1、 http:/ 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（18 小题,每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)+2 1 +2 (C) (D)+2 1 +2 【答案】D。【解析】题干中给出 4 个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。；+2 1=2|+2 = +；+2 =+2 ()=12()2|+2 = +；+2 1=+2 1()=()|+2 = +2 =+2 x= |+2 +2 -，=2-2-|+2 =3-2因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数
2、学一元函数积分学反常积分(2)函数 在(-,+)内()=lim0(1+sin)2(A) (B)有可去间断点连续http:/ (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有1()=lim0(1+sin)2,=lim02(1+sin1)= lim0=(x 0)在 处无定义， () x=0且 所以 是 的可去间断点，选 B。lim0()=lim0=1, x=0 ()综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(3)设函数 ( ).若()=cos1, 0，0, 0 0,0 f()在 =0处连续 ， 则(A) (B)-1 02 00，0,
3、0再有f+(0)=lim0+()(0) =lim0+1cos1= 0, 1,不存在 ， 1， f-(0)=0于是， 存在 此时 .f(0) 1， f(0)=0当 ， ，1时lim01cos1=0=lim01sin1 0, -10,不存在 ， -10， http:/ 因此， 在 连续 。选 A() x=0 -1综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数 在(-,+)内连续，其f() ()二阶导函数 的图形如右图所示，()则曲线 的拐点个数为 A O By=() (A) (B)0 1(C) (D)2 3【答案】C【解析】 在(-,
4、+)内连续，除点 外处处二阶可导。 的可疑拐点是f() x=0 y=()的点及 不存在的点。()=0 ()的零点有两个，如上图所示，A 点两侧 恒正，对应的点不是 拐点，B 点两侧() () y=()，对应的点就是 的拐点。()异号 y=()虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而( ) 是 的拐点。(0) x=0 () 0,(0)y=()综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数 满足 则 与 依次是f(,)(+,)=22， |=1=1 |=1=1(A) (B)12,0 0,12(C) (D)-12,0 0,-12【答案】D【解析】先
5、求出 f(,)令=+,=, =1+,=1+,http:/ 于是 f(,)=2(1+)2- 22(1+)2=2(1)1+ =2( 21+1)因此|=1=1=2( 21+1)|(1,1)=0|=1=1= 22(1+)2|(1,1)=12综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学-多元函数微分学- 多元函数的偏导数和全微分(6)设 D 是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，函数2=1,4=1 y=,=3在 D 上连续，则f(,) f(,)=(A)341sin212sin2(cos,sin)(B)34 1sin212sin2(cos,sin)(C)341sin212sin2(cos,sin)
6、(D)34 1sin212sin2(cos,sin)【答案】 B【解析】D 是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极2=1,4=1 y=,=3坐标变换，将 化为累次积分。f(,)D 的极坐标表示为34， 1sin2 12sin2，因此f(,)=34 1sin212sin2(cos,sin)综上所述，本题正确答案是 B。http:/ 【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵 A= ,b= 。若集合 ，则线性方程 有无穷多解的充分必1 1 11 2 1 4 2 12 =1,2 =要条件为(A) (B), ,(C) (D), ,【答案】D【解析】 =
7、 有无 穷 多解 ()=()0，D 是由曲线段 及直线 所=(02) =0,=2围成的平面区域， 分别表示 D 绕 轴与绕 轴旋转所成旋转体的体积。若 ，求 A 的1,2 1=2值http:/ 【解析】1=202sin2=2201-cos22 =224由 A0 可得 2=220=220cos= 2(cos|2020cos)=2又 可得 A=1=28【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(17)已知函数 (,)满 足(,)=2(+1),(,0)=(+1),(0,)=2+2求 的极值。(,)【解析】由 ，得(,)=2(+1)(,y)=(+1)2+()又已知 可得(,0)=(+1)+()=(+1
8、)得 ,从而()= (,y)=(+1)2+ http:/ 对 积分得 (,)=(+1)2+(-1)+()又 ， 所以(0,)=2+2 ()=0所以 (,)=(+1)2+(-1)于是 , ,(,)=(2+2) (,)=(+2+2+2)=2(,) 令 得驻点(0,-1)，所以(,y)=0， (,)=0A= B=(0,1)=1 (0,-1)=0C=(0,1)=2由于 ,所以极小值为20 (0,-1)= -1【考点】高等数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18)计算二重积分 ,(+)其中 D=(,)|2+22,2【解析】因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 =0y原式= 2=210222 2=21
9、02( 222)=2102222104令 ,则x= 2sinhttp:/ = =10222404221240(14)=8又 104=15所以二重积分=4-25【考点】高等数学多元函数积分学二重积分的计算(19)已知函数 ，求 的零点个数f()=11+2+21 1+ f()【解析】,令 得驻点 ,f()= 1+2+21+2 f()=0， x=12当 时， , 单调减少；x12 f()0 f()因为 ，所以 在 上存在唯一零点。f(1)=0 f() (12,+)又 , ，所以 在 上存在唯一零点。f(12)0.解得http:/ =+20将初始条件 T(0)=120 代入上式，解得 C=100将 t
10、=30,=30代入得 =1030,所以=1001030+20令 T=21，得 t=60,因此要降至 21 摄氏度，还需 60-30=30（min）【考点】高等数学常微分方程一阶常微分方程，微分方程应用(21)已知函数 在区间 上具有 2 阶导数， 曲线f() ,+ f()=0,() 0,()0.设 ,在点( )处的切线与 轴 的交点是( ),证明=f() ,() x 0,0 a0 f() b可知 ()()=0又 ,故 ,即有()0()()0 00 () ()0 0综上所述， a0http:/ 【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22)设矩阵 = ,且 1 01 10 1 3=0(1)求
11、 的值；(2)若矩阵 ,其中 为三阶单位矩阵，求满 足 2+2= 【解析】(1) 由于 ，所以3=0| =| 1 01 10 1 | =3=0于是 =0(2) 由于 2+2=所以 ()(2)=由(1)知= 1 -1 0-1 1 10 -1 1,2= 0 0 10 1 0-1 0 2因为 均可逆，所以,-2=()1(2)1=2 1 11 1 11 1 02 0 10 1 01 0 0=3 1 21 1 12 1 1【考点】线性代数矩阵矩阵方程(23)设矩阵 = 相似与矩阵 =0 2 -3-1 3 31 -2 1 -2 00 b 00 3 1(1)求 的值；a,http:/ (2)求可逆矩阵 ,使
12、 为对角矩阵。 1【解析】(1) 由于矩阵 与矩阵 相似，所以 = ,|=|于是 3+=2+,23=,解得 a=4,=5(2) 由(1)知矩阵 = , =0 2 -3-1 3 31 -2 4 1 -2 00 5 00 3 1由于矩阵 与矩阵 相似,所以 |=|=(1)2(5)故 的特征值为 1=2=1， 3=5.当 ,解方程组 ,得线性无关的特征向量1=2=1 ()=01=210， 2=-301 当 ，解方程组 ,得特征向量3=5 5()=03=-1-11 令 ,则=(1,2,3)=1 0 01 0 10 1 1，1=1 0 00 1 00 0 5故 为所求可逆矩阵。【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的相似对角化
