1、高等数学部分定积分理论一、定积分的产生背景1、曲边梯形的面积问题2、变速运动路程问题二、定积分的定义设 为 上的有界函数，若 存在，称 在)(xf,bainiixf)(lm10 )(xf上可积，极限称为 在 上的定积分，记 ，即,baf,badfbadf(。iniixf)(lm10【注解】（1 ）极限与区间的划分及 的取法无关。i（2 ） ，反之不对。n0（3 ）若一个函数可积，则 。ninba abifabdxf1)(lim)(三、定积分基本理论定理 1 设 ，令 ，则 为 的一个原函数，即,)(Cfxadtf)()()(xf。)(xf【注解】（1 ）连续函数一定存在原函数。（2 ） 。)(
2、)(xfdtfxa（3 ） 。)(12)(21 xf 【例题 1】设 连续，且 ，求 。fxdt0)()【例题 2】设 为连续函数，且 ，求 。)(xfF2)(xF定理 2 （牛顿莱布尼兹公式）设 ，且 为 的一个原函数，则,)(baCxf(f。)()(aFbdxfba四、积分法1、换元积分法设 ，令 ，其中 可导，且 ，其中,)(Cf)(tx)(t0)(t，则 。ba(,)(dfda2、 分部积分法设 在 上连续可导，则 。vu, babavduuv五、定积分性质1、基本性质（1 ） 。bababa dxgxfdxgf )()()(（2 ） 。k（3 ） 。bccaba xfxfxf )()
3、()(（4 ） 。d（5 ）设 ，则 。)(0)bxf0)(badxf推论 1 设 ，则 。gbadxg)(推论 2 。)(|)|)(xfdxfbaba（6 ）设 在 上连续，且 ，则 。, Mfm)()()( abMdxfbmba（7 ） （积分中值定理）设 ，则存在 ，使得 。,)(baCxf,f2、定积分的特殊性质（1 ）对称区间上定积分性质1）设 ，则 。,)(aCxfaa dxfxdxf0)()(2）设 ，且 ，则 。aaf0)(23）设 ，且 ，则 。,)(xf )(xff )(xf（2 ）周期函数定积分性质设 以 为周期，则)(fT1） ，其中 为任意常数。TTadxfxf0)(
4、)(a2） 。n0（3 ）特殊区间上三角函数定积分性质1）设 ，则 ，特别地，1,)(Cxf2020 )(cos)(sindxfdxf，且 。nnnIdx2020cossi 1,12IIn2） 。nn2ii2003） 。为 奇 数 为 偶 数dxdxnn,coscos2004）设 ，则 。1)(Cf00 )(sin2)(sindxff【例题 1】计算 。24sidxe【例题 2】计算 。042ini【例题 3】计算 。14dx第一讲 极限与连续一、定义1、函数的几个初等特性（1 ）奇偶性设函数 的定义域关于原点对称，若 ，称 为偶函数；若)(xf )(xff)(f，称 为奇函数。)(fxf【例
5、题 1】 判断函数 的奇偶性，并求其反函数。)1ln()2xxf（2 ）周期性设 的定义域为 ，若存在 ，使得对任意的 ，有 且(D0TDxT，称 为周期函数。)(xfTf)f【例题 2】讨论函数 的周期性。(x（3 ）单调性设对任意的 且 ，有 ，称 在 上为单调增Dx21,21x)(21xff)(fD函数，反之称为单调减函数。（4 ）有界性若存在 ，对任意的 ，有 ，称 在 上有界。0MMf|)(| )(f2、极限（1 ）数列极限( )若对任意的 ，总存在 ，当 时，有N0Nn|Aan成立，称数列 以 为极限，记为 。Aanlim（2 ）函数 当 时的极限（ ）若对任意的 ，总存在 ，当)
6、(xf 00时，有|0a|)(|Axf成立，称 为 当 时的极限，记为 。aAxfa)(lim（3 ）函数 当 时的极限（ ）若对任意的 ，存在 ，当)(xfX00X时，有X|)(|Axf成立，称 为 当 时的极限，记为 。Axf)(lim（4 ）左右极限若 ，称 为 在 处的左极限，记为 ；xfax)(limAaAaf)0(若 ，称 为 的右极限，记为 ，注意 存在的充分必Bfax)(li Bf)0(limxa要条件是 与 都存在且相等。0)(f【注解】（1 ）函数在一点处的极限与函数在该点有无定义无关。（2 ）形如 当 时的极限一定分左右极限。)0(abxkax若对 ，因为 ， ，所以极限
7、不存在；12limxeli12xe12limxe又如 ，显然 ， ，故 不存在。xf12)(1)0(f 1)0(f )(lim0xf3、无穷小（1 ）无穷小的定义以零为极限的函数称为无穷小。（2 ）无穷小的层次设 ，若 ，称 为 的高阶无穷小，记为0,0li)(o；若 ，称 与 为同阶无穷小，记为 ，特别地，若limk )(O，称 与 为等价无穷小，记为 。1li【注解】（1 ）无穷小一般性质1）有限个无穷小之和、差、积为无穷小。2）有界函数与无穷小之积为无穷小。3） 的充分必要条件是 ，其中 。Axf)(limAxf)(0（2 ）等价无穷小性质1） ；2）若 ，则 ；3）若 ，则 ；,4）若
8、 且 ，则 。Alimli（3 ）当 时常用的等价无穷小0x1） ；)1ln(arctnrsitansi xex2） ；21co3） 。xa)(【例题 3】计算极限 。)21ln(cosim0xex【例题 4】计算极限 。30itaix【例题 5】计算极限 。)cossin(l22x【例题 6】计算极限 。3tan0limxex【例题 7】计算极限 。xli4、连续（1 ）函数在一点处连续的定义设 在 的邻域内有定义，若 ，称)(xfa)(limafxfa在 处连续。)(xfa【注解】 在 处连续的充分必要条件是 。fx )(0()(ffaf（2 ）函数 在 上连续的定义 设 在 上有定义，
9、在 内点点连续，)(,b)x,bx,ba且 ，称 在 上连续。)(0(0ffaf (f【注解】初等函数在其定义域上都连续。5、间断点及分类（1 ）设 在 处间断，且 都存在，称 为 的第一类间断)(xf )0(),(aff ax)(f点。进一步地，若 ，称 为 的可去间断点；)0()(aff x)(f若 ，称 为 的跳跃间断点。)0(af (f（2 ）设 在 处间断，且 至少一个不存在，称 为 的第x )0),aax)(f二类间断点。【例题 8】求函数 的间断点及类型。1|ln)(2xf【例题 9】求函数 的间断点及类型。xef1【例题 10】求函数 的间断点及类型。ftan)l()2二、极限
10、有关性质（一）极限一般性质定理 1（唯一性定理） 极限具有唯一性。定理 2（保号性定理）（1 ）若 ，则存在 ，当 时， 。)0()(limAxfa 0|ax)0(xf（2 ）设 且 ，则 。)0(xf Axf)(lim)0(（二）极限的存在性质定理 1 单调有界的数列必有极限。情形一：设 单调增加，且存在 ，使得 ，则 存在。naMannalim情形二：设 单调减少，且存在 ，使得 ，则 存在。定理 2（夹逼定理）（1 ）数列型：设 ，且 ，则 。nncbaAcannlilimbnli【例题 11】计算 。n 222 11li （2 ）函数型：设 ，且 ，则 。)()(xhgxfAxhf)(
11、li)(li Axg)(lim三、重要极限与有关结论1、 。1sinlm0x记忆：（1） 时， ，尤其 （ ） ；xtansixsi0（2） 时， 。)l(2、 。exx)(li记忆： 单调增加收敛于 。1ne四、闭区间上连续函数的四大性质定理 1 （最大值最小值定理）设 ，则 在 上取到最小值和最大值。,)(baCxf)(xf,ba定理 2 （有界性定理） 设 ，则 在 上有界。定理 3 （零点定理） 设 ，且 ，则存在 ，使得,)(xf 0)(f ),(ba。0)(f定理 4（1 ）设 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，即位于最小,)(baCxf,Mm,ba)(f值和最大值之间的任何值函数都可
12、以取到。（2 ）设 ，且 ，不妨设 ，则对任意的,)(f )(bff)(ff，存在 ，使得 ，即位于左右端点函数值之间的任何值函数)(,bfa,ba)(f都能取到。【方法指导】设 ，若结论中存在 ，基本确定使用零点定理或介值定理，一般开区间用零,)(Cxf )(f点定理，闭区间用介值定理。【例题 1】设 ， ，证明：存在 ，使得 。1,0)(f1)(,0)(ff )1,0(ccf1)(【例题 2】设 ，证明：对任意的 ，存在 ，使得bax,qpba。)()(fqpfapf【例题 3】设 ，证明：对任意的 及 且,Cx,baxi),21(0niki，存在 ，使得11nk ba)()()(nxfk
13、xff一元函数微分学基本理论一、基本概念1、导数设 为定义于 上的函数， ， ，若极限)(xfyDx0 )(00xfxfy存在，称 在 处可导为 在 处的导数，记为 或x0lim0)(f 。0|d【注解】（1 ） 同时包括 与 。x0xx若 存在，称此极限为 在点 处的左导数，记为 ，若 存y0li )(fy0 )(0xfxy0lim在，称此极限为 在点 处的右导数，记为 ， 在点 处可导)(f0 )(0xfy的充分必要条件是 与 都存在且相等。0x)f（2 ）函数 在 处导数的等价定义)(fy。xf0lim)( hxffh)(li00 0)(lim0xfx（3 ）若 在 处可导，则 在 处连
14、续，反之不对。)(xfy0)(xfy0（4 ）取绝对值可保持连续性，不一定保持可导性。2、可微设 为定义于 上的函数， ， ，若)(fD0 )(00xfxfy，称 在 处可微，记 ，或者 。xoAy)(xfyAdAdy【注解】（1 ）函数在一点可导与函数在一点可微等价。（2 ） 。)(0xf（3 ）若函数 处处可导，则其微分为 。dxfdf)(二、求导数三大工具（一）基本公式1、 。 2、 ，特别地 。0)(C1)(aaxx21)(23、 ，特别地 。 4、 ，特别地 。axln)( xe)( axaln)(logln5、 （ 1） ； （2） ；cossisic（3） ； （4 ） ；x2e
15、)(ta 2c)(t（5） ； （6 ） ；tansc xxotscs（7） ； （8 ） 。)2i()(in(x )2()(o(nn6、 （ 1） ； （2） ；1arcsi 1arcsxx（3） ； （4 ） 。2)(tnx 2)ot(（二）求导四则运算法则1、 。 2、 。vu)( vu)(3、 。 4、 ；k 25、 。)()1()(0)( nnnn uvCvCv（三）复合函数求导链式运算法则设 ， 都是可导函数，则 可导，且)(ufy)(x)(xfy。)(xffdx 【注解】（1 ）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系设 为二阶可导函数，且 ， 为 的反函数，则)(xfy0)
16、(xf)(y)(xf，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系，)(1fdxyd。)(/)(1)()()( 32 xfdxyfdyxfydx （2 ）设 在 处连续，若 ，则 。)(faAaxf)(limaf)(0三、求导基本类型（一）显函数求导数【例题 1】设 ，求 ；)sec2ln(ta1si2 xeyxy【例题 2】设 ，求 ；siy（二）参数方程确定的函数的导数设 由 确定，其中 皆二阶可导，求 及 。)(xfy)(ty,dxy2【例题 1】 设 ，求 及 。tarcn1ldxy2（三）隐函数求导数【例题 1】 设 ，求 。yex23（四）分段函数求导数【例题 1】设 ，求 并讨论 的连续
17、性。0),1ln(si)xxf )(xf)(xf【例题 2】设 ，且 存在，求 。0,)1ln()xbaxf )(fba,（五）高阶导数【例题 1】 ，求 。efxsin)()(fn【例题 2】设 ，求 。2312)(x中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值设连续 ，其中 。若存在 ，当)(Dxfyx00时，有 ，称 为 的极大点；若存在 ，当|00x)(0)(f时，有 ，称 为 的极小点，极大点和极小点称为极值| xff0x点。2、函数在一点处导数情况讨论（1 ）设 ，即 ，由极限的保号性，存在 ，当0)(af )(limaxfax 0时，有 。|0x0)(f当 时， ；当 时， 。),
18、(ff),()(afxf显然 不是 的极值点。ax(x（2 ）设 ，即 ，由极限的保号性，存在 ，当0)f 0)(limaxfax 0时，有 。|0x)(f当 时， ；当 时， 。),(aff),()(afxf显然 不是 的极值点。x(x【结论 1】设连续函数 在 处取极值，则 或 不存在。)fa0)(af)(f【结论 2】设可导函数 在 处取极值，则 。(x二、一阶中值定理定理 1（罗尔中值定理）设函数 满足：（1 ） ；（2） 在 内可导；)(xf ,)(baCxf)(xf,ba（3 ） ，则存在 ，使得 。)(bfaf,ba0定理 2（Lagrange 中值定理）设 满足：（1） ；（2
19、 ） 在 内可导，)(xf ,)(xf )(xf,则存在 ，使得 。),(abf【注解】（1 ）中值定理的等价形式为：，其中 ；)()(abfafb),(，其中 。10（2 ） 对端点 有依赖性。,（3 ）端点 可以是变量，如 ，其中 是介于 与 之间的 的ba )()(axfafxax函数。定理 3（Cauchy 中值定理）设 满足：（1） ；（2 ）)(,gf ,)(,bCgf在 内可导；（3） ，则存在 ，使得)(,xgf,ba),(,0bax a。)()(gff典型题型题型一：结论中含一个中值 ，不含 ，且导出之间差距为一阶ba,【例题 1】设 ，在 内可导， ，证明：存在 ，使,)(
20、baCxf),( 0)(ff ),(ba得 。0)(f【例题 2】设 ，在 内可导，且 ，证明：存在 ，使得1,)(xf),0()1(f )1,(。f题型二：关于微分中值定理的惯性思维题【注解】对可导函数来说，若所研究问题中涉及三个或三个以上点时，最可能使用的工具就是拉格朗日中值定理【例题 1】设 ，在 内可导， ，且 在 内不为常数，,)(baCxf),()(bfaf)(xf,ba证明：存在 ，使得 。,0(f【例题 2】设 ， 在 上二阶可导， ，且 的最小点在,)(xf)(x,bMxf|)(| )(xf内，证明： 。),(ba )| aMfa三、高阶中值定理泰勒中值定理背景：求极限 。3
21、0sinlimx定理 4（泰勒中值定理）设函数 在 的邻域内有直到 阶导数，则有)(xf01n，)()(!2)()( 00)(20000 xRxfxffxf nn且 ，其中 介于 与 之间，称此种形式的余项为拉格郎日型余项，nnnfR)()!1)(0(0x若 ，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。0nnxo特别地，若 ，则称，)(!)0()(!2)0()( 20 xRnfxffxf n为马克劳林公式，其中 。)1()!1()nnfR【注解】常见函数的马克劳林公式1、 。)(!nx xoe2、 。)()!12(!3sin 122nnxo3、 。)()!(!1co22 nnxx4、 。)(1nxox5、 。16、 。)()(2)1ln( 1nnxox题型三：泰勒公式在极限中的应用【例题】求极限 。30silimx题型四：泰勒中值定理的常规应用【例题 1】设 ，在 内可导，且 ， ，证明：1,)(Cf),0( 0)1(f 1)(min1xf存在 ，使得 。,08
