1、 理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 02MxR， ln0NxR，则 MN（ ）A 1,2) B (1,) C (,) D (,1)2.复数3i在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.对于任意一个定义域是 R的函数 ()fx，设 1()2fxf，2()fxf，则一定有（ ）A 1 ， 2f 都是奇函数 B 1()fx ， 2()f 都是偶函数C ()fx是奇函数， ()fx是偶函数 D 是偶函数， fx是奇函数4.边长为 1 的正三角形 ABC中， ,E分别
2、是 ,CA的中点，则 DBE（ ）A 38 B C 38 D 385.双曲线2:1xyCab(0,)b的两条渐近线之间的夹角为 06，且 C过点 (1,)，则 （ ）A 32 B 62 C 23 D 636.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择 4 名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有 1 人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）A 12 B 3 C 16 D 47.若函数 ()sin)fx（ 0,2）的图象过点 (1,0)，且图象的一条对称轴为2，则 的最小值是（ ）A B C2 D48.某几何体的三视图如图所示，正（主）视
3、图是一个正方形，俯视图是一个正三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A 3 B 23 C 23 D 239.二项式 26()xy的展开式中 72xy的项的系数为（ ）A120 B80 C 60 D5010.祖暅原理也就是“等积原理” ，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为 h） ，其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为 a） ，四棱锥的底面是有一个角为 06的菱形（
4、边长为 b） ，圆锥的体积为 V，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积总相等，那么，下列关系式正确的是（ ）A 43ah， 2b B 42Vah， b C V， 3h D 1， 611.已知椭圆：2143xy，左、右焦点分别为 12,F，过 1的直线 l交椭圆于 ,AB两点，则 2AFB的最大值为（ ）A3 B4 C 25 D512.已知函数 ()1ln()fxx，若函数 ()21)hxf与 3yxm的图象在区间 1,e上有 2 个不同的交点，则 m的取值范围是（ ）A B 2(,e C 1,3)e D (,4e第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
5、分.13.设 ,xy满足约束条件yxa，若 3zxy的最大值为 2，则 a_.14.执行如图所示的程序框图，则输出的 S_.15.已知 ABC的内角 ,所对的边分别为 ,abc，若 sini2sinAbBC，2c，则 ab的最大值是 _.16.若两个矩形 D与 EF所在的平面互相垂直，且它们的顶点都在球 O的表面上，12，则球 O的表面积的最小值为_.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 项和为 nS，且 2na.（1）求 na的通项公式；（2）若 b，求数列 nb的前 项和.18.（本小题
6、满分 12 分）2015 年 12 月第二届世界互联网大会在我国举行，为调查关注此次大会的人是否与性别有关，随机调查了 1000 人，其中女性 600 人，男性 400 人，女性中有 360 人表明关注，而男性中有 260 人表明关注.（1）根据以上数据补全下面的 2列联表：关注 不关注 总计女性男性总计（2）能否有 90%的把握认为是否关注此次大会与性别有关？（3）若要从表明关注的人中间按照性别分层抽取 31 人去大会举办地参观考察，求男女各抽取多少人，若从抽取的人中再随机抽取 3 人，求抽到的男性人数多于女性人数的概率.附：22()(nadbcK20(Pk0.50 0.40 0.25 0.
7、15 0.100.455 0.708 1.323 2.072 2.70619.（本小题满分 12 分）如图，在正三棱柱 1ABC（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，12BC, MN分别是 ， 1B的中点.（1）求证：平面 1平面 ；（2）求二面角 A的余弦值.是 否关 注性别20.（本小题满分 12 分）已知抛物线 C的方程 24xy， (,1)M为抛物线 C上一点， F为抛物线的焦点.（1）求 MF.（2）设直线 1:lykxm与抛物线 有唯一公共点 P，且与直线 2:1ly相交于点 Q，试问：在坐标平面内是否存在点 N，使得以 Q为直径的圆恒过点 N？若存在，求出点N的坐标；若不存在，
8、请说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数 2()xfae（ R， e为自然对数的底数）.（1）若 0对任意 恒成立，求实数 a的取值范围；（2）若方程 xe有两个不同的实数解 12,x，求证： 21x.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示， AB是圆 O的直径， PC是圆 O的一条割线，且交圆 O于 C， D两点，PC， E是圆 的一条切线，切点为 E， AB与 分别交 P于 M, F两点.（1）证明： F为等腰三角形；（2）若 5.3D，求 的长度.23.（
9、本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线 :sin()24l与圆 :4O.（1）分别求出直线 与圆 O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线 l被圆 所截得的弦长.24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 1,0ab.（1）求 4的最小值；（2）若 21xab恒成立，求 x的取值范围 .参考答案：一、选择题：1-5.BDDAD 6-10.CACCC 11-12.CB 二、填空题：13. 2 14. 2500 15. 25 16. 48三、解答题：17.解：（1）当 n时， 11,2Sa，可得 12a.当 2时， ()()nnn，即 1na，
10、故数列 na是以 2 为公比和首项的等比数列，则 的通项公式是 n.（2）由 nb及 n，可得 2nb.令 2311T ，两边都乘以 2 可得 2213nnT ，-可得 21(1)nnn .18.解：关注 不关注 总计女性 360 240 600男性 260 140 400总计 620 380 1000（2）根据列联表中的数据，得到 210(36406).547.0638K因此没有 90%的把握认为是否关注此次大会与性别有关（3）女性抽取 311602人，男性抽取 318人是 否关 注性别从抽取的人中再随机抽取 3 人，抽到的男性人数多于女性人数的概率是32181389C.19.解：（1）过点
11、 A作 KBC，垂足为 ，连接 1BK，则 为 C的中点.因为 1B，底面 是正三角形，所以四边形 是正方形，所以 1A.易证 MC1K,所以 MBCK.所以 1190B,又 1KBA，所以 BM平面 1AK,所以 1BMA,又 ，所以 1平面 ，又 1平面 1C，所以平面 平面 1.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 (3,10)A， (,1)M， (0,2)N， 1(,2)B，则 ， 3A， 3,1)A，设平面 1B的法向量为 (,)nxyz，则由 10nAMB，得 (,)(3,1)02xyz，解得 32xzy，令 1，得 (,12)n为平面 1AMB的一个法向量.设平面 AMN的法向
12、量为 (,)mxyz，则由 0m得,3,0()(1)解得3yzx令 1x，得 ,为平面 AMN的一个法向量.设二面角 BA的大小为 .则 (1,03)(,12)36cos 8mn.即二面角 1BAMN的余弦值为 .20.解：（1）由题可知 24p，即 2，由抛物线的定义可知 1PMF.（2）由 C的图象关于 y轴对称可知，若存在点 N，使得以 PQ为直径的圆恒过点 N，则点 N必在 轴上（直线 1l表示过点 (0,)m的直线系，若点 不在 y轴上，假设 (,)ab（0a） ，则由对称性可知以 PQ为直径的圆恒过点 (,)ab，则可得以 为直径的圆的圆心恒在 y轴上，与已知矛盾） ，设 (0,)
13、Nn，又设点20(,)4xP，由直线 1:lykxm与曲线 C有唯一公共点 P知，直线 1l与 C相切，由 21y得 . 012xky直线 1l的方程为 00()4xx.令 y，得20x. Q点的坐标为 02,1x，20(,)4NPxn， 0(,)NQnx.点 在以 为直径的圆上，222000(1)(1)044xxxPnn（*）要使方程（*）对 0恒成立，必须有 21n，解得 1n，在坐标平面内存在点 N，使得以 PQ为直径的圆恒过点 N，其坐标为 (0,1).21.解：（1） ()0fx，即 20xae，等价于 xae.设 xge，则 1()xg，当 0x时， 210x， ，则函数 ()gx
14、在 ,0)上单调递增；当 时， e， ()gx，则函数 在 上单调递减.所以 max()()g，所以 1a.（2）因为方程 0xe有两个不同的实数解 12,x，所以 1x， 2a，因此 1212()xe，即 12xe.先证明 x，要证明 12，只要证明 12()xa，即证1212()xe，即证121()xe不妨设 12，记 12t，则 0,1xte.因此只要证明te，即证 (2)0t，记 2()thtet，则 ()1thte，记 ()1tm，则 te，当 0t时， ()0t，所以 ()0mt，即 时， te，则 h，所以 ()0ht即 (2)t成立，所以 1x得证.所以2211()x，即 21
15、x成立.22.解：（1）连接 OE， P切圆 于点 E， , 09F,又 ABCD, 09BFM,又 EO, PE,又 FP, ，即 为等腰三角形.（2）由切割线定理知 2PEDC,，即 2PFDC,解得 53PC, 163D.23.解：（1）因为 cos,inxy，所以直线 i()24的直角坐标方程为 20xy，即 20xy，圆 的直角坐标方程为 216xy.（2）由（1）知圆心的坐标是 (0,)，半径是 4，圆心到直线的距离是20d.所以直线 sin()24被圆 4截得的弦长是 243.24.解：（1） 0,ab且 1a， 44()59ba，当且仅当 ab，即 2,3时， 取最小值 9.（2）对 ,(0)，使 11xab恒成立. 219x，当 时，不等式化为 2x，解得 71x；当 2时，不等式化为 39，解得 2；当 1x时，不等式化为 x，解得 x， 的取值范围是 71.
