1、12016 年考研数学二真题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的可能取值范0x)(lnx211)cos(x围是（ ）（A） （B ） （C ） （ D）),(2),(),(12),(2102下列曲线有渐近线的是（A） （B） （C） （D ）xysinxysin2 xysinxy12sin3设函数 具有二阶导数， ，则在 上（ ）)(f ffg)()(10,0（A ）当 时， （B ）当 时，0x)xf x)(xgf（C）当 时， （D）当 时，)(f()(f4曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）1472ty,1t（） （） (）
2、（）5001055设函数 ，若 ，则 （ ）xfarctn)()()(xf20xlim（） （） （） （） 1321316设 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu及 ，则（ ） 0202u（A） 的最大值点和最小值点必定),(yx都在区域 D 的边界上； 2（B） 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；),(yxu（C） 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；（D） 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上),(y7行列式 等于dcba0（A） （B） （C） （D ）2)(2)(bcad22cbd
3、a2cbda8设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关是向321, lk,31k32l量 线性无关的,（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 125dx10设 为周期为 4 的可导奇函数，且 ，则 )(f 2012,),()xxf )(7f11设 是由方程 确定的函数，则 ),(yxz4722zyeyz 21,|dz12曲线 的极坐标方程为 ，则 在点 处的切线方程为 LrL2,),(r13一根长为 1 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度
4、，则该细棒x10, 12x)(的质心坐标 x314设二次型 的负惯性指数是 1，则 的取值范围323121321 4xaxxf ),( a是 三、解答题15 （本题满分 10 分）求极限 )ln(limxdtetxt12116 （本题满分 10 分）已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值和极小)(yy1202)()(xy值17 （本题满分 10 分）设平面区域 计算0412yxyyxD.,|),( Ddxy)sin(218 （本题满分 10 分）设函数 具有二阶连续导数， 满足 若)(uf )cos(yefzx xxeyzyxz224)cos(，求 的表达式00,)(uf19 （本题满分
5、 10 分）设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：)(,xgfba.)(xf 10)(xg（1 ） ；xdta,0（2 ） batg dgffb )()()(20 （本题满分 11 分）设函数 ，定义函数列10,)(xf， ，)(f1 )(xf12 ),()(,xffnn1设 是曲线 ，直线 所围图形的面积求极限 nSxyn0y, Slim21 （本题满分 11 分）4已知函数 满足 ，且 ，求曲线),(yxf)(12yf yyfln)()(),21所成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积0, 22 （本题满分 11 分）设 ，E 为三阶单位矩阵302114A（1 ） 求方程组 的一
6、个基础解系；X（2 ） 求满足 的所有矩阵B23 （本题满分 11 分）证明 阶矩阵 与 相似n1 n021 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、下列反常积分中收敛的是（）（A） （B） (C) (D)2dx2lnxd21lndx2xe2、函数 在 内（）20si()lim(1)xttf(,)（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点53、设函数 ，若 在 处连续，则（）1cos,0()xf(,0)
7、()fx0（A） (B) (C) (D)0224、设函数 在 连续，其二阶导函数 的图形如右图所示，则曲线()fx,)()fx的拐点个数为（）y（A）0 (B)1 (C)2 (D)35、设函数 满足 ，则 与 依次是（）(uv)f， 2(,)yfx1uvf1uvf（A） ,0 (B)0， （C） - ,0 (D)0 ,-1216、设 D 是第一象限中曲线 与直线 围成的平面区域，函数2,4xy,3yx在 D 上连续，则 =（）(,)fxy()Dfd（A） （B）12sin42cos,indfrr 1sin224(cos,in)frdr（C ） （D）13sin42(,i)fd 1sin234(
8、,i)f7、设矩阵 A= ，b= ,若集合 = ，则线性方程组 有无穷多个解的21a21d1,Axb充分必要条件为（）（A） (B) (C) (D) ,ad,ad,ad8、设二次型 在正交变换 下的标准形为 其中 ，123(,)fxxPy2213y123P=(e,)若 ，则 在正交变换 下的标准形为（ ）3,Qe123(,)f(A) (B) (C) (D) 221y2y2213y2213y二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.69、设231arctn,txdyxy则10、函数 在 处的 n 阶导数2()f0()0nf11、设函数 连续， 若 ，
9、，则x20()(,xftd1()5(1)f12、设函数 是微分方程 的解，且在 处 取值 3，则 =yy0xy()yx13、若函数 由方程 确定，则 =(,)zx23xze(,)dz14、设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1 ， ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式2BA=B三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、 （本题满分 10 分）设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，()ln(1)sinfxxb2()gxk()fxg0x求 的值。,abk16、 （本题满分 10 分）设 ，D 是由曲线段 及直线
10、 所形成的平面区域， ，0Asin(0)2yAx,2yox1V分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若 ，求 A 的值。2V 1V得： 817、 （本题满分 10 分）已知函数 满足 ， ， ，求(,)fxy“(,)2(1)xxyfe(,0)1xfe2(0,)fy的极值。,f18、 （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中()Dxyd22(,),Dxyyx19、 （本题满分 10 分）7已知函数 ，求 零点的个数。211()xxftdt()fx20、 （本题满分 11 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初
11、始温度为 的物体在 的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至20C20，若要将该物体的温度继续降至 ，还需冷却多长时间？30C21、 （本题满分 11 分）已知函数 在区间 上具有 2 阶导数， ， ， ，设fx+a， fa0fxfx，曲线 在点 处的切线与 轴的交点是 ，证明bayf,bfx， 0ab22、 （本题满分 11 分）设矩阵 且 .10aA3AO(1) 求 的值；(2) 若矩阵 满足 ， 为 3 阶单位阵，求 .X22XEX2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，
12、请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是（ 0xln(12)x1(cos)x）（A） （B） （C） （D）(2,),21(0,)22、下列曲线中有渐近线的是（ ）（A） （ B）sinyxsinyx8（C） （D）1sinyx21sinyx4、曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）27,4tt（A） （B） （C） （D）10510105105、设函数 ，若 ，则 （ ）()arctnfx()fxf20limx（A） （ B） （C） （D）123136、设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足(,)u
13、xy及 ，则（ ）2020（A） 的最大值和最小值都在 的边界上取得(,)uxyD（B） 的最大值和最小值都在 的内部取得（C） 的最大值在 的内部取得， 的最小值在 的边界上取得(,)xy(,)uxyD（D） 的最小值在 的内部取得， 的最大值在 的边界上取得uD7、行列式 （ ）0abcd（A） （B）2()ab2()adbc（C） （D）dc28、设 为 3 维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组12,kl1323,kl线性无关的（ ）3（A）必要非充分条件9（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.
14、请将答案写在答题纸指定位置上.9、 .125dx10、设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则)(xf4 2,0)1(2)xxf )7(f11、设 是由方程 确定的函数，则 .(,)zy2274yzez1(,)2dz12、曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是 .LrL(,),)2r13、一根长为 1 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度 ，则该细棒的x0,1 2()1xx质心坐标 .x14、设二次型 的负惯性指数为 1，则 的取值范围是 .21231132(,)4fxaxa三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
15、算步骤.15、 （本题满分 10 分）求极限12()limlnxtedt1016、 （本题满分 10 分）已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小值.()yx21xy(2)0y()yx17、 （本题满分 10 分）设平面区域 ，计算 .2(,)14,0D2sin()Ddyx18、 （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续导数， 满足 .()fu(cos)xzfey2 2(4cos)xxzzeyxy若 ， ，求 的表达式.0f0f)fu19、 （本题满分 10 分）设函数 ， 在区间 上连续，且 单调增加， .()fxg,ab()fx0()1gx证明：（） （I ） ， ；xdt
16、xa)(0,ba（II） badtgbgff)(20、 （本题满分 11 分）设函数 ， .定义数列()1xf0,1， ， ， ，1x2()()ffx 1()()nnfxfx记 是由曲线 ，直线 及 轴所围平面图形的面积，求极限 .nSny limnS21、 （本题满分 11 分）已知函数 满足 ，且 .求曲线 所(,)fxy2(1)fy2(,)1()lnfyy(,)0fxy围图形绕直线 旋转所成旋转体的体积.11122、 （本题满分 11 分）设 为 阶单位矩阵.EA,302114（I）求方程组 的一个基础解系；x（II）求满足 的所有矩阵 .BB23、 （本题满分 11 分）证明： 阶矩阵
17、 与 相似.n1 n021 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1 ）设 ，其中 ，则当 时， 是（ ）cos1in()xx()2x0x()x（A）比 高阶的无穷小 （B）比 低阶的无穷小（C ）与 同阶但不等价的无穷小 （D）与 等价的无穷小（2 ）设函数 由方程 确定，则 （ ）()yfxcos()ln1xy2lim()1nf（A） （B ） （C） （D）12（3 ）设函数 ， ，则（ ）sin,0()=22fxx0()()xFf
18、td（A） 是函数 的跳跃间断点 （B） 是函数 的可去间断点F()Fx（C ） 在 处连续但不可导 （D ） 在 处可导()x ()x12（4 ）设函数 ，若反常积分 收敛，则（ ）1,()=,lnxexf1()fxd（A） （B ） （C） （D ）22202（5 ）设 ，其中函数 可微，则 （ ）()yzfxfxzy（A） （B ） （C） （D）2f2()yfx()fx()fxy（6 ）设 是圆域 在第 象限的部分，记kD2,|1k，则（ ）()(134)kIyxd（A） （B） （C） （D）1020I30I40I（7 ）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 ,BA则 可 逆 ，
19、 则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价（8 ）矩阵 与 相似的充分必要条件为1ab20b（A） a0,2（B） 为 任 意 常 数b（C ） ,（D） 为 任 意 常 数a2二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 1ln()limxx13(10) 设函数 ，则 的反函数 在 处的导数1()xtfed()yfx1()fy00ydx(11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为
20、，则 L 所围成的平面图形的面积为 cos3()6r(12)曲线 上对应于 的点处的法线方程为 2arctnl1xy1t(13)已知 ， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的31xe2xye23xye3 个解，该方程满足条件 的解为 0x01x（14 ）设 是三阶非零矩阵， 为 A 的行列式， 为 的代数余子式，若ijA(a)| ijijaijija0,12,3_则三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）当 时， 与 为等价无穷小，求 与 的值。0x1cos2cos3xxnana（16）
21、（本题满分 10 分）设 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， 分别是 绕 轴，D3y(0),xyVDx轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值。y 1yxVa（17）（本题满分 10 分）设平面内区域 由直线 及 围成.计算 。3,x82Dxdy（18）（本题满分 10 分）设奇函数 在 上具有二阶导数，且 .证明：()f1,(1)f（I）存在 ，使得 ；（II ）存在 ，使得 。 0（ ） ()f0,（ ） ()1ff（19）（本题满分 11 分）求曲线 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。331(,0)xyxy14（20 ） （本题满分 11 分）设函数 ，1()lnfx（I）
22、求 的最小值（II）设数列 满足 ，证明 存在，并求此极限 .nx1lnxlimnx（21 ） （本题满分 11 分）设曲线 的方程为 ，L2l()4ye（1 ）求 的弧长；（2 ）设 是由曲线 ，直线 及 轴所围平面图形，求 的形心的横坐标。D1,xxD（22 ） （本题满分 11 分）设 ，当 为何值时，存在矩阵 使得 ，并求所有矩阵10,aABb,aCAB。C（23 ） （本题满分 11 分）设二次型 ，记 。22123123123,fxaxxbx112233,ab（I）证明二次型 对应的矩阵为 ；fT（II）若 正交且均为单位向量，证明二次型 在正交变化下的标准形为二次型 。,f 21
23、y2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题:目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指 定位置上.15(1)曲线 的渐近线条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数 ，其中 为正整数,则 ( )2()()xxnxfee n(0)f(A) (B) (C) (D) 1!n 1!1!n1!n(3) 设 ，则数列 有界是数列 收敛的 1230(,23),n nnaSaa nSna( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)
24、 非充分也非必要(4) 设 则有 20sind,(12,3)kxIek( )(A) (B) (C) (D) 123I321II231II213I(5) 设函数 为可微函数，且对任意的 都有 则使不等式(,fxy） ,xy(,)(,)0,xy成立的一个充分条件是 12(,)(,)fxyf( )(A) (B) (C) (D) 122,y122,xy122,xy122,xy(6) 设区域 由曲线 围成，则 Dsin,5()dD( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设 , , , ,其中 为任意常数，则下列向10c2131c41c1234,c量组线性相关的为 ( )(A) (B)
25、 (C) (D) 123, 124, 134,234,16(8) 设 为 3 阶矩阵， 为 3 阶可逆矩阵，且 .若 ，AP102PA123,P则 ( )123,Q1Q(A) (B) (C) (D)0102201201二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9) 设 是由方程 所确定的隐函数，则 .()yx21yxe20xdy(10).2221limnnn(11) 设 其中函数 可微，则 .l,zfxyfu2zxy(12) 微分方程 满足条件 的解为 .2d3d01x(13) 曲线 上曲率为 的点的坐标是 .2yx(14) 设 为3阶矩阵，
26、， 为 伴随矩阵，若交换 的第1行与第2行得矩阵 ， 则A=3*AAB. *B三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数 ，记 ，1sinxf0limxaf(I)求 的值;a(II)若 时， 与 是同阶无穷小，求常数 的值.0xfk k(16)(本题满分 10 分)求函数 的极值.2,xyfe(17)(本题满分 12 分)17过 点作曲线 的切线,切点为 ,又 与 轴交于 点,区域 由 与直线(0,1):lnLyxALxBDL围成,求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.ABD
27、(18)(本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中区域 为曲线 与极轴围成.dD1cos0r(19)(本题满分 10 分)已知函数 满足方程 及 ,(fx()2()fxffx()2xfxfe(I) 求 的表达式;(II) 求曲线 的拐点.220()dxyfft(20)(本题满分 10 分)证明 , .21lncos1x(1)x(21)(本题满分 10 分)(I)证明方程 ，在区间 内有且仅有一个实根；xn-1+n的 整 数 1,2(II)记(I)中的实根为 ，证明 存在，并求此极限.nlimnx(22)(本题满分 11 分)设 ，10aA10(I) 计算行列式 ；(II) 当实数 为何值时，方
28、程组 有无穷多解，并求其通解.aAx(23)(本题满分 11 分)已知 ，二次型 的秩为 2，10Aa123,TfxAx(I) 求实数 的值；(II) 求正交变换 将 化为标准形.xQyf182011 年考研数学试题（数学二）一、选择题1.已知当 时，函数0x是 等 价 无 穷 小 ， 则与 kcxxf3sin)(A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42. 320)(),)()( limxffff x则处 可 导 ， 且在已 知A B C D002ff0f3.函数 的驻点个数为)3(2)1(ln)xxA0 B1 C2 D34.微分方程 的 特 解
29、形 式 为)0(2xeyA B)(xeaaC Dbx)(2xxbe5 设函数 具有二阶连续导数，且 ，则函数 在点)(f 0)(,(ff )(lnyfxfz（0，0）处取得极小值的一个充分条件A B 0)(,1)(ff 0)(,1)(ffC D6.设 的 大 小 关 系 是、则 KJI444 000 cosln,cotln,sinl xdKxdJxdIA IJK B IKJ C JIK D KJI7.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第一行得单位矩阵。记 则 A=,01,0121 PPA B C D2121112198 设 是 4 阶矩阵， 是
30、 A 的伴随矩阵，若 是方程组 的一),(321A* T)0,1(0Ax个基础解系，则 的基础解系可为0*xA B C D31,21,321,432,二、填空题9. xx10)2(lim10.微分方程 yyxey的 解满 足 条 件 0)(cos11.曲线 的弧长 s=_)40(tan0xd12.设函数 ，则,),xf dxf)(13.设平面区域 D 由 y=x,圆 及 y 轴所组成，则二重积分22Dxyda_14.二次型 ，则 f 的正惯性指数为3212321321),( xxxf _三、解答题15.已知函数 ，设 ，试求 的取值范围。xdtF02)1ln()( 0)(lim)(li0xFx
31、x 16.设函数 y=y(x)有参数方程 ，求 y=y(x)的数值和曲线 y=y(x)的凹凸区间及拐31tty点。17.设 ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极)(,xygfz值 g(1)=1,求 1,2yx18.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l:y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 是曲线 l 在点（x,y)外切线的倾角 ，求 y(x)的表达式。dx2019.证明：1）对任意正整数 n，都有 n1)l(12）设 ,证明 收敛。2(l21an a20.一容器的内侧是由图中曲线绕 y 旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。)(),(22 x
32、yx（1）求容器的容积。（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为 ；水的密度为 ）2/sg3/10mkg21.已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)=0,f(x,1)=0, ，其中Dadxyf),(，计算二重积分 。10,),(yxyD yxID),(22.X 0 1P 1/3 2/3Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/31)(2X求：（1） （X，Y）的分布；（2）Z=XY 的分布；（3） XY23.A 为三阶实矩阵， ，且2)(AR10（1）求 A 的特征值与特征向量；（2）求 A2010 年全国硕士研究生入学统一考
33、试数二试题解答一、选择题（18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）函数 的无穷间断点数为（ ）221()xf（A） （B） （C） （D）01321（2）设函数 ， 是一阶非齐次微分方程 的两个特解，若常数 ， 使1y2 ()ypxq得 是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）12（A） ， （B ） ，21（C） ， （D） ，3123（3）曲线 与 （ ）相切，则 （ ）2yxlnax0a（A） （B） （C） （D）4ee2ee（4）设 、 为正整数，则反常积分 的收敛性（ ）m
34、210ln()mxd（A）仅与 有关 （B）仅与 有关 （C）与 、 都有关 （D）与 、 都无关mn（5）设函数 由方程 确定，其中 为可微函数，且 。则(,)zxy(,)yzFxF20F（ ）（A） （B） （C） （D）xzxz（6） （ ）21lim()njij（A） （B ）20()xddy 10()1dxdy（C） （D ）10()1x120()（7）设向量组 可由向量组 线性表示，下列命题正确的是（ 12:,.rI12:,.,sI）（A）若向量组 线性无关，则 （B ）若向量组 线性相关，则sIrs（C）若向量组 线性无关，则 （D ）若向量组 线性相关，则I22（8）设 是 阶
35、实对称矩阵，且 ，若 ，则 相似于（ ）A42AO()3RA（A） （B） 1010（C） （D）1010二、填空题（914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9） 阶常系数齐次线性微分方程 的通解为32yyy（10 ）曲线 的渐近线方程为321x（11 ）函数 在 处的 阶导数ln()y0n()0ny（12 ）当 时，对数螺线 的弧长为0e（13 ）已知一个长方形的长 以 的速率增加，宽 以 的速率增加，则当l2/cmsw3/cms， 时，它的对角线增加速率为12lc5w（14 ）设 ， 为 阶矩阵，且 ， ， 则 AB33A2B12A1B三、解答题（152
36、3 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）（15 ） （本题满分 10 分）求 的单调区间与极221()()xtfed 值。23（16 ） （本题满分 10 分）（I）比较 与 （ ） ；10ln()nttd10lntdt1,23.（II）记 （ ） ，求 。lu,.limnu（17 ） （本题满分 11 分）设函数 由参数方程 （ ）所确定，其中 具有二阶导数，且()yfx2()xty1t()t， 。已知 ，求函数 。512()6234()dxt()t（18 ） （本题满分 10 分）一个高为 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 ，短轴为
37、的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐l 2ab中油面高度为 时（如图） ，计算油的质量。32b（长度单位为 ，质量单位为 ，油的密度为常数 ）mkg3/kgm（18 题图）（19 ） （本题满分 11 分）设函数 具有二阶连续偏导数，且(,)ufxy24满足等式 ，确定 ， 的值，使等式在变换 下2224150uuxyabxayb简化为 。20（20 ） （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 。22sin1cosDIrrd (,)0sec,4Dr（21 ） （本题满分 10 分）设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导， ， 。证明：存()fx0,1(0,1)(0)f1()3f在 ， ，使得
38、 。,2(,)2()f（22 ） （本题满分 11 分）设 ， ，已知线性方程组 存在两个不同的解。10A1abAxb（I）求 ， ； （II）求 的通解。aAx（23 ） （本题满分 11 分）设 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第一列为 ，0143AaQTAQ1(,2)6T求 ， 。Q2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符25合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数 的可去间断点的个数，则（ ）3sinxf1. 2. 3. 无穷多个.ABCD（2）当 时， 与 是等价
39、无穷小，则（ ）0xsifxax2ln1gbx. . . .1,6ab1,6b,6a1,6ab（3）设函数 的全微分为 ，则点 （ ）zfxydzxy0不是 的连续点. 不是 的极值点 . A,B,f是 的极大值点. 是 的极小值点.CfxyDxy（4）设函数 连续，则 （ ）, 22411, ,yxdfdfxd. . A241,xdfyB241,xf. .CDy（5）若 不变号，且曲线 在点 上的曲率圆为 ，则 在区fx yfx,2xyfx间 内（ ）1,2有极值点，无零点 . 无极值点，有零点. AB有极值点，有零点 . 无极值点，无零点.CD（6）设函数 在区间 上的图形为：yfx1,3
40、261()fx-2 0 2 3 x-1O则函数 的图形为（ ）0xFftd. . A()f0 2 3 x1-2-11 B()fx0 2 3 x1-2-11. .C()fx0 2 3 x1-11 D()fx0 2 3 x1-2-11（7）设 、 均为 2 阶矩阵， 分别为 、 的伴随矩阵。若 ，则分块AB*AB， A=B，矩阵 的伴随矩阵为（ ）0. . A*320B*023A27. .C*03A2BD*02A3B（8）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，若P， TPT10P=2，则 为（ ）=Q=+123123（ ， ， ） ， （ ， ， ） QAT. . A0B0. .C201D
41、102二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线 在 处的切线方程为 2-x=0ln()utedytt（ ， 0）（10 ）已知 ,则 +1kxe（11 ） nlimsi0xd（12 ）设 是由方程 确定的隐函数，则 ()yy1ex2x=0dy（13 ）函数 在区间 上的最小值为 2x0，(14)设 为 3 维列向量， 为 的转置，若矩阵 相似于 ，则 ， TT20T=三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.28（15 ） （本题满分 9 分）求极限 401cos
42、ln(1ta)limixxx（16 ） （本题满分 10 分）计算不定积分 l()dx(0)（17 ） （本题满分 10 分）设 ，其中 具有 2 阶连续偏导数，求 与,zfxyf dz2zxy（18 ） （本题满分 10 分）设非负函数 满足微分方程 ，当曲线 过原点时，其x020xyyx与直线 及 围成平面区域 的面积为 2，求 绕 轴旋转所得旋转体体积。1yD（19 ） （本题满分 10 分）求二重积分 ，xyd其中 22,1,Dxyy（20 ） （本题满分 12 分）设 是区间 内过 的光滑曲线，当 时，曲线上任一点处()-（ ， ） -2（ ， ） -0x的法线都过原点，当 时，函数 满足 。求 的表达式0x()yxy()y（21 ） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在f,ab,ab，使得 （）证明：若函
