1、1方法技巧训练(一) 与角平分线有关的基本模型 三角形中角平分线的夹角的计算方 法 指 导 1类型 1 两个内角平分线的夹角如图 1，在ABC 中，ABC，ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G，则BGC90 A.12图 1 图 2 图 3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于 90与第三个内角的一半的和类型 2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图 2，在ABC 中，BP 平分ABC，CP 平分ACB 的外角，BP 与 CP相交于点 P，则P A.12解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半类型 3 两外角平分线的夹角如图 3，在ABC 中，BO，CO 是
2、ABC 的外角平分线，则O90 A.12解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于 90与第三个内角的一半的差1如图，在ABC 中，A40，点 D是ABC 和ACB 的平分线的交点，则BDC110【变式 1】如图，若点 D是ABC 的平分线与ACB 外角平分线的交点，则D20【变式 2】如图，若点 D是ABC 外角平分线与ACB 外角平分线的交点，则D70【变式 3】如图，BA 1和 CA1分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是A 1BD的平分线，CA 2是A 1CD的平分线，BA 3是A 2BD的平分线，CA 3是A 2CD的平分线若A 1，则A 2 019 22 018与角平分线
3、有关的图形与辅助线方 法 指 导 21角平分线平行线等腰三角形如图 4，BD 是ABC 的平分线，点 O是 BD上一点，OEBC 交 AB于点 E，则BOE 是等腰三角形2解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形图 4 图 5 图 6 图 72与角平分线有关的辅助线过角平分线上的点作角两边的垂线如图 5，BO 是ABC 的平分线，过点 O作 OEAB 于点 E，过点 O作 OFBC 于点 F，则 OEOF，BEOBFO.角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图 6，BO 是ABC 的平分线，在 BA，BC 上取线段 BEBF，则BEOB
4、FO.解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段构造全等三角形过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形如图 7，BD 是ABC 的平分线，点 E是 BD上一点，过点 E作 BD的垂线，则BGH 是等腰三角形且 BD垂直平分 GH.2.如图，在ABC 中，AB10 cm，AC8 cm，ABC 和ACB 的平分线交于点 O，过点 O作 BC的平行线 MN交 AB于点 M，交 AC于点 N，则AMN 的周长为(D)A10 cm B28 cm C20 cm D18 cm3.如图，矩形 ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，如果将该矩形沿
5、对角线 BD折叠，那么图中阴影部分的面积(B)A8 cm 2 B10 cm 2 C15 cm 2 D20 cm 24(2018大庆)如图，BC90，M 是 BC的中点，DM 平分ADC，且ADC110，则MAB(B)A30 B35 C45 D605如图，M 是ABC 的边 BC的中点，AN 平分BAC，BNAN 于点 N，且 AB10，BC15，MN3，则 AC的长是16提示：延长 BN交 AC于点 E.因为 AN平分BAC，BNAN，可证ABNAEN，则 AN是ABE 的中线，即点 N平分 BE，所以 MN是BEC 的中位线6如图，在ABC 中，A60，BD，CE 分别平分ABC 和ACB，
6、BD，CE 相交于点 O，试说明 BE，CD，BC 的数量关系，并加以说明3解：BCBECD.理由如下：在 BC上取点 G，使得 CGCD，连接 OG.BOC180 (ABCACB)180 (18060)120，12 12BOECOD60.BD，CE 分别平分ABC 和ACB，EBOGBO，OCGOCD.在COD 和COG 中， CO CO， DCO GCO，CD CG， )CODCOG(SAS)COGCOD60.BOG1206060BOE.在BOE 和BOG 中， BOE BOG，BO BO， EBO GBO， )BOEBOG(ASA)BEBG.BECDBGCGBC.7感知：如图 1，AD 平分BAC.BC180，B90，易知：DBDC.探究：如图 2，AD 平分BAC，ABDACD180，ABD90，求证：DBDC.应用：如图 3，在四边形 ABCD中，B45，C135，DBDCa，则 ABAC a(用含 a的代数式表2示)图 1 图 2 图 3证明：过点 D作 DEAB 于点 E，DFAC 交 AC的延长线于点 F.AD 平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF.BACD180，ACDFCD180，BFCD.在DFC 和DEB 中， F DEB， FCD B，DF DE， )DFCDEB(AAS)DCDB.
