1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。3答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。第卷一、 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.已知集合 21|xA， 30|xB，则 AB=A. )3,( B. ),( C.
2、)2,( D. )3,2( 2.若 a为实数，且 iia，则 aA. 4 B. 3 C. 3 D. 4 3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4.向量 a=(1，-1) b=(-1，2)，则（2a +b）.a= 2A. 1 B. 0 C. 1 D.2 5. 设 nS是数列 na的前 项和，若 353a，则 5SA. 5
3、B. 7 C. 9 D. 11 6. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 7.已知三点 )0,1(A， )3,(B， ),2(C，则 ABC外接圆的圆心到原点的距离为A. 35 B. 1 C. 35 D. 34 8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的 a、 b分别为 14、18，则输出的 aA. 0 B. 2 C. 4 D. 14 9.已知等比数列 na满足 41， )1(453a，则 2A. 2 B. 1 C. 2 D. 8 10.
4、已知 A、 B是球 O的球面上两点， 90AOB， C为该球面上的动点.若三棱锥 ABCO体积的最大值为 36，则球 的表面积为A. 36 B. 64 C. 14 D. 256 11.如图，长方形 CD的边 2， ， 是 的中点，点 P沿着 、 D与 运3动，记 xBOP.将动点 到 A、 B两点距离之和表示为 x的函数 )(f，则 )(xfy的图象大致为12. 设函数 21|)ln()xxf，则使得 )12()xf成立的 x的取值范围是A. 1,3( B. ,3,U C. ), D. ),1(),( 二填空题：共 4 小题，每小题 5 分.13. 已知函数 xaf2)(3的图象过点 )4,1
5、(，则 a .14.若 x、 y满足约束条件 0yx，则 yxz2的最大值为 .15.已知双曲线过点 )3,4(，且渐近线方程为 1，则该双曲线的标准方程为 .16.已知曲线 xyln在点 1,(处的切线与曲线 1)2(xay相切，则 a .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17、 （本小题满分 12 分）4ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD=2DC.（I） 求 sinBC；（II） 若BAC=60,求B.18、 （本小题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分 A
6、地区用户满意评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 50,60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100)频数 2 8 14 10 6(I) 在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）(II) 根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；满意度评分 低于 70 分 70 分到 80 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.19、 （本小题
7、满分 12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8,点 E，分别在 A1B1, D1C1 上，A1E= D1F=4.过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.5（I） 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）（II） 求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.20、 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C：21xyab（ a 0）的离心率为 2，点（2， ）在 C 上.（I） 求 C 的方程.（II） 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.直线 OM 的斜率与直线 l
8、的斜率的乘积为定值.21、 （本小题满分 12 分）已知函数 f（x）=ln x +a（1- x）（I） 讨论 f（x）的单调性；（II） 当 f（x）有最大值，且最大值大于 2a-2 时，求 a 的取值范围.请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。22、 （本小题满分 10 分）选修 4-1，几何证明选择如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点，与底边上的高 AD 交于 G,且与 AB，AC 分别相切于 E,F 两点.（I） 证明：EF/BC;（II） 若 AG 等于圆 O 的半径，
9、且 AE=MN=2 3，求四边形 EBCF 的面积 23、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直线坐标系 xOy 中，曲线 C1：cosinxty（t 为参数，t 0）其中 0 .在以 O 为极点，6x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：p=2 sin，C 3：p=2 cos。（I） 求 C1 与 C3 交点的直角坐标；（II） 若 C1 与 C2 相交于点 A，C 1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值.24、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d.证明：（I） 若 abcd，则 ab cd;（I
10、I） c是|a-b|c-d|的充要条件.72015 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题答案一.选择题（1 ）A （2 ）D （3 ）D （4 ）C （5 ） A （6 ）D（7 ）B （8 ）B （9 ）C （10 ）C （11 ）B （12 ）A二.选择题（13 ）-2 （14 ）8 （15 ）214xy（16 ）8三.解答题（17）解：（）由正弦定理得 , .sinisiniADBADC因为 AD 平分 ,2,C所以 sn1.i2BD（）因为 所以0 018,6,A31sini cosin.2BA由（）知 所以 即 。2siin,C3ta,B0（18）解：（）通过两地区用户满意度评
11、分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于 A地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散。8（）A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。记 CA表示事件：“A 地区用户满意度等级为不满意” ；C B表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意” 。由直方图得 P(CA)的估计值为（0.01+0.02+0.03）10=0.6，P(CB) 的估计值为（0.005+0.02）10=0.25.所以 A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。（19）解：（）交线围成的正方形 EHGF 如图：（）作 EMAB,垂足为 M，则 AM=A1E
12、=4，EB 1=12，EM=AA 1=8.因为 EHGF 为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是 MH= .因为长方体被平面 分为两个高为 1026,0,6EHAHB的直棱柱，所以其体积的比值为 （ 也正确）97（20）解：（）由题意有 ，224,1abab解得 。所以 C 的方程为28,4ab.8xy（）设直线 将 代入12:(0,),(),(),(,).MlykABxy ykxb得2184xy22()4xb故 12 2,11mmkbyxkA于是直线 OM 的斜率 ,.oom中所以直线 OM 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值。l（21）解：9（）f（x）的定义域为 1(0,)(fxa若
13、则 所以 单调递增。0,a(),fx,f中若 ，则当 时， 当 时， 所以 在 单调1a()x(,)a()0,fx()fx10,a递增，在 单调递减。1(,)a（）由（）知，当 时， 无最大值；当 时， 在 取得0a()0,)fx中 0a()fx1a最大值，最大值为 。11() 1fnna因此 等价于2fa0令 ，则 在 单调递增，()1gn()ga,)(1)0g于是，当 时 ；当 时，01a因此， 的取值范围是a(0,)（22）解：（）由于 是等腰三角形， ,所以 是 的平行线。又因为 分别ABCADBCABOA于 ， 相切于点 ， ，所以 ，故 从而 。EFFEFC（）由（）知 ， ，故
14、是 的垂直平分线，又 为 的弦，E所以 在 上。OD连接 , ,则MOA由 等于 的半径得 ,所以 . 因AG2E03OA此 和 都是等边三角形。BCEF因为 ，所以 ， 。234因为 ， ，所以 于O132DN1D是 105,3ADB所以四边形 的面积为ECF221031316()()10（23）解：（）曲线 C2的直角坐标方程为 曲线 C3的直角坐标方程为20,xy230.xyx联立 解得 或2,.yxx0,xy,23,xy所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和 ,.2（）曲线 C1的极坐标方程为 ,0,.aRa中因此 A 的极坐标为 B 的极坐标为 所以2sin, 3cos.当 时， 取得最大值，最大值为 4.2sin3co4i.3Baa56AB（24）解：（）因为 2 2, ,ababcdcd由题设 ， 得 。cdc2因此 。（） （i）若 则 ，即,ab22abcd224()4.abcd因为 ，所以cdcd由（）得 （ii）若 ，则 ，即ab22abcd22abcd因为 ，所以 .于是cd2 222()44ab因此 .cd综上， 是 的充要条件abcd
