,8,3分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添 加的条件不正确的是 ( )A.AB=CD B.BC=AD C.A=C D.BCAD,答案 B A.AB=CD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知,A正确; B.BC=AD,一组对边平行,另一组对边相等,不能判定四边形一定为平行四边形,故B不正确; C.A=C,由条件可知B=D,对角相等的四边形是平行四边形,故C正确; D.BCAD,由平行四边形的定义可知,两组对边分别平行的四边形是平行四边形.故D正确.故 选B.,2.(2017湖南株洲,9,3分)如图,点E、F、G、H分别为四边形A
6、BCD的四条边AB、BC、CD、DA 的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的是 ( )A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形 C.可能是轴对称图形 D.当AC=BD时,它为矩形,答案 C 根据三角形中位线的性质可以确定四边形EFGH为平行四边形,故A、B错误;当AC =BD时,它是菱形,故D错误.故选C.,3.(2016湖南湘西,11,4分)下列说法错误的是 ( ) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形,答案 D A项,两条对角线互相平分
7、的四边形是平行四边形,故本选项正确; B项,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故本选项正确; C项,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故本选项正确; D项,一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,还有可能是等腰梯形,故本 选项错误.故选D.,4.(2016湖南娄底,4,3分)下列命题中, 的是 ( ) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.内错角相等,答案 D 内错角相等的前提是两直线平行,选项D中没有前提条件是不能得到内错角相等 的,故选D.,思路分析 根据平行四边形,矩形,菱形的判
8、定方法即可判断.,解题关键 本题考查平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识,解题的关键是熟 练掌握特殊四边形的判定方法.,5.(2018湖南衡阳,17,3分)如图,ABCD的对角线相交于点O,且ADCD,过点O作OMAC,交 AD于点M.如果CDM的周长为8,那么ABCD的周长是 .,答案 16,解析 四边形ABCD是平行四边形,OA=OC, OMAC,AM=MC. CDM的周长=CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8, 平行四边形ABCD的周长是28=16.,6.(2016湖南张家界,11,3分)如图,在ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,且AB= 6
9、cm,AC=8 cm,则四边形ADEF的周长等于 cm.,答案 14,解析 由题意知BD=AD,BE=EC, DE= AC=4 cm,DEAC, 同理可得EF= AB=3 cm,EFAB, 四边形ADEF是平行四边形, 四边形ADEF的周长=2(DE+EF)=14 cm.,思路分析 证明四边形ADEF是平行四边形,根据三角形中位线的性质求出DE、EF的长即可 解决问题.,7.(2015湖南邵阳,12,3分)如图,在ABCD中,E、F为对角线AC上两点,且BEDF,请从图中找 出一对全等三角形 .,答案 ADFCBE(或ADCCBA或DFCBEA),解析 四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,
10、DAC=BCA, BEDF,DFC=BEA,AFD=BEC, ADFCBE(AAS).类似地,还可以得到ADCCBA和DFCBEA,答案不唯一.,8.(2016湖南长沙,22,8分)如图,AC是ABCD的对角线,BAC=DAC. (1)求证:AB=BC; (2)若AB=2,AC=2 ,求ABCD的面积.,解析 (1)证明:四边形ABCD为平行四边形, ADBC,DAC=BCA,又BAC=DAC,BAC=BCA,AB=BC. (2)连接BD交AC于O,AB=BC,且四边形ABCD为平行四边形, 四边形ABCD为菱形,ACBD,BO2+OA2=AB2, 即BO2+ =22,BO=1,BD=2BO=
11、2, SABCD= BDAC= 22 =2 .,B组 20142018年全国中考题组,考点一 多边形,1.(2017贵州黔南州,8,3分)如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍,则这个正多边形是 ( ) A.正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形,答案 C 设这个多边形的边数为n, 由题意得(n-2)180=2360, 解得n=6. 故这个多边形是正六边形. 故选C.,2.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则AFE的度数为 .,答案 72,解析 五边形ABCDE是正五边形, EAB=ABC= =108, BA=BC,BAC=BCA=36
12、, 同理可得ABE=36,AFE=ABF+BAF=36+36=72.,3.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆 放方式如图所示,则AOB等于 度.,答案 108,解析 如图,正五边形中每一个内角都是108, OCD=ODC=180-108=72. COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,4.(2015河北,19,3分)平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重 合并叠在一起,如图,则3+1-2= .,答案 24,解析 正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数分别为60、90、10
13、8、 120, 由题图可知3=90-60=30,1=120-108=12,2=108-90=18, 所以3+1-2=30+12-18=24.,考点二 平行四边形,1.(2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作 图:以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大 于 DE的长为半径作弧,两弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为( )A.( -1,2) B.( ,2) C.(3- ,2) D.( -2,2),答案 A 如图,设AC与y轴交于点H. 在AOBC中,
14、ACOB,AHy轴, A(-1,2),AO= = , 由作图知OF平分AOB,AOF=BOF=AGO, AG=AO= ,HG=AG-AH= -1, 点G的坐标为( -1,2).故选A.,思路分析 根据作图方法可知OF平分AOB,在AOBC中判定AOG为等腰三角形,用勾股 定理可求相关边长度,进而求得点G的坐标.,方法总结 本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载体为一种数学模型, 如下图,若存在3个条件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意两个作条件,一定能得 出第三个.,2.(2015河南,7,3分)如图,在ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E.若B
15、F= 6,AB=5,则AE的长为( )A.4 B.6 C.8 D.10,答案 C 设AE与BF交于点O.由题可知AF=AB,BAE=FAE,AEBF,OB= BF=3,在Rt AOB中,AO= =4. 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,FAE=BEA, BAE=BEA,AB=BE,AE=2AO=8.故选C.,3.(2015宁夏,21,6分)在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点.连接AE. (1)若AB=AE,求证:DAE=D; (2)若点E为BC的中点,连接BD,交AE于F,求EFFA的值.,解析 (1)证明:四边形ABCD为平行四边形, B=D,ADBC, AEB=EAD. 又AB
16、=AE, B=AEB, (2分) B=EAD, DAE=D. (3分) (2)ADBC, FAD=FEB,ADF=EBF, (5分) ADFEBF, EFFA=BEAD=BEBC= . (6分),C组 教师专用题组,考点一 多边形,1.(2017湖北宜昌,10,3分)如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角 和相等,下列四种剪法中,符合要求的是 ( )A. B. C. D.,答案 B 剪开后的两个图形都是四边形,它们的内角和都是360,剪开后的两个图形都 是三角形,它们的内角和都是180,剪开后的两个图形的内角和相等,故选B.,2.(2017台湾,19,3分)如图为互相垂直
17、的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形,若A=10 0,B=D=85,C=90,则根据图中标示的角,判断下列1,2,3的大小关系,正确的是 ( )A.1=23 B.1=32 C.21=3 D.31=2,答案 D (180-1)+2=360-90-90=180,1=2,(180-2)+3=360-85-90= 185, 3-2=5,32,31=2. 故选D.,3.(2017江苏苏州,7,3分)如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,则ABE的度数为 ( )A.30 B.36 C.54 D.72,答案 B 根据正n边形的内角= 求得正五边形的每一个内角的度数是108,又每一 条边都相等,则AB
18、E是等腰三角形,故ABE=AEB=36.,4.(2016广西柳州,4,3分)在四边形ABCD中,若A+B+C=260,则D的度数为 ( )A.120 B.110 C.100 D.40,答案 C 在四边形ABCD中,A+B+C+D=360,且A+B+C=260,D=100. 故选C.,5.(2014天津,6,3分)正六边形的边心距为 ,则该正六边形的边长是 ( ) A. B.2 C.3 D.2,答案 B 如图,由题意可知,OAB是等边三角形,OGAB于G,在RtOAG中,sinOAG= ,所以OA= = =2,所以AB=OA=2,故选B.,6.(2018河北,19,6分)如图1,作BPC平分线的
19、反向延长线PA,现要分别以APB,APC,BPC 为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案. 例如:若以BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时BPC=90,而 =45是360(多 边形外角和)的 ,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要 求的图案,如图2所示. 图2中的图案外轮廓周长是 ; 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是 .图1,图2,答案 14;21,解析 题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长为1的正方形组成,且三个正多 边形三边相连,题图2中的图案外轮廓周长是
20、6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然 以APB,APC为内角的两个正多边形的边数越多(即以BPC为内角的正多边形的边数越 少),会标的外轮廓周长越大.当以BPC为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周 长最大.此时APB=150,以APB,APC为内角的两个正多边形均为正十二边形,会标的外 轮廓周长为10+10+1=21.,7.(2017江苏南京,14,2分)如图,1是五边形ABCDE的一个外角.若1=65,则A+B+C+ D= .,答案 425,解析 因为1=65,所以AED=115.因为五边形内角和是540,所以A+B+C+D=54 0-115=425.,8.(201
21、7吉林,13,3分)如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径画 , . 若AB=1,则阴影部分图形的周长和为 (结果保留).,答案 +1,解析 正五边形的每个内角都为108,故可得阴影部分图形的周长和为2 +1= +1.,9.(2015北京,12,3分)下图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则1+2+3+4+ 5= .,答案 360,解析 多边形的外角和为360,1+2+3+4+5=360.,10.(2016湖南湘潭,11,3分)四边形内角和为 度.,答案 360,解析 由n边形内角和为(n-2)180,可得四边形内角和为(4-2)180=360.,考
22、点二 平行四边形,1.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中, 得出四边形 AECF一定为平行四边形的是 ( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AFCE D.BAE=DCF,答案 B 当BE=DF时,如图1, 易证AFDCEB,ABECDF, 从而AF=CE,AE=CF, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意; 当AFCE时,如图1, 则AFE=CEF,从而AFD=CEB,又因为ADF=CBE,AD=BC, 所以AFDCEB,则AF=CE, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意; 当BAE=DCF时,如图1,易证ABE
23、CDF, 可得AEB=CFD,AE=CF, 所以AEF=CFE,所以AECF, 则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意; 如图2,其中AE=CF,但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意.图1 图2,思路分析 依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,2.(2017贵州贵阳,10,3分)如图,四边形ABCD中,ADBC,ABC+DCB=90,且BC=2AD.以AB, BC,DC为边向外作正方形,其面积分别为S1,S2,S3,若S1=3,S3=9,则S2的值为 ( )A.12 B.18 C.24 D.48,答案 D 过点D作DEAB交BC于点E,ADBC,四边形ABED为平行四
24、边形, AD=BE. BC=2AD,CE= BC. DEAB,ABC=DEC, ABC+DCB=90, DEC+DCB=90, DEC为直角三角形. 易知CE2=S1+S3=12, CE=2 ,BC=4 ,S2=BC2=48,故选D.,解题关键 解决本题的关键在于通过作辅助线把四边形的问题转换为平行四边形和直角三 角形问题.,3.(2015浙江宁波,7,4分)如图,ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使 ABECDF,则添加的条件不能为 ( )A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.1=2,答案 C 四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD, ABE=
25、CDF. 若添加BE=DF,则根据SAS可判定ABECDF; 若添加BF=DE,易得BE=DF,则根据SAS可判定ABECDF; 若添加AE=CF,则为SSA,不可判定ABECDF; 若添加1=2,则根据ASA可判定ABECDF.故选C.,4.(2015四川绵阳,7,3分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,CBD=90,BC=4, BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 ( )A.6 B.12 C.20 D.24,答案 D 在RtCBE中,CE= =5,AE=AC-CE=5, AE=CE=5,又BE=DE=3,四边形ABCD为平行四边形. SABCD=2SCB
26、D=2 BDBC=64=24.故选D.,5.(2014河南,7,3分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ABAC.若AB=4,AC=6,则BD的 长是( )A.8 B.9 C.10 D.11,答案 C 在ABCD中,AO=CO,BO=DO, AC=6,AO=3, ABAC,在RtABO中,BO= = =5, BD=2BO=10,故选C.,6.(2014山东济南,10,3分)如图,在ABCD中,延长AB到点E,使BE=AB,连接DE交BC于点F,则下 列结论 的是 ( )A.E=CDF B.EF=DF C.AD=2BF D.BE=2CF,答案 D CDBE,E=CDF,又BE=AB=C
27、D,BFE=CFD,BEFCDF,EF= DF.BE=AB,ADBF,AD=2BF,故A、B、C选项均正确,只有D选项不一定正确.故选D.,7.(2017湖南怀化,13,3分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中 点,OE=5 cm,则AD的长为 cm.,答案 10,解析 四边形ABCD为平行四边形, BO=DO,点E是AB的中点,OE为ABD的中位线, AD=2OE,OE=5 cm, AD=10 cm.故答案为10.,8.(2017湖北武汉,13,3分)如图,在ABCD中,D=100,DAB的平分线AE交DC于点E,连接 BE.若AE=AB,则EBC的度数
28、为 .,答案 30,解析 四边形ABCD是平行四边形, BCAD,ABDC,ABC=D,DAB+D=180,D=100, DAB=80,ABC=100.又DAB的平分线交DC于点E, EAD=EAB=40. AE=AB, ABE= (180-40)=70, EBC=ABC-ABE=100-70=30.,9.(2017内蒙古呼和浩特,15,3分)如图,在ABCD中,B=30,AB=AC,O是两条对角线的交点,过 点O作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F;点M是边AB的一个三等分点.则AOE与BMF的 面积比为 .,解析 如图,过点M作MPBC于点P,过点A作AQBC于点Q,在平行四边形ABC
29、D中,O是两条对角线的交点, AOECOF. B=30,AB=AC, ACB=B=30. ACEF, 在RtOFC中,设OF=x,则OC= x,FC=2x. SAOE=SOFC= OFOC= x2. AB=AC=2OC=2 x, 在RtABQ中,BQ=3x,BC=6x.,答案 34,BF=4x. 点M是边AB的一个三等分点, MB= x. 在RtBMP中,MP= MB= x, SBMF= BFMP= x2. SAOESBMF=34.,10.(2017四川成都,14,4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:以A为圆心,任意长 为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;分别以M,N为圆心
30、,以大于 MN的长为半径作弧,两弧相 交于点P;作射线AP,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD的周长为 .,答案 15,解析 由作图知AQ平分DAB,在ABCD中,ABCD,所以DAQ=BAQ=DQA,所以DQ =DA=BC=3.因为DQ=2QC,所以DC=4.5.所以平行四边形ABCD的周长为2(4.5+3)=15.,11.(2014安徽,14,5分)如图,在ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CEAB,垂足E在线段AB 上,连接EF、CF.则下列结论中一定成立的是 .(把所有正确结论的序号都填在横线 上)DCF= BCD; EF=CF; SBEC=2SC
31、EF; DFE=3AEF.,解析 F是AD的中点,AF=FD, 在ABCD中,AD=2AB, AF=FD=CD, DFC=DCF, ADBC, DFC=FCB, DCF=BCF, DCF= BCD,故正确; 延长EF,交CD的延长线于M, 四边形ABCD是平行四边形, ABCD,A=MDF, 在AEF和DMF中, AEFDMF(ASA),答案 ,EF=MF,CEAB,AEC=90, ECD=AEC=90,EF=CF,故正确; EF=FM,SECM=2SEFC, MCBE,SECMSBEC,SBEC2SEFC,故错误; 由得A=BCD=2MCF, 又易证AEF=M=MCF,DFE=A+AEF=3
32、AEF,故正确.,评析 本题主要考查了平行四边形、等腰三角形、直角三角形的性质,利用点F是AD的中点 构造全等三角形是解答本题的关键,属难题.,12.(2018山东潍坊,24,12分)如图1,在ABCD中,DHAB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E, 交AB于点F,AB=6,DH=4,BFFA=15. (1)如图2,作FGAD于点G,交DH于点M,将DGM沿DC方向平移,得到CGM,连接MB. 求四边形BHMM的面积; 直线EF上有一动点N,求DNM周长的最小值. (2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QKAB,过CD边上的动点P作PKEF,并与QK交于 点K,将PKQ沿直线PQ翻折,
33、使点K的对应点K恰好落在直线AB上,求线段CP的长.,备用图,解析 (1)易证四边形DEFH是矩形,DE=FH. 在ABCD中,AB=6,直线EF垂直平分CD, DE=FH=3, 又BFFA=15, BF=1,FA=5, AH=2,BH=4, (1分) 易得RtAHDRtMHF, = , = , HM= , (2分) 根据平移的性质,得MM=CD=6,连接BM,S四边形BHMM=SBMM+SBHM= 6 + 4 = . (3分) 连接CM交直线EF于点N,连接DN, 直线EF垂直平分CD, CN=DN, (4分) MH= ,DM= , 在RtCDM中,MC2=DC2+DM2, MC2=62+
34、, 即MC= , (5分) MN+DN=MN+CN=MC, DNM周长的最小值为9. (6分) (2)BFCE,QFBQEC. = = , QF=2,PK=PK=6, (7分) 过点K作EFEF,分别交CD于点E,交QK于点F,如图1, (8分)当点P在线段CE上时, 在RtPKE中, PE2=PK2-EK2, PE=2 , (9分) RtPEKRtKFQ, (10分) = , = ,FQ= , EE=QF, PE=PE-EE=2 - = , CP= , (11分) 同理可得,当点P在线段ED上时,如图2,CP= .综上可得,CP的长为 或 . (12分),思路分析 (1)将四边形BHMM分割
35、为两个三角形,已知MM,BH的长,故只需求出高MH即 可,计算MH可通过RtAHD与RtMHF相似;由EF垂直平分CD可得点D和点C关于直线EF 对称,故只需连接CM,CM与EF的交点即为满足条件的点N,分别求出CM和DM的长即可求出 DNM周长的最小值;(2)分两种情况讨论,点P在线段CE上及点P在线段DE上.,一题多解 (2)当点P在线段CE上时, 如图所示,设直线AB与PK交于点G.,易得ABQ=A,在RtBFQ中, tanABQ= =2, BF=1,FQ=2. EQ=EF+FQ=4+2=6, PK=EQ=6. 由折叠可得PK=PK=6,QK=QK,在RtPGK中,PG=DH=4, GK
36、= = =2 . 设PE=x,则GF=KQ=x,QK=x,FK=GK-GF=2 -x. 在RtQFK中, (2 -x)2+22=x2, 解得x= . CP=CE-PE= . 同理可得,当点P在线段ED上时, CP= . 综上可得,CP的长为 或 .,13.(2017江苏南京,19,7分)如图,在ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且AE=CF,EF、BD相 交于点O.求证:OE=OF.,证明 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, EDO=FBO,DEO=BFO. AE=CF, AD-AE=CB-CF,即DE=BF, DOEBOF, OE=OF.,14.(2017江西,16,
37、6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请 ,分别按下列要求画 图. (1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形;(2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.,解析 (1)如图.(画法有多种,正确画出一种即可,以下几种画法仅供参考),(3分),(2)如图.(画法有两种,正确画出其中一种即可),(6分),15.(2017湖北咸宁,18,9分)如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC. (1)求证:ABCDFE; (2)连接AF、BD,求证:四边形ABDF是平行四边形.,证明 (1)BE=FC, BC=EF, 在ABC和DFE中, ABCDFE(SSS). (2)由
38、(1)知ABCDFE, ABC=DFE, ABDF, AB=DF, 四边形ABDF是平行四边形.,思路分析 (1)利用“SSS”证明ABCDFE即可; (2)由全等三角形的性质得出ABC=DFE,证出ABDF,即可得出结论.,16.(2016山东德州,23,10分)我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边 形叫做中点四边形. (1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是 平行四边形; (2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,APB=CPD.点E,F,G,H分别为 边AB,BC,
39、CD,DA的中点.猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想; (3)若改变(2)中的条件,使APB=CPD=90,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形 状.(不必证明),解析 (1)证明:如图,连接BD.点E,H分别为边AB,AD的中点, EHBD,EH= BD. 点F,G分别为边BC,CD的中点, FGBD,FG= BD.EHFG,EH=FG. 中点四边形EFGH是平行四边形. (3分) (2)中点四边形EFGH是菱形. 证明:如图,连接AC,BD.,APB=CPD,APB+APD=CPD+APD, 即BPD=APC,又PB=PA,PD=PC, BPDAPC.BD=AC. (6分
40、) 点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点, EF= AC,FG= BD,EF=FG, 又由(1)知四边形EFGH是平行四边形, 中点四边形EFGH是菱形. (8分),(3)当APB=CPD=90时,中点四边形EFGH是正方形. (10分),评析 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性 质、正方形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活应用三角形中位线定理,学会添加常用辅 助线,属于中考常考题型.,17.(2016湖南永州,23,10分)如图,四边形ABCD为平行四边形,BAD的平分线AE交CD于点F, 交BC的延长线于点E. (1)求证:BE=CD; (2)连
41、接BF,若BFAE,BEA=60,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AB=CD, AEB=DAE, AE是BAD的平分线, BAE=DAE,BAE=AEB, AB=BE,BE=CD. (2)AB=BE,BEA=60, ABE是等边三角形, AE=AB=4,BFAE, AF=EF=2,AFB=90, BF= = =2 , ADBC, D=ECF,DAF=E, 在ADF和ECF中,ADFECF(AAS), SADF=SECF, SABCD =SABE= AEBF= 42 =4 .,思路分析 由平行四边形的性质和角平分线得出BAE=BE
42、A,即可得出AB=BE,进而得证; (2)先证明ABE是等边三角形,得出AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理求出BF,由AAS证明 ADFECF,得出ADF的面积=ECF的面积,因此平行四边形ABCD的面积=ABE的面 积= AEBF,即可得出结果.,解题关键 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判 定、等边三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解 决问题(2)的关键.,18.(2015内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF. (1)求证:BOEDOF; (2)若BD=EF,连接DE
43、、BF,判断四边形EBFD的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:四边形ABCD为平行四边形, BO=DO,AO=OC. AE=CF,AO-AE=OC-CF,即OE=OF. 在BOE和DOF中, BOEDOF(SAS). (4分) (2)矩形. (6分),19.(2015江苏连云港,22,10分)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点C落在 点F处,DF交AB于点E. (1)求证:EDB=EBD; (2)判断AF与DB是否平行,并说明理由.,解析 (1)证明:由折叠可知,CDB=EDB. (1分) 四边形ABCD是平行四边形, DCAB,CDB=EBD, (2分) EDB=
44、EBD. (4分) (2)AFDB.EDB=EBD,DE=BE. (5分) 由折叠可知,DC=DF.四边形ABCD是平行四边形, DC=AB,DF=AB.AE=EF. (6分) EAF=EFA. 在BED中,EDB+EBD+DEB=180,即2EDB+DEB=180. 同理,在AEF中,2EFA+AEF=180. DEB=AEF,EDB=EFA, (8分) AFDB. (10分),20.(2015广西南宁,23,8分)如图,在ABCD中,E,F分别是AB,DC边上的点,且AE=CF. (1)求证:ADECBF; (2)若DEB=90,求证:四边形DEBF是矩形.,证明 (1)四边形ABCD是平
45、行四边形, AD=CB,A=C. (2分) AE=CF, (3分) ADECBF. (4分) (2)证法一:ADECBF, DE=BF. (5分),四边形ABCD是平行四边形, AB=CD. AE=CF,AB-AE=CD-CF. EB=DF. (6分) 四边形DEBF是平行四边形. (7分) DEB=90, DEBF是矩形. (8分) 证法二:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD. (5分) AE=CF,AB-AE=CD-CF. EB=DF. (6分) 四边形DEBF是平行四边形. (7分) DEB=90, DEBF是矩形. (8分),21.(2014广东广州,18,9分)如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD 分别交于点E、F,求证:AOECOF.,证明 四边形ABCD为平行四边形, ABCD,OA=OC,EAO=FCO, 在AOE和COF中, AOECOF(ASA).,
