1、3.3 反比例函数,中考数学 (湖南专用),A组 20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一 反比例函数的图象与性质,1.(2018湖南衡阳,11,3分)对于反比例函数y=- ,下列说法不正确的是 ( ) A.图象分布在第二、四象限 B.当x0时,y随x的增大而增大 C.图象经过点(1,-2) D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1x2,则y1y2,答案 D A.k=-20时,y随x的增大而增大,故本选项正确; C.- =-2,点(1,-2)在函数y=- 的图象上,故本选项正确; D.点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=- 的图象上,若x1y2,故
2、本选项错误.,2.(2017湖南郴州,6,3分)已知反比例函数y= 的图象过点A(1,-2),则k的值为 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1,答案 C 反比例函数y= 的图象过点A(1,-2), -2= ,解得k=-2.故选C.,3.(2017湖南怀化,10,3分)如图,A,B两点在反比例函数y= 的图象上,C,D两点在反比例函数y=的图象上,ACy轴于点E,BDy轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3,则k1-k2的值是( )A.6 B.4 C.3 D.2,答案 D 连接OA、OC、OB、OD,如图:由反比例函数的性质可知SAOE=SBOF= |k1|= k1, SCOE=SDOF=
3、 |k2|=- k2, SAOC=SAOE+SCOE, ACOE= 2OE=OE= (k1-k2), SBOD=SDOF+SBOF, BDOF= 1(EF-OE)= (3-OE)= - OE= (k1-k2), 由解得OE=1,则k1-k2=2.,故选D.,思路分析 由反比例函数的性质可知SAOE=SBOF= k1,SCOE=SDOF=- k2,结合SAOC=SAOE+SCOE 和SBOD=SDOF+SBOF可求得k1-k2的值.,4.(2014湖南长沙,10,3分)函数y= 与y=ax2(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ),答案 D 当a0时,y= 的图象位于第一、三象限,y=a
4、x2的图象开口向上,位于第一、二象限 且经过原点;当a0时,y= 的图象位于第二、四象限,y=ax2的图象开口向下,位于第三、四象限 且经过原点.故选D.,5.(2017湖南长沙,18,3分)如图,点M是函数y= x与y= 的图象在第一象限内的交点,OM=4,则k 的值为 .,解析 过点M作MNx轴于点N,由已知设M的坐标为(x, x)(x0),则ON=x,MN= x, 在RtOMN中,ON2+MN2=OM2, 即x2+( x)2=42, 解得x=2(舍负), 故M(2,2 ),将M的坐标代入y= 中,可得k=4 .,答案 4,6.(2016湖南娄底,11,3分)已知反比例函数y= 的图象经过
5、点P(1,-2),则k= .,答案 -2,解析 把x=1,y=-2代入y= 得,k=1(-2)=-2.,7.(2016湖南益阳,11,5分)我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点.反比例 函数y=- 的图象上有一些整点,请写出其中一个整点的坐标: .,答案 (-3,1)(答案不唯一),解析 该函数图象上的整点坐标为(1,-3),(-3,1),(-1,3),(3,-1).,8.(2015湖南益阳,10,5分)已知y是x的反比例函数,当x0时,y随x的增大而减小.请写出一个满足 以上条件的函数表达式: .,答案 y= (答案不唯一),解析 只要使比例系数大于0即可,如y= ,答案不唯
6、一.,评析 本题主要考查了反比例函数y= (k0)的性质: k0时,函数图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小; k0时,函数图象在第二、四象限,在每个象限内y随x的增大而增大.,考点二 反比例函数的应用,1.(2016湖南株洲,9,3分)已知一次函数y1=ax+b与反比例函数y2= 的图象如图所示,当y15 C.25,答案 D 根据题意得:当y15.故选D.,2.(2016湖南岳阳,15,4分)如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k0)和反比例函数y= (x0)的 图象交于A、B两点,利用函数图象直接写出不等式 kx+b的解集是 .,答案 1x4,解析 由图象可知A(1,
7、4),B(4,1), 不等式 kx+b的解集为1x4,故答案为1x4.,评析 本题主要考查反比例函数、一次函数的图象以及不等式的综合应用.能读懂图象,借助 数形结合、转化等数学思想,将有关知识联系起来是解答此类题的关键.,3.(2017湖南湘潭,24,9分)已知反比例函数y= 的图象过点A(3,1). (1)求反比例函数的解析式; (2)若一次函数y=ax+6(a0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点,求一次函数的解析式.,解析 (1)反比例函数y= 的图象过点A(3,1), k=3, 反比例函数的解析式为y= . (2)由 得ax2+6x-3=0(a0), 一次函数y=ax+6(a0)的图
8、象与反比例函数的图象只有一个交点, =36+12a=0,a=-3,一次函数的解析式为y=-3x+6.,思路分析 (1)把A(3,1)代入y= 求出k值即可; (2)由 得ax2+6x-3=0(a0),根据题意得到=36+12a=0,解方程即可.,4.(2016湖南郴州,19,6分)如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2= (x0)的图象交于点M, 作MNx轴,N为垂足,且ON=1. (1)在第一象限内,当x取何值时,y1y2?(根据图象直接写出结果) (2)求反比例函数的表达式.,评析 此题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题,待定系数法求函数解析式以及反 比例函数的图象与性质.
9、,解析 (1)x1. (3分) (2)ON=1,MNx轴,M点的横坐标为1, 把x=1代入y1=x+1,得y1=1+1=2. M点的坐标为(1,2). (4分) 把M点的坐标(1,2)代入y2= ,得k=2. (5分) 反比例函数的表达式为y2= . (6分),5.(2015湖南郴州,19,6分)如图,已知点A(1,2)是直线y1=kx(k0)与反比例函数y2= (m0)的图 象的一个交点. (1)求直线及反比例函数的表达式; (2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,y1y2.,解析 (1)把点A(1,2)代入y1=kx,得k=2, (1分) 所以直线的表达式为y1=2x. (2分
10、) 把点A(1,2)代入y2= ,得m=2, (3分) 所以反比例函数的表达式为y2= . (4分) (2)0x1. (6分),6.(2015湖南衡阳,25,8分)某药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物试验后,首次用于临床 人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(小时)之间函数关系如图 所示(当4x10时,y与x成反比例函数关系). (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式; (2)求血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时.,解析 (1)上升阶段:设y与x之间的函数关系式为y=k1x, 依题意得8=4k1,k1=2,y
11、=2x(0x4). 下降阶段:设y与x之间的函数关系式为y= , 依题意得8= ,k2=32,y= (4x10). (2)如图,过(0,4)点作x轴的平行线交图象于A、B两点. 由2x=4得x=2,A(2,4), 由 =4得x=8,B(8,4), 8-2=6(小时), 血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时.,B组 20142018年全国中考题组,考点一 反比例函数的图象与性质,1.(2017河北,15,2分)如图,若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域内(边界除外)整点(点的横、纵 坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y= (x0)的图象是 ( ),答案 D 对于y=-x2+
12、3,当y=0时,x= ;当x=1时,y=2;当x=0时,y=3,所以抛物线y=-x2+3与x轴 围成封闭区域内(边界除外)的整点(点的横、纵坐标都是整数)为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共有4 个,k=4,反比例函数y= 的图象经过点(4,1),故选D.,2.(2016河南,5,3分)如图,过反比例函数y= (x0)的图象上一点A作ABx轴于点B,连接AO,若S AOB=2,则k的值为 ( )A.2 B.3 C.4 D.5,答案 C 由题意得k0,SAOB= k=2,故k=4.故选C.,3.(2015天津,9,3分)已知反比例函数y= ,当16,答案 C 由反比例函数的性质
13、可得,当1x3时,y随x的增大而减小,故2y6.故选C.,4.(2018黑龙江齐齐哈尔,11,3分)已知反比例函数y= 的图象在第一、三象限内,则k的值可 以是 .(写出满足条件的一个k的值即可),答案 1(答案不唯一,k2即可),解析 因为反比例函数的图象位于第一、三象限,所以2-k0,所以k2,所以写一个小于2的实 数即可,答案不唯一.,5.(2015甘肃兰州,19,4分)如图,点P、Q是反比例函数y= 图象上的两点,PAy轴于点A,QNx 轴于点N,作PMx轴于点M,QBy轴于点B,连接PB、QM,ABP的面积记为S1,QMN的面积 记为S2,则S1 S2.(填“”或“”或“=”),答案
14、 =,解析 由反比例函数的性质得,S矩形APMO=S矩形BONQ.同时减去公共部分后,所得两个矩形的面积仍 相等,即2SABP=2SMNQ,故S1=S2.,考点二 反比例函数的应用,1.(2017福建,16,4分)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y= 的图象上,且点A的横坐标 是2,则矩形ABCD的面积为 .,答案,解析 点A在反比例函数y= 的图象上,且点A的横坐标是2,y= ,即点A的坐标为 . 如图,双曲线y= 和矩形ABCD都是轴对称图形和中心对称图形,点A、B关于直线y=x对 称,则B , 同理,C ,D . AB= = .AD= = . S矩形ABCD=ABAD= .,思路
15、分析 本题主要结合双曲线和矩形的对称性求出B,C,D的坐标,再用两点之间的距离公式 求出矩形的长和宽,即可求矩形的面积.,2.(2016陕西,13,4分)已知一次函数y=2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点.若这个一次函数 的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C,且AB=2BC,则这个反比例函数的表达式 为 .,答案 y=,解析 易知A(-2,0),B(0,4),所以OA=2,OB=4.如图,作CDx轴交x轴于点D,因为AB=2BC,所以 OD= OA=1,CD= OB=6,所以C(1,6),设反比例函数的表达式为y= (k0),则k=16=6,故反比 例函数的表达式为y= .,
16、3.(2018北京,23,6分)在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y= x +b与图象G交于点B,与y轴交于点C. (1)求k的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的 区域(不含边界)为W. 当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围.,解析 (1)由函数y= (x0)的图象过点A(4,1),得k=14=4. (2)整点个数为3.,若b0,当直线过点(1,2)时,b= , 当直线过点(1,3)时,b= , b ; 若b0,当直线过点(
17、4,0)时,b=-1,如图,当直线过点(5,0)时,b=- , - b-1. 综上,- b-1或 b .,思路分析 本题的第(2)问需要结合题意画图理解,寻找图象中的临界点.,解题关键 解决本题的关键是在寻找区域内除了x轴上整点的临界整点时,要注意区域是不包 含边界的.,4.(2017四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y= x的图象与反比 例函数y= 的图象交于A(a,-2),B两点. (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标; (2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若 POC的面积为3,求点P的坐标.,解
18、析 (1)A(a,-2)在y= x的图象上, a=-2a=-4,A(-4,-2), A(-4,-2)在y= 的图象上, k=-4(-2)=8, 反比例函数的表达式为y= , 联立 x2=16x=4,B(4,2). (2)设P ,则C ,可得PC= , POC的PC边上的高为m, 则SPOC= m =3, m2=28或4,m=2 或2,P 或P(2,4).,思路分析 (1)要求反比例函数的表达式,需要求出A的坐标;B点是两函数图象的交点,所以联 立解析式即可求出. (2)POC的一边平行于y轴,所以以PC为底求三角形的面积,由于不能确定P点和C点的位置, 所以表示PC长度的时候需要加上绝对值,然
19、后利用POC的面积为3,即可得出P点的坐标.,5.(2016宁夏,24,8分)如图,RtOAB的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,ABO=90,AOB=30, OB=2 .反比例函数y= (x0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D. (1)求反比例函数的关系式; (2)连接CD,求四边形CDBO的面积.,解析 (1)过点C作CMOB于M,点C为OA的中点,ABO=90,点M为OB的中点, OB=2 ,OM= , 在RtOMC中,COM=30, CM=OMtan 30= =1,C点的坐标为( ,1), 把C( ,1)代入y= 中,得k= , 反比例函数的关系式为y= (x0). (4分) (2)
20、由(1)知,CM是ABO的中位线,CM=1,AB=2,点D在AB上,点D的横坐标为2 , 把x=2 代入y= ,得y= ,AD= , (6分) S四边形CDBO=SABO-SCAD= OBAB- AD(OB-OM) = 2 2- = . (8分),评析 本题是反比例函数与直角三角形的综合题,考查直角三角形的性质、待定系数法求反 比例函数的解析式等,属中档题.,6.(2016重庆,22,10分)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a0)的图象与反比例函数y= (k 0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点,与y轴交于C点.过点A作AHy轴,垂足为H,OH= 3,tanAOH= ,点B的坐标
21、为(m,-2). (1)求AHO的周长; (2)求反比例函数和一次函数的解析式.,解析 (1)AHy轴于H,AHO=90. tanAOH= = ,OH=3,AH=4. (2分) 在RtAHO中,OA= = =5. (4分) AHO的周长为3+4+5=12. (5分) (2)由(1)知,点A的坐标为(-4,3), 点A在反比例函数y= (k0)的图象上, 3= ,k=-12. 反比例函数的解析式为y=- . (7分) 点B(m,-2)在反比例函数y=- 的图象上, - =-2,m=6.点B的坐标为(6,-2). (8分) 点A(-4,3),B(6,-2)在一次函数y=ax+b(a0)的图象上,解
22、这个方程组,得 一次函数的解析式为y=- x+1. (10分),C组 教师专用题组,考点一 反比例函数的图象与性质,1.(2018辽宁沈阳,9,2分)点A(-3,2)在反比例函数y= (k0)的图象上,则k的值是 ( ) A.-6 B.- C.-1 D.6,答案 A 把 代入y= ,得2= ,k=-6.,2.(2014内蒙古呼和浩特,10,3分)已知函数y= 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a,c), 点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2,判断正确 的是 ( ) A.x1+x21,x1x20 B.x1+x20 C.00 D.x
23、1+x2与x1x2的符号都不确定,答案 C 点A(a,c)在第一象限的一支曲线上, a0,c0. 点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上, b0,即c-1, c0,x1x2= 0. 点A、B都在y= 的图象上, x1+x2=- = . c0,0 1, 即0x1+x21,故选C.,评析 本题考查一元二次方程根与系数的关系,属难题.,3.(2014湖南益阳,6,3分)正比例函数y=6x的图象与反比例函数y= 的图象的交点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第一、三象限,答案 D 解方程组 得 或 所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y= 的图象的交点坐标为(1,6)
24、,(-1,-6).故选D.,4.(2014甘肃兰州,9,4分)若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限,则k的取值可能是 ( ) A.0 B.2 C.3 D.4,答案 A 反比例函数y= 的图象位于第二、四象限,k-10,即k1.故选A.,评析 本题考查了反比例函数图象的性质,对于反比例函数y= (k0),当k0时,反比例函数图 象在第一、三象限内;当k0时,反比例函数图象在第二、四象限内,属容易题.,5.(2014广西南宁,12,3分)已知点A在双曲线y=- 上,点B在直线y=x-4上,且A,B两点关于y轴对称, 设点A的坐标为(m,n),则 + 的值是 ( ) A.-10 B.-8 C.6
25、 D.4,答案 A 因为点A(m,n)在双曲线y=- 上,所以mn=-2;由于A,B关于y轴对称,所以点B的坐标为 (-m,n),因为点B在直线y=x-4上,所以-m-4=n,即m+n=-4. + = = =- 10,故选A.,评析 本题主要考查点的坐标、解析式与函数图象之间的关系,关于y轴对称的点的坐标特征 和利用整体代入的思想求值的综合运用,解题关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征, 得到m、n之间的关系,属较难题.,6.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图象有一个交点A(2,m),ABx 轴于点B.平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直
26、线l对应的函数表达式是 .,答案 y= x-3,解析 将点A的坐标代入y= ,可得m=3,将A(2,3)代入y=kx,可得k= ,因为ABx轴,所以点B(2, 0),由平移可得直线l对应的函数表达式为y= (x-2)= x-3.,思路分析 先把点A的坐标代入y= 得m的值,然后求k的值,由ABx轴得点B的坐标,从而由平 移及直线l过点B得直线l对应的函数表达式.,7.(2017内蒙古包头,19,3分)如图,一次函数y=x-1的图象与反比例函数y= 的图象在第一象限相 交于点A,与x轴相交于点B,点C在y轴上.若AC=BC,则点C的坐标为 .,解析 过点A向y轴引垂线,垂足为D.由 解得 或 A
27、在第一象限,A(2,1). 在y=x-1中,令y=0,得x=1.B(1,0). 在RtOBC中,CB2=OC2+OB2,在RtCAD中,CA2=CD2+AD2, 设C(0,m),CB=CA, m2+12=(m-1)2+22,解得m=2. C(0,2).,答案 (0,2),8.(2017四川成都,24,4分)在平面直角坐标系xOy中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们 把点P 称为点P的“倒影点”.直线y=-x+1上有两点A,B,它们的倒影点A,B均在反比例 函数y= 的图象上.若AB=2 ,则k= .,答案 -,解析 因为点A在直线y=-x+1上,所以设A(m,-m+1),由AB=2
28、 可知B点可以为B1(m-2,-m+3)或B2 (m+2,-m-1),则A ,B1 ,B2 ,当A,B1在y= 的图象上时, = ,m= ,经检验,m= 是分式方程的解,则k=- .当A,B2在y= 的图象上时,同 理可得k=- ,所以k=- .,9.(2017江苏南京,16,2分)函数y1=x与y2= 的图象如图所示,下列关于函数y=y1+y2的结论:函数 的图象关于原点中心对称;当x0时,函数的图象最低点的坐 标是(2,4).其中所有正确结论的序号是 .,解析 y=y1+y2,y=x+ . 若点(a,b)在函数y=x+ 的图象上, 则b=a+ . 当x=-a时,y=-a- =- =-b.
29、点(-a,-b)在函数y=x+ 的图象上. 函数y=x+ 的图象关于原点中心对称,故正确. 当00时,y=x+ = +2 ,答案 ,= +4, 当 = ,即x=2时,y取得最小值,ymin=4. 函数的图象最低点的坐标是(2,4).故正确.,解后反思 (1)函数图象关于某点中心对称,其实质是图象上的点关于某点中心对称,所以判定 函数图象关于某点中心对称时,只需在图象上任取一点,证明该点关于对称中心对称的点也在 该函数的图象上即可; (2)函数图象的最低点就是函数取得最小值的点,将问题转化为求函数最值即可.,10.(2017河南,13,3分)已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=- 的
30、图象上,则m与n的大小关系为.,答案 mn,解析 解法一:把点A(1,m),B(2,n)分别代入y=- ,可得m=-2,n=-1,所以mn. 解法二:k=-20,双曲线位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,012,m n.,11.(2015陕西,13,3分)如图,在平面直角坐标系中,过点M(-3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例 函数y= 的图象交于A、B两点,则四边形MAOB的面积为 .,解析 如图,设MA与x轴交于点C,MB与y轴交于点D.由题意可知点A的坐标为 ,点B的 坐标为(2,2),则点C的坐标为(-3,0),点D的坐标为(0,2).S四边形MAOB=S矩形MCOD
31、+SACO+SBDO =32+ 3 + 22=6+2+2=10.,答案 10,12.(2015吉林长春,12,3分)如图,在平面直角坐标系中,点P在函数y= (x0)的图象上,过点P分 别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点A、B.取线段OB的中点C,连接PC并延长交x轴于点D,则 APD的面积为 .,解析 点P在函数y= (x0)的图象上,S矩形OAPB=6. 点C是OB的中点,BC=OC. PBC=DOC,BCP=OCD, CODCBP. SAPD=S矩形OAPB=6.,答案 6,评析 本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义,全等三角形的应用以及对中点的认识. 本题中的点P是不确定的,但是由
32、点C为BO的中点,可以借助全等三角形的知识将要求的面积 转化为易知的矩形面积.本题属中档题.,13.(2016湖南邵阳,14,3分)已知反比例函数y= (k0)的图象如图所示,则k的值可能是 .,答案 -1(填写负数即可),解析 根据反比例函数的图象及性质可知,图象在二、四象限时,k0.,14.(2014湖南常德,11,3分)下列关于反比例函数y= 的三个结论:它的图象经过点(7,3);它 的图象在每一个象限内,y随x的增大而减小;它的图象在第二、四象限内.其中正确的是 .,答案 ,解析 易知点(7,3)在反比例函数y= 的图象上,故正确;k=210,此反比例函数的图象 在第一、三象限,且在每
33、一个象限内,y随x的增大而减小,故正确,错误.,15.(2018广西南宁,18,3分)如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴上,且关于y轴对称,反比例函数y= (x0)的图象经过点C,反比例函数y= (x0)的图象分别与AD,CD交于点E,F.若SBEF=7,k1+3k2= 0,则k1等于 .,答案 9,解析 设点B的坐标为(a,0)(a0),则点A的坐标为(-a,0), k1+3k2=0,k1=-3k2, 根据题意得C ,E ,D ,F , S矩形ABCD=2a =2k1, SDEF= = =- k2, SBCF= = = k1, SABE= = =-k2,把k2=- k1代入上式,得到 k1
34、+ =7, 解得k1=9.,思路分析 设点B的坐标为(a,0)(a0),利用对称性可知点A的坐标为(-a,0),用a,k1,k2分别表示出 C,D,E,F的坐标,从而表示出DEF,ABE,BCF的面积,由S矩形ABCD-SDEF-SBCF-SABE=SBEF及k1+ 3k2=0即可求解.,疑难突破 解决此类问题的难点在于大胆设未知数,根据反比例函数解析式和矩形的几何性 质来巧妙表示相关坐标、线段和面积,再建立关于k1的等式,思路不难但需要一定的计算能力.,SBEF=7, 2k1+ k2- k1+k2=7, 即 k1+ k2=7,16.(2018贵州贵阳,12,4分)如图,过x轴上任意一点P作y
35、轴的平行线,分别与反比例函数y= (x 0),y=- (x0)的图象交于A点和B点,若C为y轴上任意一点,连接AC,BC,则ABC的面积为 .,解析 解法一:设点P(m,0),可得点A ,B , AB= + = , SABC= m = . 解法二:如图,连接OA,OB, ABy轴, SABC=SABO=SAPO+SBPO= + = .解法三:特殊点法,当点C在原点时,SABC=SABO=SAPO+SBPO= + = .,答案,17.(2018河南,18,9分)如图,反比例函数y= (x0)的图象过格点(网格线的交点)P. (1)求反比例函数的解析式; (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(
36、不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件: 四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P; 矩形的面积等于k的值.,解析 (1)点P(2,2)在反比例函数y= (x0)的图象上, =2,即k=4. 反比例函数的解析式为y= . (3分) (2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可) (9分) 举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD.,18.(2018山东潍坊,19,7分)如图,直线y=3x-5与反比例函数y= 的图象相交于A(2,m),B(n,-6)两 点,连接OA,OB. (1)求k和n的值; (2)求AOB的面积.,解析 (1)点B(n,-6)在直线y=3x-5上, -6=3n-5
37、,解得n=- , (1分) B , 反比例函数y= 的图象也经过点B , k-1=-6 =2,解得k=3. (3分) (2)设直线y=3x-5分别与x轴,y轴相交于点C,点D,当y=0,即3x-5=0时,x= ,OC= , (4分),当x=0时,y=30-5=-5,OD=5, (5分) 点A(2,m)在直线y=3x-5上, m=32-5=1,即A(2,1), (6分) SAOB=SAOC+SCOD+SBOD= = . (7分),思路分析 (1)把B点坐标代入直线解析式可求出n的值,再将B点坐标代入反比例函数解析式 可求出k的值.(2)AOB被坐标轴分成三部分,分别计算三部分的面积,求和即可.,
38、19.(2018甘肃兰州,25,8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2 = 的图象交于点A(1,2)和B(-2,m). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)请直接写出y1y2时,x的取值范围; (3)过点B作BEx轴,ADBE于点D,点C是直线BE上一点,若AC=2CD,求点C的坐标.,解析 (1)把A(1,2)代入y2= 得k=2. 反比例函数的表达式为y2= . 把B(-2,m)代入y2= 得-2m=2,m=-1. 把A(1,2),B(-2,-1)代入y1=ax+b得解得 一次函数的表达式为y1=x+1. (2)x的取值范围为-21. (3)
39、A(1,2),B(-2,-1),BEx轴,ADBE, D(1,-1),AD=3. 当点C在点D的右侧时,思路分析 (1)把点A的坐标代入y2= ,求出k的值,进而求出点B的坐标,然后利用待定系数法求 出一次函数的表达式;(2)结合函数图象可写出y1y2时,x的取值范围;(3)分两种情形:点C在点 D的右侧;点C在点D的左侧.根据30角的三角函数值求出CD的长度,进而得出点C的坐标.,点C的坐标为(1+ ,-1). 当点C在点D的左侧时,点C的坐标为(1- ,-1).,ADBE,AC=2CD, DAC=30, CD=ADtan 30=3 = .,2.利用函数图象确定不等式ax+b 或ax+b 的
40、解集,从函数图象上反 映为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分,即过点A的虚线的右侧及过点B的虚线与y 轴之间的部分(尤其注意y轴的取舍),从而可得其解集为xxA或xBx0;(2)ax+b 的解集,从函 数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分,即过B点虚线的左侧及y轴与过 A点虚线之间的部分,从而可得其解集为xxB或0xxA.,20.(2018广东广州,22,12分)设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1. (1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象; (2)若反比例函数y2= 的图象与函数y1的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2. 求k的值; 结合图
41、象,当y1y2时,写出x的取值范围.,解析 (1)当x0时,y1=x, 当x0,则由题意可知两图象只在第一象限有交点,当y=2时,x=2,A(2,2),k=22=4. 若k0,则由题意可知两图象只在第二象限有交点,当y=2时,x=-2,A(-2,2),k=-22=-4. 综上所述,k=4.,当k=4时,y2= ,如图,y1y2时,x的取值范围是x2或xy2时,x的取值范围是x0.,思路分析 (1)分类讨论y1=|x|即可;(2)对k的范围分类讨论,把A的纵坐标根据情况代入分段 函数中,求出A点坐标,将A点坐标代入反比例函数解析式求出k;正确画出图象,结合图象可得 到x的范围.,解题关键 正确画
42、出两函数的图象,分类讨论的结果才会不重复不遗漏.,21.(2018贵州贵阳,25,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A是反比例函数y= (x0,m 1)图象上一点,点A的横坐标为m,点B(0,-m)是y轴负半轴上的一点,连接AB,ACAB,交y轴于 点C,延长CA到点D,使得AD=AC.过点A作AE平行于x轴,过点D作y轴的平行线交AE于点E. (1)当m=3时,求点A的坐标; (2)DE= ;设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围; (3)连接BD,过点A作BD的平行线,与(2)中的函数图象交于点F,当m为何值时,以A,B,D,F为顶点 的四边形是平行四边
43、形?,解析 (1)点A在反比例函数y= (x0,m1)的图象上,且点A的横坐标为m, 点A的坐标为(m,m2-m).当m=3时,A(3,6). (2)1;由(1)知A(m,m2-m),已知B(0,-m), 延长EA交y轴于点N,如图. AEx轴,DEy轴, DEA=CNA=90. 又CAN=DAE,AD=AC, CANDAE, AN=AE, E(2m,m2-m).DE=1, 点D的坐标为(2m,m2-m-1). 又D(x,y), x=2m,y=m2-m-1, 即m= ,把m= 代入y=m2-m-1,得y= x2- x-1. m1,x=2m,x2, 所求函数关系式为y= x2- x-1(x2).
44、(3)x2,直线AF与二次函数y= x2- x-1(x2)只有一个交点,如图所示,连接DF,直线AF交y轴于点M, 过点F作FQy轴,交AE的延长线于点Q,过点D作DHx轴,交y轴于点H,则FQA=BHD=90 . 当四边形ABDF是平行四边形时,AF=DB, FQy轴, HMF=AFQ. AFBD, HMF=HBD, AFQ=DBH, RtFQARtBHD, AQ=DH=2m,FQ=BH, 点F的横坐标为3m,纵坐标为 m2- m-1, FQ= m2- m-1-(m2-m)= m2- m-1. D(2m,m2-m-1),B(0,-m),BH=m2-m-1-(-m)=m2-1, m2- m-1
45、=m2-1, 解得m=2或m=0(舍去), 当m=2时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形.,方法指导 在第(3)问中,利用平行四边形的性质证明RtFQARtBHD,得到FQ=BH,用含m 的代数式表示线段FQ和BH的长度,列方程求出m的值.,22.(2018内蒙古呼和浩特,22,6分)已知变量x,y对应关系如下表已知值呈现的对应规律.,(1)依据表中给出的对应关系写出函数解析式,并在给出的坐标系中画出大致图象; (2)在这个函数图象上有一点P(x,y)(x0),过点P分别作x轴和y轴的垂线,并延长与直线y=x-2交 于A、B两点,若PAB的面积等于 ,求出P点坐标.,解析 (1)y=
46、- .画出反比例函数图象如图.(2)设点P ,则点A(x,x-2), 由题意知PAB是等腰直角三角形. SPAB= ,PA=PB=5, x0,PA=- -x+2, 即- -x+2=5,解得x1=-2,x2=-1, 经检验,x1=-2,x2=-1是分式方程的解.,点P的坐标为(-2,1)或(-1,2).,23.(2018四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(-2, 0),与反比例函数y= (x0)的图象交于B(a,4). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)设M是直线AB上一点,过M作MNx轴,交反比例函数y= (x0)的图象于点N,
47、若以A,O,M,N 为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.,解析 (1)一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0), -2+b=0,b=2,一次函数的表达式为y=x+2, 一次函数的图象与反比例函数y= (x0)的图象交于B(a,4), a+2=4,a=2,B(2,4), 反比例函数的表达式为y= . (2)设M(m-2,m),N ,m0. 当MNAO且MN=AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形. 故 =2且m0,解得m=2 或m=2 +2, M的坐标为(2 -2,2 )或(2 ,2 +2).,24.(2017贵州贵阳,23,10分)如图,直线y=2x+6与反比例函数y= (x0)的图象交于点A(1,m),与x 轴交于点B,平行于x轴的直线y=n(0n6)交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM. (1)求m的值和反比例函数的表达式; (2)直线y=n沿y轴方向平移,当n为何值时,BMN的面积最大?,解析 (1)直线y=2x+6经过点A(1,m), m=21+6=8,A(1,8), 反比例函数y= 的图象过点A(1,8), 8= , k=8, 反比例函数的表达式为y= . (6分) (2)由题意知,点M,N的坐标可表示为M ,N ,0n6, 0, SBMN= n = n=- (n-3)2+ , 当n=3时,BMN的面积最大. (10分),
