1、1专题 07 函数的图象【考点剖析】1.命题方向预测：从近几年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用.预测 2019 年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，依然体现“有图考图”“无图考图”的原则，题型仍为选择题或填空题的形式备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，增强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则.2.课本结论总结：（1）画函数图象的一般方法描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直
2、接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与 x轴的交点等图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响（2）常见的图象变换平移变换：左右平移：函数 ()0yfxh的图象可由函数 ()yfx的图象向左（+）或向右（）平移 h个单位得到；上下平移： ()fb（ ）的图象可
3、由函数 ()f的图象向上（+）或向下（）平移 b个单位得到；伸缩变换函数 ()0yfx是将函数 ()yfx图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1得到；函数 A是将函数 图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍的得到；对称变换2函数 ()yfx图象关于 轴对称得到函数 ()yfx图象；函数 图象关于 y轴对称得到函数 图象；函数 ()yfx图象关于原点对称得到函数 ()yfx图象；函数 图象关于直线 xa对称得到函数为 2)a图象翻折变换函数 (|)yfx的图象这样得到：函数 ()yfx在 轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到 y轴左侧（函数 |为偶函数，其
4、图象关于 y轴对称）;函数 |()|yfx的图象是这样得到的：函数 ()yfx在 轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于 x轴对称到上方（注意到函数 |()|yfx的函数值都大于零） 3.名师二级结论：（1）函数图象的几个应用判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于 y 轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的 x的取值范围是增区间，下降对应的 x的取值范围是减区间.方程 ()fg的根就是函数 ()yfx与函数 ()yg图象交点的横坐标.不等式 ()x的解集是函数 的图象在函数 x图象上方的一段对应的 x的取值范围（交点坐标要通过解方程求得）（2）函数 ()yf的图象
5、的对称性若函数 x关于 a对称 对定义域内任意 x都有 ()fax= ()f对定义域内任意 x都有 ()f= )a()yfx是偶函数；函数 xfy关于点（ ，0）对称 对定义域内任意 x都有 ()fx= ()fax(2)fax=()f()是奇函数；若函数 f对定义域内任意 x都有 )()(bfaf,则函数 )(f的对称轴是 2b；若函数 )(xy对定义域内任意 都有 x,则函数 x的对称轴中心为 (,0)a；3函数 (|)yfxa关于 对称.(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换函数解析式的等价变换研究函数的性质4.考点交汇展示：(1)与参
6、数范围问题交汇例 1.函数 2axbfc的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A） 0， ， 0 （B） 0a， b， 0c（C） a， b， （D） ， ， 【答案】C(2)与函数性质交汇例 2.【2018 年浙江卷】函数 y= sin2x 的图象可能是A. B. 4C. D. 【答案】D(3)与函数零点问题交汇例 3.【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 若 g（ x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）【答案】C【解析】画出函数 的图像， 在 y 轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，
7、直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，也就是函数 有两个零点，此时满足 ，即 ，故选 C.（4）与不等式交汇例 4【2018 年高考专家猜题卷】已知函数 ， ， ，且，若 ，则实数 ， ， 的大小关系是（ ）5A B C D 【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，即 分别是图中点 的横坐标，由图象可得，故选 C.【考点分类】考向一 函数图象的识别1.已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ）A B 6C D 【答案】D2.【2018 届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可
8、能是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：由函数图象可知，函数图象关于 轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可的结果.73.【2018 届山东省潍坊市青州市三模】函数 在区间 上的图象大致为（ ）A B C D 【答案】B【解析】当 时，由 ，可得函数的零点为 ，可排除选项 ；当 时， ，对应点在 轴下方，可排除选项 ，故选 B. 【方法规律】1.识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用
9、这一函数模型来分析解决问题.（4）利用函数本身的性能或特殊点（与 x、 y轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证.2.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复8利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项【解题技巧】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项【易错点睛】1.函数图象左右平移平移的长度单位是加在
10、 x上，而不是加在 x上，处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位.2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错.例 已知定义域为0,1上的函数 ()fx图象如下图左图所示，则函数 (1)fx的图象可能是（ ）【错解】先将 ()fx的图象沿 y 轴对折得到 ()fx的图象，再将所得图象向左平移 1 个长度单位就得到函数 (1f的图象，故选 A.【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在 x上，而不是加在 x上，本例因 (1)fx=()fx，故先做对称变换后，应向右平移 1 长度单位.【预防措施】先将所给函数化为 ()fxa形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，
11、注意平移方向和平移单位.【正解】因 (1)fx= ()f,先将 ()f的图象沿 y 轴对折得到 ()fx的图象，再将所得图象向右平移 1 个长度单位就得到函数 1x的图象，故选 B.考向 2 函数图象的应用1.【2018 届河北省衡水中学 6 月 1 日适应性训练】已知实数 ， ， ，则（ ）9A B C D 【答案】C【解析】y= 的图象，结合图象，得：bac故选：C2.【2018 届二轮优选整合】若函数 y f(x)的图象上存在不同的两点 M、 N 关于原点对称，则称点对( M， N)是10函数 y f(x)的一对“和谐点对”(点对( M， N)与( N， M)看作同一对“和谐点对”)已知
12、函数 f(x)则此函数的“和谐点对”有( )A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对【答案】B【解析】作出 的图象如图所示，3.【2019 届安徽省肥东县高级中学 8 月调研】已知函数 ，若函数有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】若函数 有两个零点，则函数 的图象与 有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数 的图象与 的图象如下：11【方法规律】1研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想2有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解3方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解【解题技巧】1.为了更好的利用函数图象解题，准
13、确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如 1yx的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.2利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等3利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解12对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即为方程解的个数，或找出解所在的区
14、间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围或参数的值【易错点睛】一个函数的图象关于原点( y 轴)对称与两个函数的图象关于原点( y 轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称例 已知函数 ()yfx的定义域为 R，则函数 (2)yfx与函数 (2)fx的图象关于（ ）A直线 =0 对称 B.直线 =0 对称 C.直线 对称 D.直线 =2 对称【错解】函数定义在实数集上，且 ()()fxf，函数 ()yfx的图象关于直线 =0 对称，故选 B.【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对
15、称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.【正解】函数 (2)yfx的图象是将函数 ()yfx的图象向右平移 2 个单位得到，而函数 = 的图象是先将 的图象关于 x=0 对称变换得到 ()yfx的图象，再将 ()yfx的图象向右平移 2 个单位得到，因此函数 ()yf与函数 2关于 =2对称，故选 D.【热点预测】1.【2018 届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】函数 ln1yx的大致图像为( )A. B. C. D. 13【答案】C【解析】函数 y=ln(1x)的定义域为x|x1，故可排除 A，B；又 y=1x 为(,1)上的减函数，y=
16、lnx 为增函数，复合函数 y=ln(1x)为( ,1)上的减函数，排除 D；故选 C. 2.【2018 届河北省武邑中学四模】已知函数 ，在 的大致图象如图所示，则 可取（ ）A B C D 【答案】B【解析】3.【2018 届北京市十一学校三模】下列函数图象不是轴对称图形的是（ ）A B C D 14【答案】B【解析】分析：根据常见函数的图象即可判断.解析：对 A， 为轴对称图形，其对称轴为 y=x 或 y=-x；对 B， 不是轴对称图形；对 C， 在 为轴对称图形，对称轴为 ；对 D， 为轴对称图形，其对称轴为 x=0.故选：B.4.【2018 届湖南省张家界市三模】在同一直角坐标系中，
17、函数 2fxa， log2ax（0a，且 1）的图象大致为（ ）A B C D 【答案】A5.偶函数 )(xf满足 )1()(xff,且在 1,0时， 2)(xf，则关于 的方程f10在 3,2上的根的个数是A3 B4 C5 D615【答案】 C【解析】由 题意可得， (2)(fxf.即函数 ()fx为周期为 2的周期函数，又 ()fx是偶函数，所以，在同一坐标系内，画出函数 ， |10y的图象，观察它们在区间 3,2的交点个数，就是方程xf10)(在 3,2上根的个数，结合函数图象的对称性，共有 5个交点，故选 C.6.【2018 届山东省滕州市第三中学高三一轮复习】已知函数 f（x）= 3
18、,1 2x，若关于 x 的方程f（f（x） ）=a 存在 2 个实数根，则 a 的取值范围为（ ）A. 24，0） B. （，24）0，2） C. （24，3） D. （，240，2【答案】B16,7.【2018 届四川省成都市第七中学三诊】定义函数 ，则函数 在区间 （ ）内所有零点的和为（ ）A B C D 【答案】D【解析】17然后再作出函数 的图象，结合图象可得两图象的交点在函数 的极大值的位置，由此可得函数在区间 上的零点为 ，故所有零点之和为 故选 D8.【2019 届湖南省长郡中学第一次月考】若定义在 上的偶函数 满足 且 时，则方程 的零点个数是（ ）A 个 B 个 C 个 D
19、 个【答案】C【解析】因为数 满足 ，所以周期 当 时， ，且 为偶函数，所以函数图像如下图所示9.【2018 年高考专家猜题卷】已知函数 ， ， ，且，若 ，则实数 ， ， 的大小关系是（ ）A B C D 【答案】C【解析】18同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，可得 是 图象交点横坐标；是 图象交点横坐标；是 图象交点横坐标；即 分别是图中点 的横坐标，由图象可得，故选 C. 10.【2018 届宁夏石嘴山市第三中学四模】对于实数 a， b，定义运算“*”： a*b ,设 f (x)( x4)* ，若关于 x 的方程| f (x) m|1( mR)恰有四个互不相等的实数根，则实数 m
20、 的取值范围是_【答案】(1,1)(2,4)【解析】解不等式 x4 4 得 x0，f（x）= ，画出函数 f（x）的大致图象如图所示 19故答案为（1，1）（2，4） 10.【2018 届山东省临沂市沂水县第一中学三轮】已知定义在 上，且周期为 2 的函数 满足，若函数 有 3 个零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】先画出函数 f(x)在一个周期-1,1上的图像，再把函数的图像按照周期左右平移得到函数 f(x)在原点附近的图像，如图所示，20故答案为：C.11.【2018 届湖北省宜昌市一中考前训练 2】定义在实数集 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 的零点个
21、数为_【答案】 .【解析】2112.已知函数1()2xf(0)，设 0ab，若 ()fab，则 ()fa的取值范围是 .【答案】 3,4【解析】由函数1()2xf(0)，作出其图象如下图，因为函数 fx在 0,1和 ,上都是单调函数，所以，若满足 ab时， ()fab，必有 0,1， ,a，由图可知，使()fab的 1,2， 3,2f，由不等式的可乘积性得： 3(),24bf，故答案为3,242213.已知函数1,()0lnxf，则方程 ()fxa恰有两个不同实数根时，实数 a的取值范围是 .【答案】 2(1,)e14.【2018 届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知 若关于 的方程 有四个实根 ，则四根之和 的取值范围_【答案】 23【解析】设 ,则有图得从而 .
