1、 Born to win1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.把答案填在题中横线上.)(1) 若 在 上连续,则 .2sin10) , axefx()a(2) 设函数 由参数方程 所确定,则 .()y32ln()xtty2dyx(3) . cos30xdft(4) .2xe(5) 微分方程 的通解为.2(4)0ydxdy二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设 ,则 ( )220ln(1)imxaxb(A) (B) 5,
2、0,2ab(C) (D) 2ab1(2) 设 ,则 在点 处的 ( )321() xf()fx(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在(C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在(3) 设 是满足微分方程 的解,且 ,则 在 ( )()yfxsin0xye0()fxfx(A) 的某个领域内单调增加 (B) 的某个领域内单调减少0(C) 处取得极小值 (D) 处取得极大值x 0x(4) 曲线 的渐近线有 ( )2121arctn()xxye(A) 1条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条Born to win(5)设 , ,则43422sinco
3、,(sinco)1xMdNxd234(sinco)Pxxd有 ( )(A) (B) NPMN(C) (D) 三、(本题共 5小题,每小题 5分,满分 25分.)(1) 设 ,其中 具有二阶导数,且其一阶导数不等于 1,求 .()yfxf 2dyx(2) 计算 .31420d(3) 计算 .limtan()(4) 计算 .si2ix(5) 如图,设曲线方程为 ,梯形 的面积为 ,曲边梯形 的面积为21yxOABCDOABC,点 的坐标为 , ,证明： .1DA(0)a132四、(本题满分 9分)设当 时,方程 有且仅有一个解,求 的取值范围.0x21kxk五、(本题满分 9分)设 ,324xy(
4、1) 求函数的增减区间及极值；(2) 求函数图像的凹凸区间及拐点；(3) 求其渐近线；(4) 作出其图形.xOABC21yxBorn to win六、(本题满分 9分)求微分方程 的通解,其中常数 .2sinyax0a七、(本题满分 9分)设 在 上连续且递减,证明：当 时, .fx01 1100()()fxdfxd八、(本题满分 9分)求曲线 与 轴围成的封闭图形绕直线 旋转所得的旋转体体积.23|yx3yBorn to win1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】 2【解析】 在 时是初等函数,因而连续；要
5、使 在 上2sin1axe0()fx,)连续, 在 处也连续,这样必有 .()fx00lim()xf由极限的四则混合运算法则和等价无穷小, 时, ； .sinx:1xe2200sin1silml()ax ax xee,00limlixx从而有 .2a(2)【答案】 (1)65t【解析】 ,dytdyxtx 22351ttt.()65()61xt ty【相关知识点】复合函数求导法则：如果 在点 可导,而 在点()ugx()yfx可导,则复合函数 在点 可导,且其导数为()ugx()yf或 .dxxdyux(3)【答案】 3sin(co)f【解析】原式 .s3(cos)(in3)sin3(co)x
6、f xf 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶可导,则()tFfxd()t.()()Ffttft(4)【答案】 ,其中 为任意常数21()xeCBorn to win【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是 先进入积分号,2xe原式 22211()()xded其中 为任意常数.2C注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定 与 均具有连续的导函数,则()ux()v或者 ,uvdxvd .udvu(5)【答案】 , 为任意常数4()y
7、C【解析】这是可分离变量的方程.分离变量得 ,两项分别对 和对 积分得到 0(4)dxyxy114lnl,C化简有 ,即 , 为任意常数.4xyC4()xyx二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】(A)【解析】方法 1：将极限中的分子用泰勒皮亚诺公式展开得 22 2ln()()xxaboaxb,21(a由假设,应该有 ,故由此 ,故应选(A).10()2ab5,b方法 2：用洛必达法则. 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在220ln(1)imxax0点 处导数都存在,所以,0Born to win012limxabx原 式 左 边(若 ,则原式极限为 ,必有
8、 )20()li(1xx10a10a.12,b5,ab故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法 1：因 左可导, .32(),(1)(fxfx312(1)xf又 不右连续 在 的右导数不存在,211lim()li()xxfff()f故选(B).方法 2： ,而 ,()3f211lim()li()xxff所以, 在 点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义x1进行验证. 211311()()lili,()()limli2.xxxxffff 故 在 点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B).()fx1(3)【答案】(C)【解析】由于 满足微分方程 ,当 时,有()
9、fxsin0xye0x.0si0()fxf又由 ,有 ,因而点 是 的极小值点,应选(C).0()fxsin0()fxe0()fx(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令 ,则当 时, ,且有1txt,220limliarctn,()4txt tye0limxyBorn to win所以 轴和 是曲线的两条渐近线.y4而 和 并非曲线的渐近线,因当 和 时, 分别趋向于 和1x21x2y2e.故应选(B).42e【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有 ,则 为水平渐近线；lim()xfay铅直渐近线：若有 ,则 为铅直渐近线；ax斜渐近线：若有 存在且不为 ,则 为斜渐()li
10、,li()xxfbfayaxb近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故 ,且0M由定积分的性质,如果在区间 上,被积函数 ,则 .ab()0fx()0 ()bafxdab所以 , .420cosNxd420cosPdN因而 ,应选(D).P三、(本题共 5小题,每小题 5分,满分 25分.)(1)【解析】方程两边对 求导,得 ,两边再求导,得x(1)yfy,2f由于一阶导数不等于 1,所以 .10f以 代入并解出 ,得 .1fyy 3()f【相关知识点】复
11、合函数求导法则：如果 在点 可导,而 在点 可导,则复合函数()ugx()fx()ugx在点 可导,且其导数为yf或 .()dyfugxxdyuxBorn to win(2)【解析】用换元积分法.观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令 ,则 .当 时, ；当 时, ,故2sinxtcosxdt0xt1x2t原式 .4201td13()2【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式： 2200()!, sincos1, !nn nIxdxd为 偶 数为 奇 数 ，.注：对于双阶乘 的定义如下:当 为奇数时, ；当 为偶数时,! 3.!24n(3)【解析】方法 1：用三角函数公式将 展开,
12、再化为重要极限2tan()4的形式,利用等价无穷小因子替换,即 时, ,从而求出极限.lim()xxe 0xtanx:221tant2litan()limli14annn.21tan4t124tan21tanlimt4tlin ee方法 2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 .limn()li()xfxef因为 221tatan2limnta()linli14n,tata4lilim221n1nn于是 .2lta()42limtan()i4ne(4)【解析】方法 1：利用三角函数的二倍角公式 ,并利用换元积分,si2icos结合拆项法求积分,得Born to winsin2i2sin(co1
13、)dxdx2 21 cs i()2()xudux( )2sn1o2 2)(1()48(udduu1ln|l1|8()C,2lcoslncos1sxx其中 为任意常数.C方法 2：换元 后,有cosxu原式 .2 2sinin(s1)(co1)2()1dxddu用待定系数法将被积函数分解: 2 21()()ABDuuu,22()()(1)AB.02,4ABDABD于是, 2112()lnl18(8duuCu原 式 .lncoslncossxxC (5)【解析】对梯形 的面积为 ,可用梯形面积公式 ,其中 为梯形的高,OABCD()2habh、 分别为上底和下底长度.对于曲边梯形 的面积则用积分式
14、求解.abOABBorn to win2222310()(1),()() .6aaDaxd由于 ,所以 ,由此,2231a21a.2221()3()136Da四、(本题满分 9分)【解析】方程 的解即为 的零点.21kx32()1xk要证明方程 有且仅有一个解,只需要证明 是单调函数,且它的函数图()x像仅穿过 轴一次就可以了.以下是证明过程.对 求一阶导数,有 .()x2()3(32)xkxk当 时, , 单调减少, 在 有0k()0)1,lim(,x()x0唯一的零点；当 时, 在 单调减少,在 单调增加, ,而()x20)3k2()3k24()137k当且仅当最小值 时, 才在 有唯一零
15、点,(0)1limx0x0这时应该有 .9k总之,当 或 时,原方程有唯一实根.023五、(本题满分 9分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据 在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；y根据 的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要y注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.234482,1,0yxyxBorn to win无定义点： ,驻点： .0x2x(,0)(0,2)(,)y+ 无定义 0 + 无定义
16、+ + +上升 无定义 下降 极小 上升函数在 单调增加,在 单调减少,在 凹,在 取(,0)(2)(02)(,0)()2x极小值 ；3xy由于 所以 为垂直渐近线.0lim,x由于 所以 是斜渐近线.241,li()lim0,xxxyyx粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有 ,则 为水平渐近线；lim()xfay铅直渐近线：若有 ,则 为铅直渐近线；ax斜渐近线：若有 存在且不为 ,则 为斜渐()li,li()xxfbfayaxb近线.六、(本题满分 9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程有两个根为 .20ra12,rai当 时
17、,非齐次方程的特解应设为 .sincosYAxB代入方程可以确定 .22,01AB当 时,应设 ,1asincoYx3 xO 2yxBorn to win代入方程可以确定 .10,cos2xABY由此,所求的通解为 当 时, ；a122sini1xyaa当 时, .coscox【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 是二阶线性非齐次方程*()yx的一个特解. 是与之对应的齐次方程()()yPxQyfx()Y的通解,则 是非齐次方程的通解.0*yx2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即 中的 、 均是常数,方()Yx()
18、()0PQy()PxQ程变为 .其特征方程写为 ,在复数域内解出两个特征根0ypq2rpq；12,r分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 ,则通解为12r12;rxrxyCe(2) 两个相等的实数根 ,则通解为112r(3) 一对共轭复根 ,则通解为 其中1,2ri12cosin.xyeCx为常数.12,C3.对于求解二阶线性非齐次方程 的一个特解 ,可用待定()()yPxQyfx*()yx系数法,有结论如下：如果 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如(),xmfxPe *()()kxmQe的特解,其中 是与 相同次数的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方Q()k程的单根或是特征方程的重
19、根依次取 0、1 或 2.如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()cos()sinxlfexPx的特解可设为ypqyf,*(1)(2)cossinkxmmeRxx Born to win其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征(1)mRx(2) maxlnkii方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .01七、(本题满分 9分)【解析】方法一：用积分比较定理.首先需要统一积分区间：换元,令 ,则 ,xt100()()fxdftd由此 .1100()()fxdf因为 递减而 ,所以 ,上式的右端大于零,问题得证.()fxx方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小,需要分别在
20、 两区间内用积分中值定理：(0,)1,100()fxdfxfdx由此, 1 1000()()()fxdfff 12,2()()ff其中, ；又因 递减, .上式的右端大于零,问题得证.120fx1方法三：作为函数不等式来证明.令, .00()()()fdfx0,1则 .1由积分中值定理,有 ,其中 为常数.()()f(,)由 递减, 为唯一驻点,且 在 由正变负, 是 的极大值()f()点也是最大值点；由此,最小点必为端点 或 .从而有01()(),.命题得证.【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶可导,则()tFfxd()t.()()FfttftBorn to win八、(本题满分 9分)【解析】如右图所示,曲线左右对称,与 轴的交点是 .x(2,0)只计算右半部分即可.作垂直分割,相应于 的小竖条的体积微元：,dx22223()3(1)Vyxd,48,0x于是 .22408()15x xyO 2 xd3231yx
