1、1第一章 集合与充要条件一、集合的概念（一）概念1. 集合的概念：将某些 的对象看成一个 就构成一个集合，简称为 。一般用 表示集合。组成集合的对象叫做这个集合的 。一般用 表示集合中的元素。2. 集合与元素之间关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a A，记作 ；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a A，记作 。3. 集合的分类：含有 的集合叫做有限集；含有 的集合叫做无限集；的集合叫做空集，记作 。（二） 常用的数集：数集就是由 组成的集合。1. 自然数集：所有 组成的集合叫做自然数集，记作 ；2. 正整数集：所有 组成的集合叫做正整数集，记作 ；3. 整数集：所有 组成的集合叫做
2、整数集，记作 ；4. 有理数集：所有 组成的集合叫做有理数集，记作 ；5. 实数集：所有 组成的集合叫做实数集，记作 。（三） 应知应会：1. 自然数：由 和 构成的实数。2. 整数：由 和 构成的实数。偶数： 被 2 整除的数叫做偶数；奇数： 被 2 整除的数叫做奇数。3. 分数：把 平均分成若干份，表示这样的 或 的数叫做分数。分数中间的 叫做分数线。分数线 的数叫做分母，表示把一个物体 ；分数线 的数叫做分子，表示。4. 有理数： 和 统称有理数。5. 无理数： 的小数叫做无理数。6. 实数： 和 统称实数。二、集合的表示法表 示 法 列 举 法 描 述 法定 义 将集合中的元素 表示集
3、合的方法。 利用元素的 来表示集合的方法。具体方法1. 将集合中的元素 ；2. 用 分隔；3. 用 括为一个整体。1. 在 中画一条 ；2. 左侧写上集合的 ，并标出元素的 ；（如果上下文中能够明显看出集合中的元素为实数，可以不标出元素的取值范围。 ）3. 右侧写出元素所具有的 。【注】在使用描述法表示某些集合时，可以用 来叙述集合的 ，再用 括起来。优 点 明确、直接看到集合中的元素。 清晰地反映出元素的特征性质。不 足 能表示的集合有限。 抽象，不能直接看出元素。适用类型 一般用来表示有限集。 一般用来表示无限集。【几个常用集合的表示方法】（1）数集： 集 合 列举法 描述法偶数集合正偶数
4、集合负偶数集合奇数集合正奇数集合2负奇数集合（2）点集：在平面直角坐标系中，由 x 轴上所有点组成的集合由 y 轴上所有点组成的集合由第一象限所有点组成的集合由第二象限所有点组成的集合由第三象限所有点组成的集合由第四象限所有点组成的集合三、集合之间的关系集合间的关系 子 集 真子集 相 等定 义一般地，如果集合B 的元素 集合A 的元素，那么把集合 B 叫做集合 A 的子集。如果集合 B 是集合A 的 ，并且A 中有 元素 属于 B，那么把 B 叫做 A 的真子集。一般地，如果两个集合的元素 ，那么就说这两个集合相等。符号表示 B A（或 A B） B A（或 A B） B A（或 A B）读
5、 作 B A（或 A B） B A（或 A B） 图 示明 确1. 任何一个集合都是它自身的 。2. 空集是任何集合的 ；是任何 集合的 。3. 一个集合中有 n 个元素，则它的子集的数目为 ；真子集的数目为 。四、集合的运算（一） 交集1. 定义：一般地，对于两个给定的集合 A、B，由 的所有元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集。2. 记作：A B；读作：A B。3. 集合表示： 。_|_4. 图示：用阴影表示出集合 A 与 B 的交集。5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合 A、B ，有（1） ； （2） ；_BA _,（3） 。B_,（二）并集1. 定义：一般地，对于两个给定的
6、集合 A、B，由 的所有元素组成的集合叫做 A 与 B 的并集。2. 记作：A B；读作：A B。3. 集合表示： 。_|_4. 图示：用阴影表示出集合 A 与 B 的并集。A B ABA B35. 性质：由并集的定义可知，对任意的两个集合 A、B ，有（1） ； （2） ；_BA _,（3） 。BA,（二） 补集1. 全集：（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的 ，这个给定的集合叫做全集。（2）表示：一般用 来表示全集。（3） 在研究数集时，经常把 作为全集。2. 补集的定义：如果集合 A 是全集 U 的 ，那么，由 U 中 A 的所有元素组成的集合叫做 A 的补集。3.
7、记作： ；读作： 。4. 集合表示： _|_5. 图示：用阴影表示出集合 A 在全集 U 中的补集。6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合 A，都有（1） ； （2） ；_ACU _CU（3） ；)(（4） ； （5） _B。U五、充要条件（一）相关概念：1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。2. 命题的表示方法：使用小写英语字母 p、q、r、s 等表示命题。3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。5. “如果，那么”命题：一般形式为“如果 p，那么 q”。6. 题设（条件）：“如果”后接的 p。7. 结论：“那么”后接的 q。（二）充要条件
8、：1. 充分条件：“如果 p，那么 q”是 命题，而“如果 q，那么 p”是 命题，则称 p是 q 的充分条件。记作：p q；读作：由条件 p 结论 q。2. 必要条件：“如果 p，那么 q”是 命题，而“如果 q，那么 p”是 命题，则称 p是 q 的必要条件。记作：p q；读作：由结论 q 条件 p。3. 充要条件：如果 ，并且 ，那么称 p 是 q 的 且 条件，简称充要条件。记作：p q；读作：p 与 q 。4. 既不充分又不必要条件：如果 ，并且 ，那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件。第二章 不等式一、比较实数大小的方法（一）实数的大小与正负1. 正数 零，负数 零，正数 负
9、数。2. 两个正数，绝对值大的数 ；两个负数，绝对值大的数 。3. 正数的和为 数，负数的和为 数。4. 同号相乘（除）得 数；毅号相乘（除）得 数。5. 互为相反数的两个数之和为 ；互为倒数的两个数之积为 。（二）数轴1. 定义：数轴是一条规定了 、 、 的直线。2. 意义：数轴上的点与实数是 的关系。A B AUBA BA43. 在数轴上，原点所代表的实数是 ，原点右边的点所代表的实数是 数，原点左边的点所代表的实数是 数。4. 在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数 ，即，越往右的点代表的数越 ，越往左的点代表的数越 。5. 在数轴上，表示下列数的范围：（1）x 3；（2）x |
10、x(0)c描述法： 描述法：解 集 区间表示： 区间表示：数轴表示 x0 x0含绝对值的不等式 |xb(0)c去符号含绝对值的不等式 |axb(0)c去符号第三章 函 数一、函数的概念（一）函数的概念1. 概念：在某一个变化过程中有 个变量 和 ，设变量 的取值范围为 ，如果对于 内的每一个 值，按照某个 ， 都有的值与它对应，那么把 叫做 ，把 叫做 的 。记作： 。2. 明确：（1）x 叫做 ，它的取值范围是 叫做函数的 ；（2）y = f ( x ) 叫做 ；时，函数 对应的值 叫做函数在点 处的 ；0()yfx0y0x记作： 。 的集合 叫做函数的 。（3）函数定义中的两个要素是 和
11、。3. 函数定义域的求法：如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式的 的取值范围。（1）当 为整式时，函数的定义域是 ；()fx（2）当 为分式时，函数的定义域是 ；（3）当 为偶次根式时，函数的定义域是 ()f；x123 1230 x123 1230 x123 12307（4）分段函数的定义域是各段自变量取值集合的 ；（5）当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使解析式有意义，还要考虑自变量的 。4. 函数值及值域的求法：（1）求函数值：只要将 x 的各个值 函数解析式中进行 即可；（2）求函数的值域：所有函数值组成的集合。（2）函数的表示法1. 解析法：利
12、用 表示函数的方法叫做解析法。这个 叫做函数的 。【明确】求函数解析式的常用方法：待定系数法：已知函数的类型，可根据函数类型设其解析式，再由其他已知条件确定其系数。正比例函数的一般形式： ；反比例函数的一般形式： ；一次函数的一般形式： ；二次函数的一般形式： 。2. 列表法：利用 表示函数的方法叫做列表法。3. 图像法：利用 表示函数的方法叫做图像法。（1）函数的图像：在 中，以函数 的自变量 x 为 坐标，()yfx函数值 y 为 坐标的点 的集合。【明确】图像上每一点的坐标 都 函数解析式 ；(,)xy()f以 的每一组对应值 x，y 为坐标的点 都 ()fx(,xy。（2）作函数图像常
13、用的方法： 。其步骤是： ； ； 。二、函数的性质A函数的单调性（一）函数的单调性的概念：随着 的 而 （或 ）的性质叫做函数的单调性。设函数 在 内有意义。()yfx(,)ab如果对任意的 ， ，当 时，12（1）都有 成立，那么函数 叫做 内的增函数，()yfx叫做函数 的 ；()yfx（2）都有 成立，那么函数 叫做 内的减函数，()yfx叫做函数 的 ；()yfx如果函数 在区间 内是增函数或减函数，那么称函数在区间 内具()yfx,ab (,)ab有 ，区间 叫做函数 的 。,()yfx（2）函数的单调性的理解：1. 函数的单调性是与 紧密相关的，即函数的 。一个函数在定义域内的不同
14、区间内可以有 的单调性。2. 注意关键词：（1）对“任意”的“ ， ”，即 取特殊值，且必须 ；1x2(,)ab（2） “都有”即只要 就一定有 或 。3. 不是所有函数都有单调性： 函数是没有单调性的；有些函数在整个定义域内是单调性 的；有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 ；有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 。（3）函数的单调性的图像特点：对于给定区间上的函数 ，()yfx1. 函数图像从 到 ， 则称函数在该区间上单调递增是增函数；2. 函数图像从 到 ， 则称函数在该区间上单调递减是减函数。（4）判断函数的单调性：1. 图像法：作出函数的 ，根据图像的 判断函数的单调性。2
15、. 定义法：根据函数的单调性的定义判断函数的单调性。其步骤为：（1）设定自变量：设 ；8（2）作差变形：作 ，并通过 、 等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）确定大小：确定 与 的大小；（4）得出结论：根据 得出结论。（5）函数的单调性的应用：1. 根据 比较 的大小；2. 根据 比较 的大小；3. 在给定区间内求函数的 值或 值。B函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的概念：设函数 的定义域为 D，如果对于任意的 ，都有 ，则()yfxxD（1） ，那么函数 叫做偶函数；()yf（2） ，那么函数 叫做奇函数。（2）函数的奇偶性的理解：1. 函数按奇偶性可分为： 、 、 和。2. 讨论函
16、数的奇偶性的一个前提条件：函数的 。（1）若函数的 ，再讨论 ；（2）若函数的 ，则这个函数 。（3）函数 是既奇又偶函数。（3）函数的奇偶性的图像特点：1. 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像 ；如果一个函数的图像 ，则这个函数是偶函数。2. 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像 ；如果一个函数的图像 ，则这个函数是奇函数。3. 一般地，设点 为平面内的任意一点，则(,)Pab（1）点 关于 x 轴的对称点的坐标为 ；(,)（2）点 关于 y 轴的对称点的坐标为 ；（3）点 关于原点 O 的对称点的坐标为 。(,)Pab（4）判断函数的奇偶性：1. 图像法：作出函数的 ，根据图像的 判
17、断函数的奇偶性。2. 定义法：根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性。其步骤为：（1）求出函数的 ；（2）判断定义域的对称性： 若定义域 ，则函数为 ； 若定义域 ，则进行 ；（3）比较 与 ：确定 ，则函数为 ()fx(f；或 ，则函数为 ；或 ，则函数为 。3. 在公共定义域内：（1）若函数解析式中只含有 x 的偶次方，则函数为 函数；（2）若函数解析式中只含有 x 的奇次方，且 ，则函数为 函数；若函数解析式中只含有 x 的奇次方，且 ，则函数为 函数。（5）函数的奇偶性的应用：1. 利用函数图像的对称性解决问题；2. 求函数关于原点对称的区间上的函数值或解析式；3. 函数的奇偶性与单调
18、性的综合问题：主要体现在两个重要的性质；（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ；（2）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 。三、函数的实际应用举例（一）分段函数1. 定义：函数在自变量的 取值范围内，需要用 的 来表示，这种函数叫做分段函数。92. 分段函数的定义域：就是自变量的各个不同取值范围的 。3. 分段函数的图像：在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同的取值范围内，根据相应的式子作出相应部分的图像。（二）函数的实际应用1. 关键问题：（1）根据已知条件建立 ；（2）进行最值计算。（3）函数的定义域要受到 的制约。2. 主要类型：（1）图形的面积：矩形的面积： ；S圆的面积：
19、。（2）营销问题：成本 = ；收入 = ；利润 = 。第四章 指数函数与对数函数一、实数指数幂（一）n 次方根：一般地，如果 （ 且 ） ，那么 x 叫做 a 的 n*Nn1次方根。1. 当 n 为偶数时：正数 a 的偶次方根有 个，分别用 和 表示，其中 叫做 a 的 n 次算术根；负数的 n 次方根 。2. 当 n 为奇数时：实数 a 的奇次方根只有 个，记作 。3. 无论 n 为奇数还是偶数，零的 n 次方根是 。（2）n 次根式：形如 （ 且 ）的式子叫做 a 的 n 次根式，*N1其中，n 叫做 ，a 叫做 。（三）整数指数幂：当 且 时，*n0； ；_na_n； ； 。01a2a（
20、四）分数指数幂：利用分数指数幂来表示 。1. 规定： ；当 有意义，且 时， 。_nmnm0a_nm其中： ，且 .*N,1； ； ； 。21a_31a_2a312. 当 n 为奇数时， a 的取值范围是 ；当 n 为偶数时， a 的取值范围是 。（五）实数指数幂的运算法则： ，0R,qp； ； ； 。_qpa_qp _)(a_)(pab二、对数（一）对数定义：如果 （ ） ，那么 b 叫做 ，Nab1,0a记作 ，其中 a 叫做 ，N 叫做 。（二）指数式与对数式：形如 的式子叫做指数式；形如 的式子叫做对数式。当 且 ， 时，在下式中标出相应字母与名称：0a10N_log_10（三）常用对
21、数与自然对数：1. 常用对数：以 为底的对数叫做常用对数， 简记为 ；2. 自然对数：以 为底的对数叫做自然对数， 简记为 。（四）对数的性质： 且0a11. ， ， ；_1loga_log_logna2. ， ， ；3. ， ， ；lnelneln4. ，即 和 没有对数.0_N（五）对数的运算法则： 且 ， ，0a10MN1. ， ，_)lg(M_lg， ；_n _2. ， ，)l(NlnN， ；_n _13. ， ，_)(logMa _logMa， ，n N。_lman三、幂函数、指数函数、对数函数（一）幂函数1. 概念：形如 （a ）的函数称为幂函数。【明确】幂函数的自变量是 数， 数
22、是常数。2. 性质：（1）定义域：看 。 当 a 是正整数时， ； 当 a 是负整数时， ； 当 a 是正分数，且分母为偶数，分子为奇数时， ；当 a 是正分数，且分母为偶数，分子为偶数时， ；当 a 是正分数，且分母为奇数时， ； 当 a 是负分数时， 。（2）值域：由 和 决定。（3）单调性和奇偶性：看 ，具体问题，具体分析。（二）指数函数1. 概念：形如 （a ）的函数称为指数函数。【明确】指数函数的自变量是 数， 数是常数。2. 性质：函 数定义域 值 域底 数 10a 1a图 像指数函数的图像一定经过点 。单调性在 上是 函数；当 时，y ；0x当 时， 。在 上是 函数；当 时，
23、；0x当 时，y 。奇偶性 指数函数是 函数。（三）对数函数1. 概念：形如 （a ）的函数称为对数函数。【明确】对数函数的自变量是 数， 数是常数。2. 性质：函 数定义域 值 域底 数 10a 1a11图 像对数函数的图像一定经过点 。单调性在 上是 函数；当 时，y ；10x当 时，y 。在 上是 函数；当 时，y ；10x当 时，y 。奇偶性 对数函数是 函数。（四）指数函数与对数函数的应用1. 指数模型： ，其中 c 为 ，a 为 。一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化的时间求结果时，用指数模型。2. 对数的应用：一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化后的数据或数据变化的倍
24、数，用对数求变化的时间。即 。数 据 变 化 的 倍 数变 化 百 分 数log第五章 三角函数一、角的概念的推广（一）任意角的概念1. 角的概念：一条 绕着它的 旋转到另一位置形成的图形叫做角。旋转开始的位置叫做角的 ，终止的位置叫做角的 ，端点叫做角的 。正角：按 方向旋转所形成的角；负角：按 方向旋转所形成的角；零角： 旋转所形成的角。2. 终边相同的角：与角 终边相同的角（包括角 在内）都可以写成 。与角 终边相同的角有 个。与角 终边相同的角所组成的集合为 。3. 象限角和界限角：将角的 与 重合， 与 重合。（1）象限角：角的 在 的角就叫做第几象限的角；第一象限的角的集合是： ；
25、第二象限的角的集合是： ；第三象限的角的集合是： ；第四象限的角的集合是： ；锐角： ，钝角 ；【明确】锐角 是第一象限的角，而第一象限的角 是锐角；钝角 是第二象限的角，而第二象限的角 是钝角。（2）界限角：角的 在 的角就叫做界限角；直角： 的角，平角： 的角，周角： 的角。终边在 x 轴正半轴上的角的集合是： ；终边在 x 轴负半轴上的角的集合是： ；终边在 x 轴上的角的集合是： ；终边在 y 轴正半轴上的角的集合是： ；终边在 y 轴负半轴上的角的集合是： ；终边在 y 轴上的角的集合是： 。（二）弧度制1. 弧度制：（1）弧度：把等于 长的 所对的 叫做 1 弧度的角。12记作：
26、或 。【规定】正角的弧度为 ，负角的弧度为 ，零角的弧度为 。（2）弧度制：以 为单位来度量角的单位制叫做弧度制。（3）弧度的计算： 公式： ； 角度与弧度的转换： ， ；。_)(1,_1rad2. 常用特殊角的弧度与角度之间的转换：角度 034560912035108弧度角度 210524073015306弧度2、三角函数（一）三角函数的定义1. 定义：一般地，设角 是平面直角坐标系中的一个任意角，点 为角 上任意一点，点 到 的距离为 且 ，那P么角 的正弦、余弦和正切分别定义为：。_tan_,cos_,sin 2. 三角函数包括： 、 和 。3. 三角函数的正负号：点 P 的坐标所在的象
27、限 x y sincostan第一象限第二象限第三象限第四象限【记忆要点】第一象限 正，第二象限 正，第三象限 正，第四象限 正。4. 特殊角三角函数值：034560918027360弧度sincotan（二）同角三角函数的基本关系式1. 平方关系： 。（1）转化一： ； 当角 是第 、 象限的角时，取 号，即 ； 当角 是第 、 象限的角时，取 号，即 ； 若没有说明角 终边所在象限，则 。（1）转化二： ； 当角 是第 、 象限的角时，取 号，即 ； 当角 是第 、 象限的角时，取 号，即 ； 若没有说明角 终边所在象限，则 。2. 比例关系： 。转化： 、 。【明确】（1）单位圆：在平面
28、直角坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆叫做单位圆。（2）必须是同角才具备以上关系式。13（3）角 的终边与单位圆的交点 P 的坐标为 。（3）诱导公式1. 终边相同的角的同名三角函数值 。2. 设角 是第一象限的角（一般为 ） ，则有90（四）三角函数的图像和性质1. 正弦函数：（1）解析式： ；（2）定义域： ；（3）值 域： ；（4）周期性： 周期性，最小正周期是 ；（5）单调性：正弦函数在每一个区间 上分别是增函数，函数值)(Zk由 增大到 ；正弦函数在每一个区间 上分别是减函数，函数值)(由 减小到 ；当 时，y 取最大值， ；x)(Zk_maxy当 时，y 取最小值， ；in（6）奇
29、偶性：由诱导公式 可知正弦函数是 函数；（7）函数图像：“五点法”作图。 x 的取值范围是： ； 五个关键点：xysin 正弦函数的图像：2. 余弦函数：（1）解析式： ；（2）定义域： ；（3）值 域： ；（4）周期性： 周期性，最小正周期是 ；14（5）单调性：余弦函数在每一个区间 上分别是增函数，函数值)(Zk由 增大到 ；余弦函数在每一个区间 上分别是减函数，函数值)(由 减小到 ；当 时，y 取最大值， ；x)(Zk_maxy当 时，y 取最小值， ；in（8）奇偶性：由诱导公式 可知余弦函数是 函数；（9）函数图像：“五点法”作图。 x 的取值范围是： ； 五个关键点：xycos
30、余弦函数的图像：3. 正切函数：（1）解析式： ；（2）定义域： ；（3）值 域： ；（4）周期性： 周期性，最小正周期是 ；（5）单调性：正切函数在每一个区间 上分别是增函数；k2,2)(Z（6）奇偶性：正切函数是 函数。三、已知三角函数值求角1. 终边相同的角的三角函数值 ；2. 已知角的大小，则相应的三角函数值是 的；3. 已知三角函数值，则相应的角有 个，可根据终边相同的角求出所要求范围内的角。第六章 数 列一、基本概念（一）数列的概念：按照 排成的 叫做数列；数列中的 叫做数列的 。从开始的项起，自左至右排序，各项按照其 依次叫做数列的 （或 ） ， ， ， ， ， 。 其中反映各项
31、在数列中的 的 分别叫做对应的项的 ，取值范围是 。（2）数列的分类：有穷数列：具有 的数列；无穷数列：具有 的数列。（3）数列的表示：一般形式是 ，简记作 。通常把第 n 项叫做数列的 或 。一个数列的第 n 项 如果能够用a关于 的一个 来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。二、等差数列（一）等差数列的定义：如果一个数列从第 项起，每一项与 一项的 都等于 ，那么这个数列叫做等差数列。这个 叫做等差数列的 ，一般用字母 表示。15可知： ，则 。_1na_1na（2）等差数列的通项公式： 。【明确】等差数列的通项公式中，可以把 看作 的函数。（3）等差数列的前 n 项和公式： ；。（
32、4）等差数列的应用：1. 已知三个数成等差数列，一般可以将这三个数设为 。2. 银行存款的年利率与月利率的关系是：月利率 = 。三、等比数列（一）等比数列的定义：如果一个数列从第 项起，每一项与 一项的 都等于 ，那么这个数列叫做等比数列。这个 叫做等比数列的 ，一般用字母 表示。可知： ，则 。_1na_1na（3）等比数列的通项公式： 。【明确】在等比数列中， 和 都不能为 。（4）等比数列的前 n 项和公式： ；。（5）等比数列的应用：1. 已知三个数成等比数列，一般可以将这三个数设为 。2. 贷款一般采用 ，含义是将前期的本金及利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息，俗称“利
33、滚利” 。第七章 平面向量一、平面向量的有关概念（一）向量的概念1. 向量的定义：既有 又有 的量叫向量。2. 向量的要素： 和 。3. 向量的表示方法：（1）图形表示： ，即带有 的线段来表示向量。（2）字母表示：以点 A 为起点，点 B 为终点的向量记作： ，也可以记作： 。4. 向量的模：向量的 （即有向线段的 ）叫做向量的模。向量 的模记作： ；向量 的模记作： 。Ba（二）特殊的向量：1. 零向量： 为 的向量叫做零向量，记作： ；零向量的方向是 的。2. 单位向量： 为 的向量叫做单位向量。3. 非零向量 的负向量：与非零向量 的模 ，且方向 的向量叫做向aa量 的负向量，记作：
34、。【规定】零向量的负向量为 。（三）相等的向量与共线向量：1. 相等的向量：当向量 与向量 的模 ，且方向 时，称向量 与向ab a量 相等，记作 。b2. 共线向量：（1）互相平行的向量：方向 或 的两个 向量叫做互相平行的向量，向量 与向量 平行记作 。ab（2）向量的平移：在同一平面内，保持向量的 和 不变，可以将向量平移至任何需要的位置。（3）共线向量：任意一组互相平行的向量都可以平移到 上，所以互相平行的向量又叫做共线向量。（4）规定： 与任何一个向量都平行。二、平面向量的线性运算（一）向量的加法1. 向量的加法运算：求向量的 的运算叫做向量的加法。运算的结果是 。2. 向量的加法运
35、算法则：16（1）向量加法的三角形法则：已知向量 、 ，在平面上任取一点 A，作 ，abaB，作向量 ，则向量 叫做向量 与 的和，记作 。bBCACabb（2）向量加法的平行四边形法则：已知向量 、 ，在平面上任取一点 A，作 ，abaB，以 ， 为邻边平行四边形 ，则以 A 为起点的对角线 。bADBADBCDbCb3. 向量加法运算律：（1）零向量： ；_0a（2）交换律： ；b（3）结合律： 。)()(c（2）向量的减法1. 向量的减法运算：求向量的 的运算叫做向量的减法。运算的结果是 。2. 向量的减法运算法则：（1）起点相同的两个向量，它们的差向量是由 向量的终点指向 向量的终点，
36、即若设 ， ，则 ；aABbC_ACBa（2）终点相同的两个向量，它们的差向量是由 向量的起点指向 向量的起点，即若设 ， ，则 。3. 向量减法运算律：减去一个向量等于加上它的 。即 。(_)ba（3）向量的数乘运算1. 向量的数乘运算： 与 的 运算叫做向量的数乘运算。与 的 仍然是一个 ，记作 。a2. 向量的数乘运算法则：（1） 的大小：即它的 为 ；a _（2） 的方向：当 时，0|a 若 ， 与 ； 若 ， 与 。0 0a3. 向量数乘运算的运算律：若 、 为实数，则（1） ；_()a（2） ；(（3） 。)b4. 向量的数乘运算的集合意义：就是把向量 沿它的 方向或 方向a放大或
37、缩小到原来的 倍。（4）平面向量的线性运算1. 平面向量的线性运算包括：向量的 、向量的 和向量的 运算。2. 向量的线性组合： 叫做向量 与 的一个线性组合，其中 、 均ba 为 。3、平面向量的内积（1）两个向量的夹角1. 向量夹角的定义：设向量 与向量 都是非零向量，作 ， ，则 abaOAbB叫做向量 与向量 的夹角，记作 。ab2. 明确：（1）作向量的夹角时，两个向量必须在 起点出发；（2）向量的夹角的取值范围是 。（2）向量的内积1. 向量的内积的定义：两个向量 与向量 的 与它们的 的 ab的 叫做向量 与向量 的内积，记作 。【明确】向量的内积的运算结果是 量。aa172.
38、运算公式： 。_ba3. 几个重要的结果：（1） _,cos（2） ；22()a（3） ；_|（4） 。_0b四、平面向量的坐标表示（1）用坐标表示平面向量1. 用起点与终点的坐标表示：设起点为 ，终点为 ，则向量 的坐标),(1yxA),(2yxBAB可以表示为 ，即 坐标 - 坐标。_,(_AB2. 用单位坐标表示：设 、 分别是平面直角坐标系内 x 轴和 y 轴上的单位向量，对ij任何一个平面向量 都存在着一对有序实数对 使得 ，则这个有a),(yjia序实数对 就叫做向量 的坐标，记作 。a_a（2）向量运算的坐标表示在平面直角坐标系中，设 ， ，则),(1yx),(2yxb1. 向量的模的运算： ； 。_|
