1、5.2 与圆有关的计算,中考数学 (湖南专用),A组 20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一 弧长、扇形面积的计算,1.(2017湖南湘潭,7,3分)如图,在半径为4的O中,CD是直径,AB是弦,且CDAB,垂足为点E, AOB=90,则阴影部分的面积是 ( )A.4-4 B.2-4 C.4 D.2,答案 D 因为CDAB,AOB=90,所以AOC=BOC=45,故S阴影=S扇形AOC= = =2 ,故选D.,思路分析 先将阴影部分合成一个扇形,再计算扇形的面积.,2.(2018湖南永州,16,4分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),以点O为旋转中心,将点A逆 时针旋转到
2、点B的位置,则 的长为 .,答案,思路分析 由点A(1,1),可得OA= = ,点A在第一象限的角平分线上,那么AOB=45, 再根据弧长公式计算即可.,解析 点A(1,1), OA= = ,点A在第一象限的角平分线上, 以点O为旋转中心,将点A逆时针旋转到点B的位置, AOB=45, 的长为 = . 故答案为 .,解题关键 本题考查了弧长公式:l= (弧长为l,圆心角的度数为n,圆的半径为R),也考查了 旋转的性质,求出OA= 以及AOB=45是解题的关键.,3.(2017湖南怀化,14,4分)如图,O的半径为2,点A,B在O上,AOB=90,则阴影部分的面积为 .,答案 -2,解析 AOB
3、=90,OA=OB, OAB是等腰直角三角形. OA=2, S阴影=S扇形OAB-SOAB= - 22=-2.,4.(2016湖南怀化,11,4分)已知扇形的半径为6 cm,面积为10 cm2,则该扇形的弧长等于 .,答案 cm,解析 设扇形的弧长为l cm, 扇形的半径为6 cm,面积为10 cm2, l6=10,解得l= .故答案为 cm.,评析 本题考查的是扇形面积的计算,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.,5.(2016湖南常德,14,3分)如图,ABC是O的内接正三角形,O的半径为3,则图中阴影部分 的面积是 .,答案 3,解析 ABC是O的内接正三角形,ACB=60,AOB=12
4、0,S阴影= =3.,思路分析 根据等边三角形的性质及圆周角定理可得扇形所对的圆心角度数,再根据扇形面 积公式计算即可.,解题关键 关键是利用圆周角定理求圆心角度数.,6.(2016湖南岳阳,11,4分)在半径为6 cm的圆中,120的圆心角所对的弧长为 cm.,答案 4,解析 半径为6 cm的圆中,120的圆心角所对的弧长为 =4(cm).故答案为4.,7.(2015湖南益阳,12,5分)如图,正六边形ABCDEF内接于O,O的半径为1,则 的长为 .,答案,解析 连接OA,OB, 六边形ABCDEF为正六边形, AOB=360 =60, 的长为 = .,8.(2017湖南长沙,23,9分)
5、如图,AB与O相切于点C,OA,OB分别交O于点D,E, = . (1)求证:OA=OB; (2)已知AB=4 ,OA=4,求阴影部分的面积.,解析 (1)证明:如图,连接OC,则OCAB, = ,AOC=BOC. 在AOC与BOC中, AOCBOC(ASA), OA=OB. (2)由(1)知AC=BC= AB=2 , 在RtAOC中,OC= = =2= OA,OAC=30, COE=AOC=60, S阴影=SOBC-S扇形OCE= 22 - =2 - .,思路分析 (1)连接OC,则OCAB,然后根据等弧对等角求得AOC=BOC,再判定AOC BOC,根据全等三角形的性质可得证;(2)由(1
6、)可求得AC=2 ,运用勾股定理求出OC的长,进 而求得COE=60,利用S阴影=SOBC-S扇形OCE求得结果.,考点二 圆柱、圆锥的侧面展开图,1.(2018湖南郴州,15,3分)如图,圆锥的母线长为10 cm,高为8 cm,则该圆锥的侧面展开图(扇形) 的弧长为 cm.(结果用表示),答案 12,解析 设圆锥的底面圆半径为r,则r= =6 cm,所以圆锥的侧面展开图的弧长=2r=12 cm.,2.(2017湖南郴州,14,3分)已知圆锥的母线长为5 cm,高为4 cm,则该圆锥的侧面积为 cm2(结果保留).,答案 15,解析 圆锥的高是4 cm,母线长为5 cm, 根据勾股定理得圆锥的
7、底面圆的半径为3 cm, 圆锥的侧面积=35=15 cm2.,思路分析 首先利用勾股定理求得圆锥的底面圆的半径,然后利用圆锥的侧面积=底面圆 的半径母线长,把相应数值代入即可求解.,解题关键 本题考查圆锥侧面积公式的运用,掌握公式是关键.,3.(2017湖南永州,17,4分)如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm,高为12 cm的 无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是 cm2(结果保留).,答案 65,解析 根据勾股定理可得PB= =13.做这个玩具所需纸板的面积等于展开后扇形的 面积,故面积S= 1013=65 cm2.,4.(2016湖南衡阳,17,3
8、分)若圆锥底面圆的周长为8,侧面展开图的圆心角为90,则该圆锥的母 线长为 .,答案 16,解析 圆锥底面圆的周长相当于侧面展开所得扇形的弧长,圆锥的母线长相当于侧面展开所 得扇形的半径,设圆锥的母线长为R,根据弧长公式可得 =8,所以R=16,即圆锥的母线长为 16.,5.(2015湖南常德,13,3分)一个圆锥的底面半径为1厘米,母线长为2厘米,则该圆锥的侧面积是 厘米2(结果保留).,答案 2,解析 该圆锥的侧面积是S侧= 212=2(厘米2).,B组 20142018年全国中考题组,考点一 弧长、扇形面积的计算,1.(2018四川成都,9,3分)如图,在ABCD中,B=60,C的半径为
9、3,则图中阴影部分的面积是 ( )A. B.2 C.3 D.6,答案 C 在ABCD中,B=60,C=120. C的半径为3, S阴影= =3.故选C.,2.(2017甘肃兰州,12,4分)如图,正方形ABCD内接于半径为2的O,则图中阴影部分的面积为 ( )A.+1 B.+2 C.-1 D.-2,答案 D 连接AC,OD, 则AC=4,所以正方形ABCD的边长为2 , 所以正方形ABCD的面积为8,由题意可知,O的面积为4, 根据图形的对称性,知S阴影=S扇形OAD-SOAD=-2,故选D.,思路分析 把阴影部分的面积转化成一个扇形的面积减去一个三角形的面积进行解答.,方法规律 求阴影部分的
10、面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、割补等 方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差来求解.,3.(2017山东莱芜,8,3分)如图,在RtABC中,BCA=90,BAC=30,BC=2,将RtABC绕A点顺 时针旋转90得到RtADE,则BC边扫过的面积为 ( )A. B.(2- ) C. D.,答案 D 在RtABC中,BCA=90,BAC=30,BC=2,AC=2 ,AB=4,将RtABC绕点A 顺时针旋转90得到RtADE,ABC的面积等于ADE的面积,CAB=DAE,AE=AC=2 ,AD=AB=4,CAE=DAB=90,阴影部分的面积S=S扇形BAD+SA
11、BC-S扇形CAE-SADE= +22 - - 22 =.故选D.,4.(2014四川成都,10,3分)在圆心角为120的扇形AOB中,半径OA=6 cm,则扇形AOB的面积是 ( ) A.6 cm2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.24 cm2,答案 C 扇形AOB的面积S= = =12(cm2),故选C.,5.(2017安徽,13,5分)如图,已知等边ABC的边长为6,以AB为直径的O与边AC,BC分别交于 D,E两点,则劣弧 的长为 .,答案 ,解析 连接OD,OE,因为在等边三角形ABC中,A=B=60,又OA=OB=OE=OD=3,所以 OBE,ODA都是等边三角形,所以AOD
12、=BOE=60,所以DOE=60,所以劣弧 的长为=.,思路分析 连接OD,OE,由三角形ABC是等边三角形可推出OBE,ODA都是等边三角形,从 而可求DOE的度数,再由弧长公式求解即可.,解题关键 作出辅助线OD,OE是解决本题的关键.,6.(2014贵州贵阳,23,10分)如图,PA,PB分别与O相切于点A,B,APB=60,连接AO,BO. (1) 所对的圆心角AOB= 度; (2)求证:PA=PB; (3)若OA=3,求阴影部分的面积.,解析 (1)120. (3分) (2)证明:连接OP,PA,PB分别切O于点A,B,OAP=OBP=90.OA=OB,OP=OP, RtOAPRtO
13、BP,PA=PB. (6分) (3)由(2)知RtOAPRtOBP, 则OPA=OPB= APB=30.,在RtOAP中,OA=3, AP=3 , SOPA= 33 = , (8分) S阴影=2 - =9 -3. (10分),考点二 圆柱、圆锥的侧面展开图,1.(2017四川绵阳,8,3分)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体 结构图.已知底面圆的直径AB=8 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=3 cm,则这 个陀螺的表面积是 ( )A.68 cm2 B.74 cm2 C.84 cm2 D.100 cm2,答案 C 由陀螺的立体结构图可知,陀螺的表
14、面积由底面圆面积、圆柱侧面积和圆锥侧面 积组成.底面圆的半径r=4 cm,底面圆的周长为2r=8 cm,圆锥的母线长为 =5 cm,所以 陀螺的表面积为42+86+ 85=84 cm2,故选C.,2.(2015山东威海,8,3分)若用一张直径为20 cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面,接缝忽略不 计,则所得圆锥的高为 ( ) A.5 cm B.5 cm C. cm D.10 cm,答案 A 设圆锥底面圆的半径为r cm,依题意,得 20=2r,解得r=5,则所得圆锥的高为=5 cm.故选A.,3.(2018新疆乌鲁木齐,14,4分)将半径为12,圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面,则此圆 锥
15、的底面圆的半径为 .,答案 4,解析 由弧长公式得l= =8,设底面圆的半径为r,则2r=8,解得r=4.,思路分析 先求出扇形的弧长,这个弧长就是底面圆的周长,再由圆的周长公式求出半径即可.,4.(2017辽宁鞍山,13,3分)若一个圆锥的底面圆半径为1 cm,其侧面展开图的圆心角为120,则圆 锥的母线长为 cm.,答案 3,解析 设圆锥的母线长为l cm,则 =21,解得l=3.故答案为3.,5.(2014江苏镇江,9,2分)已知圆锥的底面半径为3,母线长为8,则圆锥的侧面积等于 .,答案 24,解析 S侧面积= 238=24.,评析 圆锥侧面展开图的弧长是圆锥的底面周长,半径是圆锥的母
16、线长,属容易题.,C组 教师专用题组,考点一 弧长、扇形面积的计算,1.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于O,AB=2 ,则 的长是 ( )A. B. C.2 D. ,答案 A 连接AC、BD交于点O,四边形ABCD是正方形, BAD=ABC=BCD=CDA=90,AC、BD是直径,点O与点O重合, AOB=90,AO=BO,AB=2 ,AO=2, 的长为 =.,思路分析 由正方形的性质可得,AOB=90,又AO=BO,由勾股定理可得圆的半径,将所得到 的结果代入弧长公式即可.,方法总结 求弧长一般需要两个条件,一个是圆心角度数,一个是圆半径.常用连接半径的方 法,构造
17、等腰三角形,或加上弦心距,构造直角三角形求解.,2.(2017广西南宁,9,3分)如图,O是ABC的外接圆,BC=2,BAC=30,则劣弧 的长等于 ( )A. B. C. D.,答案 A 连接OB、OC,BAC=30, BOC=2BAC=230=60, 又OB=OC,BOC是等边三角形, OB=OC=BC=2, l = = .,3.(2017内蒙古包头,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ABC=45,以AB为直径的O交BC于 点D.若BC=4 ,则图中阴影部分的面积为 ( )A.+1 B.+2 C.2+2 D.4+1,答案 B 连接AD,OD,AB是直径,AB=AC,ADBC,BD=C
18、D,OD是ABC的中位线,易知 CAB=90,由BC=4 可得AB=AC=4,OB=2.S阴影=SOBD+S扇形OAD= 22+ 22=2+.,思路分析 先将阴影部分分割成一个三角形和一个扇形,再分别计算这两个图形的面积并求 和.,4.(2014江苏扬州,6,3分)如图,已知正方形的边长为1,若圆与正方形的四条边都相切,则阴影部 分的面积与下列各数最接近的是 ( )A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4,答案 B 阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积=12- 0.2.故选B.,5.(2018广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点
19、E,连 接BD,则阴影部分的面积为 .(结果保留),答案 ,解析 连接OE.阴影部分的面积=SBCD-(S正方形OECD-S扇形OED)= 24- =.,一题多解 如图,连接OE,交BD于点H,则SBEH=SOHD,所以阴影部分的面积=S扇形OED= 22=.,6.(2018新疆,12,5分)如图,ABC是O的内接正三角形,O的半径为2,则图中阴影部分的面 积是 .,答案 ,解析 由题意得BAC=60,BOC=120,S阴影= 22= .,7.(2018山东潍坊,17,3分)如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y= x于点B1,以 原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交
20、x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2, 以原点O为圆心,以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3;.按此作法进行下去,则 的长是 .,答案 ,解析 把x=2代入y= x可得y=2 ,则tanA1OB1= = ,A1OB1=60. 由OA1=2,得OB1=2OA1=4,故OA2=4,同理可得OA3=8,以此类推,可得OA2 019=22 019, 的长= = .,思路分析 根据题意求出直线与x轴夹角的度数,结合OA1,OA2,OA3的长度得出OA2 019的长度,即 所在扇形的半径,利用弧长公式进行计算即可.,8.(2018重庆,14,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=
21、3,AD=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于 点E,图中阴影部分的面积是 (结果保留).,答案 6-,解析 S阴影=S矩形ABCD-S扇形ADE=23- =6-.,方法总结 求不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则图形的面 积转化为规则图形的面积.,9.(2018云南昆明,6,3分)如图,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径,作扇 形ABF,则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和).,答案 -,解析 S阴影=S正六边形ABCDEF-S扇形ABF=6 12- = - .,思路分析 分别求出正六边形ABCDEF的面积和扇形ABF的面积,求
22、这两个面积的差即可得 出结果.,解后反思 在正六边形ABCDEF中可作出6个等边三角形,每个等边三角形的面积为 =,进而得到正六边形ABCDEF的面积为 .,10.(2017湖北恩施,15,3分)如图,在RtABC中,BAC=30,以直角边AB为直径作半圆交AC于 点D,以AD为边作等边ADE,延长ED交BC于点F,BC=2 ,则图中阴影部分的面积为 .(结果不取近似值),答案 3 - ,解析 如图所示,设半圆的圆心为O,连接DO,过点D作DGAB于点G,作DNCB于点N, 在RtABC中,BAC=30,ACB=60,ABC=90, ADE为等边三角形,EAD=60,EAB=60+30=90,
23、 AEBC,则ADECDF,CDF是等边三角形, 在RtABC中,BAC=30,BC=2 ,AC=4 ,AB=6,DOG=60,则AO=BO=3,故DG=DO sin 60= , 则AD=3 ,所以DC=AC-AD= , 故DN=DCsin 60= = , 则S阴影=SABC-SAOD-S扇形DOB-SDCF = 2 6- 3 - - =3 - .,11.(2016黑龙江大庆,17,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=10 ,一圆弧过点B和点C,且与 AD相切,则图中阴影部分的面积为 .,答案 75 -,12.(2015浙江温州,13,5分)已知扇形的圆心角为120,弧长为2,则它的
24、半径为 .,答案 3,解析 由弧长公式得 =2,解得r=3.,13.(2015重庆,16,4分)如图,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AB=4 .以A为圆心,AC长为 半径作弧,交AB于点D,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留),答案 8-2,解析 在RtABC中,BC=AC=ABcos 45=4,所以阴影部分的面积为 44- =8-2.,14.(2015贵州遵义,18,4分)如图,在圆心角为90的扇形OAB中,半径OA=2 cm,C为 的中 点,D、E分别是OA、OB的中点,则图中阴影部分的面积为 cm2.,答案 - +,解析 连接OC,作CFAO于点F,记AD、DC与 围成的图形
25、的面积为S.C为 的中点,D、E分别为OA、OB的中点, AOC= AOB=45,OD=OE= OA=1 cm. CF=OF= cm. S=S扇形AOC-SCOD= - ODCF= - 1 = cm2.S阴影=S扇形AOB-S-SDOE=- - 11= cm2.,15.(2014重庆,16,4分)如图,OAB中,OA=OB=4,A=30,AB与O相切于点C,则图中阴影部分 的面积为 .(结果保留),答案 4 - ,解析 设OA,OB分别与O交于D,E两点, AB与O相切于点C,OCAB. OA=OB=4,A=30,B=A=30,OC=2. AOB=120,AB=4 . 则题图中阴影部分的面积=
26、SAOB-S扇形ODE= 4 2- =4 - .,16.(2017湖南张家界,21)在等腰ABC中,AC=BC,以BC为直径的O分别与AB,AC相交于点D, E,过点D作DFAC,垂足为点F. (1)求证:DF是O的切线; (2)分别延长CB,FD,相交于点G,A=60,O的半径为6,求阴影部分的面积.,解析 (1)证明:连接OD,如图所示.AC=BC,OB=OD, ABC=A,ABC=ODB, A=ODB,ODAC, DFAC,DFOD, OD是O的半径, DF是O的切线. (2)AC=BC,A=60,ABC是等边三角形,ABC=60, OD=OB,OBD是等边三角形,BOD=60, DFO
27、D,ODG=90,G=30, OG=2OD=26=12,DG= OD=6 , 阴影部分的面积=ODG面积-扇形OBD的面积= 66 - =18 -6.,思路分析 (1)连接OD,由等腰三角形的性质证出A=ODB,得出ODAC,证出DFOD,即 可得出结论; (2)证明OBD是等边三角形,由等边三角形的性质得出BOD=60,求出G=30,由直角三角 形的性质得出OG=2OD=26=12,由勾股定理得出DG的长,阴影部分的面积=ODG的面积-扇 形OBD的面积,即可得出答案.,17.(2017山东潍坊,22,8分)如图,AB为半圆O的直径,AC是O的一条弦,D为 的中点,作DE AC,交AB的延长
28、线于点F,连接DA. (1)求证:EF为半圆O的切线; (2)若DA=DF=6 ,求阴影区域的面积.(结果保留根号和),解析 (1)证明:连接OD, D为 的中点,CAD=BAD, OA=OD,BAD=ADO, CAD=ADO. (2分) DEAC,E=90, CAD+EDA=90, ADO+EDA=90, 即ODEF, (3分) 又OD为半圆O的半径, EF为半圆O的切线. (4分) (2)连接OC,CD.,DA=DF,BAD=F, F=BAD=CAD, 又BAD+CAD+F=90, F=30,BAC=60, (5分) OC=OA,AOC为等边三角形, AOC=60,COB=120. ODE
29、F,F=30,DOF=60. 在RtODF中,DF=6 , OD=DFtan 30=6. (6分),在RtAED中,DA=6 ,CAD=30, DE=DAsin 30=3 ,EA=DAcos 30=9. (7分) COD=180-AOC-DOF=60,OC=OD, COD为等边三角形,OCD=60, CDAB,SACD=SCOD, S阴影=SAED-S扇形COD= 93 - 62= -6. (8分),思路分析 (1)直接利用切线的判定方法证明即可;(2)易得SACD=SCOD,再利用S阴影=SAED-S扇形COD 求出答案.,18.(2017贵州贵阳,22,10分)如图,C,D是半圆O上的三等
30、分点,直径AB=4,连接AD,AC,DEAB,垂 足为E,DE交AC于点F. (1)求AFE的度数; (2)求阴影部分的面积.(结果保留和根号).,解析 (1)如图,连接OD,OC,C,D是半圆O的三等分点, = = , AOD=DOC=COB=60,CAB=30, DEAB,AEF=90,AFE=90-30=60. (5分) (2)由(1)可知,AOD=60,OA=OD,AB=4, AOD为等边三角形,OA=2,DEAO,DE为AOD的高,且DE= , S阴影=S扇形AOD-SAOD= - 2 = - . (10分),思路分析 (1)先根据C、D为半圆的三等分点,求出CAB=30,进而求出结
31、果;(2)根据已知条 件得出AOD为等边三角形,进而求出扇形AOD和等边三角形AOD的面积即可求出阴影部分 的面积.,19.(2015四川绵阳,22,11分)如图,O是ABC的内心,BO的延长线和ABC的外接圆相交于点D, 连接DC、DA、OA、OC,四边形OADC为平行四边形. (1)求证:BOCCDA; (2)若AB=2,求阴影部分的面积.,解析 (1)证明:O为ABC的内心,2=3,5=6,1=2,1=3, (3分) 四边形OADC为平行四边形,ADCO,4=5,4=6, BOCCDA(AAS). (6分) (2)由(1)得BC=AC,3=4=6,ABC=ACB,AB=AC, ABC为等
32、边三角形, (8分) ABC的内心O也是外心,OA=OB=OC.,设E为BD与AC的交点,则BE垂直平分AC.在RtOCE中,CE= AC= AB=1,OCE=30, OA=OB=OC= ,易知AOB=120, S阴影=S扇形AOB-SAOB= - 2 = . (11分),20.(2015甘肃兰州,27,10分)如图,在RtABC中,C=90,BAC的平分线AD交BC边于点D,以 AB上一点O为圆心作O,使O经过点A和点D. (1)判断直线BC与O的位置关系,并说明理由; (2)若AC=3,B=30. 求O的半径; 设O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积
33、.(结果 保留根号和),解析 (1)相切.理由如下: 如图,连接OD,AD平分BAC,1=2, OA=OD,1=3,2=3,ODAC. 又C=90,ODBC, BC与O相切.(2)AC=3,B=30,AB=6. 设OA=OD=r,OB=2r. 2r+r=6,解得r=2,即O的半径是2. 由得OD=2,OB=4,BD=2 .,S阴影= 2 2- =2 - .,考点二 圆柱、圆锥的侧面展开图,1.(2017宁夏,8,3分)圆锥的底面半径r=3,高h=4,则圆锥的侧面积是 ( )A.12 B.15 C.24 D.30,答案 B 由勾股定理得:母线l= = =5, S侧= 2rl=rl=35=15.故
34、选B.,思路分析 先求圆锥的母线,再根据公式求圆锥的侧面积.,解题关键 本题考查了圆锥的计算,熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键.,2.(2017贵州遵义,8,3分)已知圆锥的底面积为9 cm2,母线长为6 cm,则圆锥的侧面积是 ( ) A.18 cm2 B.27 cm2 C.18 cm2 D.27 cm2,答案 A 设圆锥的底面半径为r,则r2=9,r=3 cm,圆锥的底面周长为2r=6 cm,圆锥 的侧面积为 66=18 cm2.,3.(2017云南,13,3分)正如我们小学学过的圆锥体积公式V= r2h(表示圆周率,r表示圆锥的底 面半径,h表示圆锥的高)一样,许多几何量的计算都要用
35、到.祖冲之是世界上第一个把计算到 小数点后第7位的中国古代科学家,创造了当时世界上的最高水平,差不多过了1 000年,才有人 把计算得更精确.在辉煌成就的背后,我们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明,仅仅就 计算来讲,他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算,包括开方在内.即使今天我们用 纸笔来算,也绝不是一件轻松的事情,何况那时候没有现在的纸笔,数学计算不是用现在的阿拉 伯数字,而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的,这需要怎样的细心和毅力啊!他这种严谨治学的 态度,不怕复杂计算的毅力,值得我们学习. 下面我们就来通过计算解决问题:已知圆锥的侧面展开图是个半圆,若该圆锥的体积等于9
36、,则这个圆锥的高等于 ( ) A.5 B.5 C.3 D.3,答案 D 设圆锥的母线长为R,底面半径为r,高为h,圆锥的侧面展开图是个半圆, = 2r,R=2r,由勾股定理可得h= r,圆锥的体积等于9 , r2h=9 ,解得r=3,h=3,故选D.,4.(2017浙江杭州,8,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,AB=2,BC=1.把ABC分别绕直线AB和 BC旋转一周,所得几何体的底面圆的周长分别记作l1,l2,侧面积分别记作S1,S2,则 ( )A.l1l2=12,S1S2=12 B.l1l2=14,S1S2=12 C.l1l2=12,S1S2=14 D.l1l2=14,S1S2=
37、14,答案 A 由题意可得l1l2=r1r2=12,S1S2=r1r2=12,此题选A.,思路分析 根据圆的周长公式(C=2r)和圆锥的侧面积公式(S=rl)可知l1l2=r1r2,S1S2=r 1r2,进而得到比值.,5.(2016江苏无锡,7,3分)已知圆锥的底面半径为4 cm,母线长为6 cm,则它的侧面展开图的面积 等于 ( ) A.24 cm2 B.48 cm2 C.24 cm2 D.12 cm2,答案 C 圆锥的底面半径为4 cm,则底面周长=8 cm,故侧面展开图的面积= 86=24(cm 2).故选C.,思路分析 根据圆锥的侧面积= 底面圆的周长母线长即可求解.,6.(2015
38、浙江宁波,9,4分)如图,用一个半径为30 cm,面积为300 cm2的扇形铁皮,制作一个无底 的圆锥(不计损耗),则圆锥的底面半径r为 ( )A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.5 cm,答案 B 扇形的半径为30 cm,面积为300 cm2, 扇形的圆心角的度数为 =120. 扇形的弧长为 =20(cm). 圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长, 2r=20,r=10 cm. 故选B.,7.(2014浙江绍兴,7,4分)如图,圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为90的扇形,则该圆锥的底 面周长为 ( )A. B. C. D.,答案 B 圆锥底面周长等于扇形的弧长,底面周长=
39、 23= ,故选B.,8.(2018黑龙江齐齐哈尔,12,3分)已知圆锥的底面半径为20,侧面积为400,则这个圆锥的母线 长为 .,答案 20,解析 侧面展开图的弧长就是圆锥底面的周长,即40,设圆锥的母线长为l,则 l40=400,l = =20. (注意:该题数据不严谨,母线长要大于底面半径才行),9.(2015湖南郴州,10,3分)已知圆锥的底面半径是1 cm,母线长为3 cm,则该圆锥的侧面积为 cm2.,答案 3,解析 该圆锥的侧面积为 213=3 cm2.,10.(2015内蒙古呼和浩特,14,3分)一个圆锥的侧面积为8,母线长为4,则这个圆锥的全面积为 .,答案 12,解析 设
40、圆锥的底面半径为r,根据题意得 2r4=8,解得r=2,则圆锥的底面积是4,故其全 面积是12.,11.(2014江苏南京,14,2分)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若圆锥的底 面圆的半径r=2 cm,扇形的圆心角=120,则该圆锥的母线长l为 cm.,答案 6,解析 由题意得22= l,故l=6 cm.,A组 20162018年模拟基础题组 考点一 弧长、扇形面积的计算,三年模拟,1.(2018湖南郴州模拟,11)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=3,将RtABC绕点A逆时针 旋转30后得到ADE,则图中阴影部分的面积为 ( )A. B. C. D.
41、,答案 D 在RtABC中,AC=4,BC=3,AB=AD= =5,由题意知EAC=DAB=30, S阴影=S扇形ADB+SABC-SAED=S扇形ABD= = ,故选D.,2.(2018湖南衡阳模拟,17)圆心角为120,半径为6 cm的扇形的弧长是 cm.,答案 4,解析 由题意得n=120,R=6 cm, 故扇形弧长l= =4 cm.,3.(2018湖南永州模拟,18)如图,在矩形ABCD中,CD=2,以点C为圆心,CD长为半径画弧,交AB边 于点E,且E为AB的中点,则图中阴影部分的面积为 .,答案 -,解析 由题意可知AB=CD=2,E为AB的中点,EB= AB=1,ECB=30,D
42、CE=60, 扇形CDE的面积为 = ,在RtBCE中,由勾股定理可知BC= ,AD= ,梯形EADC 的面积为 (AE+CD)AD= = ,阴影部分的面积为 - .,4.(2018湖南张家界模拟,17)如图,在扇形AOB中,AC为弦,AOB=130,CAO=60,OA=6,则 的长为 .,答案 ,解析 连接OC,如图,OA=OC,OCA=CAO=60,AOC=60,BOC=130-60=70 , 的长= = .故答案为 .,考点二 圆柱、圆锥的侧面展开图,1.(2016湖南永州二模,16)在RtABC中,C=90,AC=12,BC=5,将ABC绕边AC所在直线旋转 一周得到圆锥,则该圆锥的侧
43、面积是 ( ) A.25 B.65 C.90 D.130,答案 B 在RtABC中,C=90,AC=12,BC=5, AB= =13,母线长l=13, 圆锥的侧面积S=lr=135=65.故选B.,2.(2016湖南株洲一模,7)如图,圆锥的母线长为5 cm,高线长为4 cm,则圆锥的底面积是 ( )A.3 cm2 B.9 cm2 C.16 cm2 D.25 cm2,答案 B 根据勾股定理求得圆锥的底面圆的半径=3 cm,所以圆锥的底面积=32=9(cm2).故选B.,3.(2018湖南长沙四模,15)若一个圆锥的侧面展开图是半径为12 cm的半圆,则这个圆锥的底面 圆半径是 cm.,答案 6
44、,解析 设该圆锥的底面圆半径为r cm,根据题意得2r=12,解得r=6.故答案为6.,4.(2017湖南长沙二模,16)打陀螺是一项古老的中国民间娱乐活动,在云南的少数民族地区开 展广泛,特别是在思茅地区有着悠久的历史传统,在思茅地区又以景谷县陀螺运动开展得最好, 有着“陀螺之乡”的称号.已知木质陀螺的外观为圆锥形,测得该圆锥的母线长为6 cm,底面圆 的半径为3 cm,则该圆锥的全面积为 cm2.,答案 27,解析 这个圆锥的全面积=32+ 236=27(cm2).,5.(2016湖南湘潭四模,13)用一个圆心角为90、半径为32 cm的扇形作为一个圆锥的侧面(接 缝处不重叠),则这个圆锥
45、的底面圆的半径为 cm.,答案 8,解析 =16 cm,圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形弧长,圆锥的底面圆周 长是16 cm, 设圆锥的底面圆的半径是r cm,则2r=16,解得r=8.,一、选择题(每小题3分,共6分),B组 20162018年模拟提升题组 (时间:30分钟 分值:40分),1.(2018湖南岳阳模拟,10)如图,一个半径为1的O1经过一个半径为 的O的圆心,则图中阴 影部分的面积为 ( )A.1 B. C. D.,答案 A 如图,O的半径为 ,O1的半径为1,点O在O1上,连接OA,OB,OO1,AB,OA=,O1A=O1O=1,( )2=12+12,OA2=O1A2+O1O2,OO1A为直角三角形,AOO1=45,同理可 得BOO1=45,AOB=90,AB为O1的直径,S阴影部分=S半圆AB-S弓形AB=S半圆AB-(S扇形OAB-SOAB)=S半 圆AB-S扇形OAB+SOAB= 12- + =1.故选A.,2.(2016湖南长沙模拟,18)如图,AB为O的切线,切点为B,连接AO,AO与O交于点C,BD为O 的直径,连接CD.若A=30,O的半径为2,则图中阴影部分的面积为 ( )A. - B. -2 C.- D. -,
