1、 http:/ 2017 考研数学二真题及答案解析一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）（1）若函数 在 处连续，则（ ）0,cos1)(xbaf 0x。 。)(A2ab )(B21ab。 。C0D【答案】 )(【解】 ， ，axfx21cos1lim)0(bf)0()因为 在 处连续，所以 ，从而 ，应选 。)(f )()0(ff 21a)(A（2）设二阶可导函数 满足 ， ，且 ，则（ ）)(xf 1)f0f 0)(xf。 。)(A10xf )(B1f。 。C1001)(dxff D1001)(dxfxf【答案】 B【解】取 ，显然 ，应选 。12)(xf10)(x
2、f)(B（3）设数列 收敛，则 （ ）n当 时， 。 当 时， 。)(A0silmnnx0linx)(B0)|(limnnx0limnxhttp:/ 当 时， 。 当 时， 。)(C0)(lim2nnx0limnx)(D0)sin(linx0limnx【答案】 )(D【解】令 ，由 得 。Axnli 0sin)si(li Axnn（4）微分方程 的特解可设为 （ ）)2co1(842eyxy。 。)(A)sinco(2CBex B)2sinco(2xCBxeA。 。C2i2xx(Di2x【答案】 )(【解】特征方程为 ，特征值为 。0842i2,1对方程 ，特征形式为 ；xey2 xAey1对
3、方程 ，特解形式为 ，xcos842 )2sinco(2xCBx故方程 的特解形式为)1(2eyx，应选 。2sinco2xCBAeyx )(（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 都有 ，),(f ),(y0),(),(yxfxf则 （ ）。 。)(A)1,(0,ff)(B)1,(0,ff。 。C,ff D,ffhttp:/ 【答案】 )(D【解】 得 关于 为增函数，从而 ；0,xyf),(yxf ),0(),1(yff由 得 关于 为减函数，从而 ，),(yf),(f ),(,(xff由 得 ；),0(),1(ff)0,(),1ff由 得 ，故 ，应选 。,xff ,(ff )1,0(,f
4、f)(D（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 （单位： ）处，图中，实线表示甲的速度曲m线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为)(1tvsm/ )(2tv，计时开始后乙追甲的时刻为 （单位： ），则（ ）3,200ts。 。)(A10t )(B2150t。 。C250tD0t【答案】【解】（7）设 为 3 阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则A),(321P 2011AP（ ）)(321。 。)A21 )(B32。 。(C32D31http:/ 【答案】 )(B【解】由 得 ，2011AP201PA于是 ，3232321 1,101)( 应选 。)(B（8）
5、已知矩阵 ，则 （ ）201,02,102CBA与 相似， 与 相似。 与 相似， 与 不相似。)(C)(AB与 不相似， 与 相似。 与 不相似， 与 不相似。ABDC【答案】 )(【解】 的特征值为 ，CBA, 1,231由 得 ，则 可相似对角化，从而 ；102E)(AEr CA由 得 ，则 不可相似对角化，从而 与 不相似，应选102B2)(Br B,。)(二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）http:/ （9）曲线 的斜渐近线为 。)2arcsin1(xxy_【答案】 。【解】 ，1)2arcsin1(limli xxy，斜渐近线为 。1ili)(li xy
6、xx 2xy（10）设函数 由参数方程 确定，则 。)(ytyetsin, _|02tdxy【答案】 。81【解】 ，tedtxycos/，3202 )1(cossin1)(cosin/)1s(| ttttttt etedxdy 则 。8|02txy（11） 。_)1(ln02dx【答案】 。【解】 )1(ln)1(ln002xddx2|)(|l 002xxxhttp:/ （12）设函数 具有一阶连续的偏导数，且 ，),(yxf dyexdyexdf )1(),(，则 。0),(f _,f【答案】 yxe【解】由 得)()1(),( yyy xedexddf ，Cxeyfy),(再由 得 ，故
7、 。0,f yxef),(（13） 。_tan10ydx【答案】 cosl【解】 。1cosln|csltantanta 10101010 xxdydxxdy（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则 。1324A2_a【答案】 。1a【解】由 得211324，解得 。a2,三、解答题（15）（本题满分 10 分）求 。30limxdtexhttp:/ 【解】 ， xuxuutxt dedede000则 303030 limlimli xxxt uxuxx 。2li0xex（16）（本题满分 10 分）设函数 具有二阶连续的偏导数， ，求 ， 。),(vuf )cos,(xefy0|xdy02|x
8、【解】 ， ；21sinfxfedxy)1,(|0fdx，)sin(sico)si( 221212112 fxfexffffxx 则 。),(,),(| 21102 fffdxy（17）（本题满分 10 分）求 。nkk12)l(lim【解】 10112 )ln()ln(li)ln(limdxkkknn xxxd 1022102 )(|)l()(l。41ln24ln)1(ln210 x（18）（本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值。)(xy033yx)(xyhttp:/ 【解】 两边对 求导得0233yxx，令 得 ，对应的函数值为 ， ；2yx1,2101y2两边再对 求导
9、得0332 x，62yyx由 得 为极小点，极小值为 ；0)1( 1x0y由 得 为极大点，极大值为 。y 1（19）（本题满分 10 分）设函数 在 上二阶可导且 ， 。)(xf1,00)1(f 0)(limxf证明：（ ）方程 在 内至少有一个实根；I)(f,（ ）方程 在 内至少有两个不同的实根。0)(2xffx)1,(【证明】（ ）由 得 ，Ilim0xf又存在 ，当 时， ，即当 时 ，),(0)(x),(x0(xf于是存在 ，使得 ，,0ccf因为 ，所以存在 ，使得 。)1(f )1,0(,0x0)(xf（ ）令 ，I)(fx因为 ，0)(所以由罗尔定理，存在 ，使得 ，)1,0
10、(,(x0)(http:/ 而 ，故 ，)()()(2xffx 0)()(2ff即 在 内至少一个实根。02ff 1,（20）（本题满分 11 分）已知平面区域 ，计算二重积分 。2|),(2yxyDDdx2)1(【解】由对称性得，DDdxdx)1()1(22令 （ ），则sin,corysin20,r sin20232 )co()1( drrdxD 202040 242 sinsin8)siicos( d 20206204202042 sin4i8iinin)18 dddd。51)36543(（21）（本题满分 11 分）设 是区间 内的可导函数，且 。点 是曲线(xy)23,()1(yP上
11、的任意一点， 在点 处的切线与 轴相交于点 ，法线与 轴相交于点)(:xyLLPy,0PYX，若 ，求 上的点的坐标 满足的方程。0,PXPY),(x【解】切线为 ，)(xXy由 得 ；0XYP法线为 ，)(1xXyhttp:/ 由 得 。0YyxXP由 得，整理得 ，即 ，yxyxyd1xyd令 ，则 ，整理得 ，uxy1udx2ud分离变量得 ，积分得21，Cxulnarct)ln(2由 得 ，故 满足的方程为 。0)1(yC),(y xyxylnarct)1ln(22（22）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 有三个不同的特征值，),(321A且 。213（ ）证明：I)(Ar（ ）若
12、 ，求方程组 的通解。321AX【证明】（ ）设 的特征值为 ，IA321,因为 有三个不同的特征值，所以 可以相似对角化，即存在可逆矩阵 ，使得P，3211AP因为 两两不同，所以 ，321,2)(Arhttp:/ 又因为 ，所以 线性相关，从而 ，于是 。213321, 3)(Ar2)(r（ ）因为 ，所以 基础解系含一个线性无关的解向量，I)(ArOX由 得 的通解为321,0（ 为任意常数）。1kXk（23）（本题满分 11 分）设二次型 在正交变换 下的标3231212321321 8),( xxaxxf QYX准型为 ，求 的值及一个正交矩阵。21ya【解】 ， ， ，aA14321xXAXxfT),(321因为 ，所以 。030|由 得 。)2(3142| aA由 得 。0)6(321442| E 0,6,3321由 得015143Ahttp:/ 对应的线性无关的特征向量为 ；31 1由 得04176AE对应的线性无关的特征向量为 ；62 12由 得 对应的线性无关的特征向量为 。0210AE3123规范化得， ， ，1311021263故正交矩阵为 。612310Q
