1、8.3 实验操作型,中考数学 (湖南专用),1.(2015湖北荆州,8,3分)如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三 角形,展开铺平得到的图形是 ( ),好题精练,答案 A 找一张正方形的纸片,按上述顺序折叠、裁剪,然后展开后得到的图形如图所示.故选A.,2.(2018湖南株洲,17,3分)如图,O为坐标原点,OAB是等腰直角三角形,OAB=90,点B的坐标 为(0,2 ),将该三角形沿x轴向右平移得到RtOAB,此时点B的坐标为(2 ,2 ),则线段OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 .,答案 4,解析 点B的坐标为(0,2 ),将该三角形沿x轴向右平移得到Rt
2、OAB,此时点B的坐标为 (2 ,2 ), AA=BB=2 , OAB是等腰直角三角形,A( , ), 线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2 =4.,3.(2018湖南岳阳,23,10分)已知在RtABC中,BAC=90,CD为ACB的平分线,将ACB沿 CD所在的直线对折,使点B落在点B处,连接AB,BB,延长CD交BB于点E,设ABC=2(045 ). (1)如图1,若AB=AC,求证:CD=2BE; (2)如图2,若ABAC,试求CD与BE的数量关系(用含的式子表示); (3)如图3,将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(+45),得到线段FC,连接EF交BC于点O,设 COE的
3、面积为S1,COF的面积为S2,求 (用含的式子)表示.,图3,解析 (1)证明:BB关于EC对称, BBEC,BE=EB,DEB=DAC=90, EDB=ADC,DBE=ACD, AB=AC,BAB=DAC=90,BABCAD, CD=BB=2BE. (2)结论:CD=2BEtan 2. 理由:由(1)可知:ABB=ACD,BAB=CAD=90, BABCAD, = = , = , CD=2BEtan 2. (3)在RtABC中,ACB=90-2, CE平分ACB,ECB= (90-2)=45-, BCF=45+,ECF=45-+45+=90,BEC+ECF=180,BBCF, = = =s
4、in(45-), = , =sin(45-).,4.(2017山西,22,12分)综合与实践 背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等 于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被记载于我国古代数学著作周髀 算经中.为了方便,在本题中,我们把三边的比为345的三角形称为(3,4,5)型三角形.例如: 三边长分别为9,12,15或3 ,4 ,5 的三角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形纸片按下面的操 作方法可以折出这种类型的三角形. 实践操作 如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8 cm,AB=12 cm. 第一步:如图2,将图1中的
5、矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕 为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平. 第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF. 第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到ADH,再沿AD折叠,折痕为AM,AM与折痕 EF交于点N,然后展平.,图1 图2图3 图4 问题解决 (1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形;,(2)请在图4中判断NF与ND的数量关系,并加以证明; (3)请在图4中证明AEN是(3,4,5)型三角形; 探索发现 (4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请
6、找出并直接写出它们 的名称.,解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形,D=DAE=90. 由折叠知AE=AD,AEF=D=90, (1分) D=DAE=AEF=90,四边形AEFD是矩形. (2分) AE=AD,矩形AEFD是正方形. (3分) (2)NF=ND. 证明:连接HN.由折叠知ADH=D=90,HF=HD=HD. (4分),四边形AEFD是正方形,EFD=90. ADH=90,HDN=90. (5分) 在RtHNF和RtHND中, RtHNFRtHND,NF=ND. (6分),(3)证明:四边形AEFD是正方形,AE=EF=AD=8 cm. 由折叠知AD=AD=8 cm.设NF=x
7、 cm,则ND=x cm, AN=AD+ND=(8+x)cm,EN=EF-NF=(8-x)cm. (7分) 在RtAEN中,由勾股定理得AN2=AE2+EN2, 即(8+x)2=82+(8-x)2,解得x=2, (8分) AN=8+x=10(cm),EN=8-x=6(cm), ENAEAN=6810=345, AEN是(3,4,5)型三角形. (9分) (4)MFN,MDH,MDA. (12分),5.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点. (1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F. 求证:BE=CF; 求
8、证:BE2=BCCE; (2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F, 求tanCBF的值.图1 图2,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AB=BC,ABC=BCF=90. 又AGB=90,BAE+ABG=90. 又ABG+CBF=90,BAE=CBF. ABEBCF(ASA),BE=CF. (4分) 证明:AGB=90,点M为AB的中点, MG=MA=MB,GAM=AGM. 又CGE=AGM,从而CGE=CBG. 又ECG=GCB,CGECBG. = ,即CG2=BCCE. 由CFG=GBM=BGM=CGF,得CF=CG.
9、 由知,BE=CF,BE=CG.BE2=BCCE. (9分) (2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1).,图1 四边形ABCD是正方形,ABCD. N=EAB.又CEN=BEA,CENBEA. 故 = ,即BECN=ABCE. AB=BC,BE2=BCCE,CN=BE. 由ABDN知, = = . 又AM=MB,FC=CN=BE. 不妨令正方形的边长为1. 设BE=x,则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).,解得x1= ,x2= (舍去). = . 于是tanCBF= = = . (14分) 解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x, 则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).
10、 解得x1= ,x2= (舍去),即BE= . 作GNBC交AB于N(如图2),图2 则MNGMBC. = = .,设MN=y,则GN=2y,GM= y. = ,即 = , 解得y= .GM= . 从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上. AGB是直角三角形,且AGB=90. 由(1)知BE=CF,于是tanCBF= = = . (14分),6.(2016湖南娄底,24,9分)如图,将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转到A1BC1的位置,AB= BC,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1、BC1分别交于点E、F. (1)求证:BCFBA1D; (2)当C=时,判定四边形A1BCE
11、的形状,并请说明理由.,解析 (1)证明:AB=BC,A=C, 将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转到A1BC1的位置, A1B=AB=BC,A=A1=C,A1BD=CBC1=, 在BCF与BA1D中,BCFBA1D(ASA). (2) 四边形A1BCE是菱形.理由如下: 将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转到A1BC1的位置, A1=C=CBC1,A1BC=180-2+=180-, A1+A1BC=180,C+A1BC=180, A1EBC,A1BCE. 四边形A1BCE是平行四边形, 又A1B=BC,四边形A1BCE是菱形.,7.(2016湖南岳阳,23,10分)数学活动旋转变换 (1)如图,
12、在ABC中,ABC=130,将ABC绕点C逆时针旋转50得到ABC,连接BB,求 ABB的大小; (2)如图,在ABC中,ABC=150,AB=3,BC=5,将ABC绕点C逆时针旋转60得到ABC,连 接BB,以A为圆心,AB长为半径作圆. (i)猜想:直线BB与A的位置关系,并证明你的结论; (ii)连接AB,求线段AB的长度; (3)如图,在ABC中,ABC=(90180),AB=m,BC=n,将ABC绕点C逆时针旋转2角度 (02180)得到ABC,连接AB和BB,以A为圆心,AB长为半径作圆,问:角与角满足什么 条件时,直线BB与A相切?请说明理由,并求此条件下线段AB的长度(结果用角
13、或角的三 角函数及字母m、n所组成的式子表示).,解析 (1)ABC=130,ABC是由ABC旋转得到的,ABC=ABC=130,CB=CB. CBB=CBB,又BCB=50, CBB=CBB=65.ABB=ABC-BBC=65. (2)(i)结论:直线BB是A的切线. 理由:ABC=ABC=150,CB=CB, CBB=CBB, 又BCB=60,CBB=CBB=60. ABB=ABC-BBC=90,ABBB. 又AB为A的半径,直线BB是A的切线. (ii)在RtABB中,ABB=90,BB=BC=5,AB=AB=3,AB= = . (3)当+=180时,直线BB是A的切线. 理由:ABC=
14、ABC=,CB=CB, CBB=CBB,又BCB=2, CBB=CBB= =90-.,直线BB是A的切线. ABB=ABC-BBC=-90+=90,+=180. 如图,过C作CDBB于点D. 在CBB中,CB=CB=n,BCB=2, BCD=DCB=,BB=2nsin . 在RtABB中,AB= = .,思路分析 (1)根据ABB=ABC-BBC即可求解.(2)(i)结论:直线BB是A的切线.只要证 明ABB=90即可.(ii)在RtABB中,利用勾股定理计算即可.(3)当+=180时,直线BB是A 的切线.只要证明ABB=90即可.在CBB中求出BB,再在RtABB中利用勾股定理即可求 解.
15、,解题关键 本题考查的知识面广,在解题过程中关键是要理解旋转的性质,利用旋转的性质结 合切线的判定与性质及勾股定理解题.,8.(2015广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(- 1,1),B(-3,1),C(-1,4). (1)画出ABC关于y轴对称的A1B1C1; (2)将ABC绕着点B顺时针旋转90后得到A2BC2,请在图中画出A2BC2,并求出线段BC旋转 过程中所扫过的面积(结果保留).,解析 (1)如图所示. (2)如图所示.线段BC旋转过程中所扫过得面积S= = .,9.(2015广西百色,25,10分)已知O为ABC的外接圆,圆心O在
16、AB上. (1)在图1中,用尺规作图法作BAC的平分线AD交O于D(保留作图痕迹,不写作法与证明); (2)如图2,设BAC的平分线AD交BC于E,O半径为5,AC=4,连接OD交BC于F. 求证:ODBC; 求EF的长.,解析 (1)尺规作图如图所示.(2)证明:如题图2,AD平分BAC,DAC=BAD, OA=OD,OAD=D,CAD=D, ACOD,ACB=OFB, AB是O的直径,C=90,OFB=90,ODOB. 由(1)知ACOD,BOFBAC, = ,即 = ,OF=2,FD=5-2=3, 在RtOFB中,BF= = = , ODBC,CF=BF= ,ACOD,EFDECA, =
17、 = , = ,EF= CF= = .,10.(2015广东广州,23,12分)如图,AC是O的直径,点B在O上,ACB=30. (1)利用尺规作图法作ABC的平分线BD,交AC于点E,交O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不 写作法); (2)在(1)所作的图形中,求ABE与CDE的面积之比.,解析 (1)如图1所示.图1 (2)解法一: 如图2,连接OD,设AB=x,图2 1=3,A=BDC,ABEDCE. AC为直径,ABC=90,BD平分ABC,1=2=45,DOC=22=90,在ABC中,ABC=90,ACB=30, AB=x,AC=2x,OA=OC=OD=x; 在OCD中,DOC=9
18、0,OC=OD=x,DC= = x,ABEDCE, = . 解法二:如图3,连接AD,设AB=x,图3 1=3,BAC=BDC,ABEDCE. AC为直径,ABC=ADC=90. BD平分ABC,1=2=45. AD=DC, 在RtABC中,ABC=90,ACB=30, AB=x,AC=2x,在RtADC 中,AD2+DC2=AC2,DC= x. ABEDCE, = = = . 解法三: 如图4,过点E作EFBC,垂足为F.图4 EFB=EFC=90. 1=3,A=BDC, ABEDCE. AC为直径,ABC=90, BD平分ABC,1=2=45,在RtBFE 中,sin2= ,BE= . 在RtEFC中,sinACB= ,CE= . ABEDCE, = = = = .,评析 本题主要考查尺规作图、三角形相似的判定与性质、圆的有关性质(直径所对的圆周 角是直角、同弧所对的圆周角相等)、特殊三角形三边的关系、解直角三角形、等腰直角三 角形的性质、勾股定理等基础知识,考查推理能力、计算能力和转化思想.,
