1、22.与圆有关的角知识考点：1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；3、掌握圆周角定理及其推论；4、掌握弦切角定理及其推论；5、掌握各角之间的转化及其综合运用。精典例题：【例 1】如图，在等腰ABC 中，ACBC，C100 0，点 P 在ABC 的外部，并且 PC BC，求APB 的度数。分析：注意条件 ACBCPC，联想到圆的定义，画出以点 C 为圆心，AC 为半径的圆，问题则得以解决。解：ACBC，PC BCA、B、P 三点在以 C 为圆心，AC 为半径的圆上若 P、C 在 AB 的同侧，则APB ACB21ACB100 0，APB 5
2、00若 P、C 在 AB 的异侧，则APB180 050130 0【例 2】如图，在ABC 中，B90 0，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 切于点 D，直线 ED 交 BC 的延长线于 F，若 ADAE21，求 cotF 的值。分析：由 ADAE21 和ADE ABD 有 DEDB 12，而F EBD，则cot FcotEBD ，故结论得证。解：连结 BDAC 为O 的切线，12AA，ADEABD ，即DEBA 21BE 为O 的直径，BDE90 02BEF90 0，FBEF90 0，2FcotFcot2 2DEB【例 3】如图，由矩形 AB
3、CD 的顶点 D 引一条直线分别交 BC 及 AB 的延长线于F、G，连结 AF 并延长交BGF 的外接圆于 H，连结 GH、BH。（1）求证：DFAHBG；（2）过 A 点引圆的切线 AE，E 为切点，AE ，CF FB12，求 AB 的长；3（3）在（2）的条件下，又知 AD6，求 tanHBG 的值。分析：（1）证DAFAFBBGH，DFA HFGHBG 即可；P例 1图 PC BA 例 2图 21OEFDCBA（2）由 DCAG，得 CFFBCDBG12，则 ABAG13，由切割线定理得 AB3；（3）由（2）知 AB3，AG9，过 A 作 AQDG 于 Q。由得 。所以 DF DG
4、。由ABDQG1183得 ，所以 。故A2 321QFtan HBGtan HFG tan QFA 18。A例 3图 HGQEFD CBA问 题 一 图 O P DC BA探索与创新：【问题一】如图，已知，半圆的直径 AB6cm，CD 是半圆上长为 2cm 的弦，问：当弦 CD 在半圆上滑动时，AC 和 BD 延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由。分析：本题有一定难度，连结 BC（或 AD）可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。解；连结 BCCD 为定长，虽 CD 滑动，但 的度数不变，PBC 为定值CDPACPPBC90 0PBC 为定值PCD PBA，
5、PCDPBA 3162BACD在 Rt PBC 中，cosP ，sin P B32)1(评注：本题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线直径，问题便迎刃而解了。变式：如图，BC 与 AD 交于 E，其它条件与上题一致，问P 与DEB 的大小关系？分析：AB 为直径，则PCBADB 90 0，而 cos P ，又ABCDCEDAEB， cosDEB。cos PcosDEB，故P 与DEB 的大EBDAC小相等。 问 题 一 变 式 图 EOPDCBA问 题 二 图 OPDCBA【问题二】如图，AB 是O 的直径，弦（非直径）CDAB，P 是O 上不同于C、D 的任一点。（1）当点 P
6、 在劣弧 CD 上运动时，APC 与APD 的关系如何？请证明你的结论；（2）当点 P 在优弧 CD 上运动时，APC 与APD 的关系如何？并证明你的结论（不讨论 P 与 A 重合的情形）。分析：（1）P 在劣弧 CD 上运动时，APC APD ，利用垂径定理及圆周角定理易证；（2）P 在优弧 CD 上运动时，APC APD 180 0，APC 所对的弧是 ，ADCAPD 所对的弧是 ，而 ， 的度数和等于 的度数和，DACD等于 3600，由圆周角定理易证明得到结论。跟踪训练：一、选择题：1、下列命题中，正确的命题个数是（ ）顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角度数等于圆心角度数的一半；90
7、0 的圆周角所对的弦是直径；圆周角相等，则它们所对的弧也相等。A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2、已知 AB、AC 与O 相切于 B、C，A50 0，点 P 是O 上异于 B、C 的一动点，则BPC 的度数是（ ）A、65 0 B、115 0 C、65 0 或 1150 D、130 0 或 5003、O 为锐角ABC 的外心，ODBC ，OE AC，OFAB，垂足分别为 D、E、F，则ODOE OF 为（ ）A、 B、 abc a1bcC、cosAcosBcosC D、sinAsinBsinC4、如图，AB 是O 的直径，DB、DC 分别切O 于 B、C，若ACE25 0，则D
8、为（ ）A、50 0 B、55 0 C、60 0 D、65 0第 4题 图 EODCBA1O第 5题 图 O DCBA07x第 6题 图 O DCBA5、如图，O 经过O 1 的圆心 O1，ADB ，ACD ，则 与 之间的关系是（ ）A、 B、2180C、 D、)90(21 )(二、填空题：6、如图，四边形 ABCD 内接于O，则 。x7、如图，A、B、C 是O 上的三个点，当 BC 平分ABO 时，能得出结论 （任写一个）。8、如图，AB 是O 的直径，C 、D、E 都是O 上的点，则12 。第 7题 图 OCBA第 8题 图 21 DEOCBA第 9题 图 PDO CBA9、如图，PA
9、切O 于点 A，PO 交O 于 C，延长 PO 交O 于点 B，PAAB，PD 平分APB 交 AB 于点 D，则ADP 。10、如图，已知直径 ABCD 于 E，COB ，则 。2sinEA11、如图，O 1 与O 2 为两个等圆，O 1 在O 2 上，O 2 在 O 1 上，O 1 与O 2 交于A、B 两点，过 B 的直线交 O1 于 C，交O 2 于 D，过 C 作O 1 的切线 CE 与过 D 作O 2 的切线 DE 交于 E，则E 。三、计算题或证明题：12、如图，已知 P 为O 外一点，PA、PB 分别切O 于 A、B，OP 与 AB 相交于点M，C 为 上一点。求证：OPCOC
10、M。第 10题 图 EDOCBA2O1第 1题 图 E DC BA第 12题 图 OMPCBA13、如图，O 1 与O 2 交于 A、B 两点，点 O1 在O 2 上，O 2 的弦 O1C 交AB、 O1 于 D、E。求证：（1） ；CA12（2）E 为ABC 的内心。2O1第 13题 图 D ECBA第 14题 图 OFGDECBA 第 15题 图 P ODCBA14、如图，已知 AD 是ABC 外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长DA 交ABC 的外接圆于点 F，连结 FB、FC。（1）求证：FBFC ；（2） ；DAFB2（3）若 AB 是ABC 的外接圆的直径，EAC
11、120 0，BC 6cm ，求 AD 的长。15、如图，O 的直径 AB6，P 为 AB 上一点，过 P 作O 的弦 CD，连结AC、BC ，设 BCD ACD ，当 时，是否存在正实数 ，使弦 CD 最m347ABm短？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由。16、如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，以 C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点 E，交 AD 于 F，交 AE 于点 M，且BCAE，EFFD43。（1）求证：AFDF ；（2）求AED 的余弦值；（3）如果 BD10，求ABC 的面积。第 16题 图 FMED CBA跟踪训练参考答案一、选择题：ACCA
12、D二、填空题：6、140 0；7、OCAB 等；8、90 0；9、45 0；10、1；11、120 0三、计算题或证明题：12、提示：连结 OA， ， ，又O 是公共角，22OCPMA POCMOPC。13、略证：（1）连结，O 1B，由 O1AO 1B 可得O 1ADO 1CA，AO 1D 是公共角，O 1ADO 1CA；（2）连结 AE、BE，由ABE AO 1C ABC，BAE BO 1E BAC。2214、（1）（2）略；（3） cm。3415、解：连结 OD，设存在正实数 ，则在O 中过 P 点的所有弦中，只有垂直于直m径的弦最短。CPAB 于 P。 ，设 AP ，则 BP ，又 AB67APBkk)347( ，解得6)134(k2OPOAAP 3在 Rt POD 中， cosPOD ，POD30 0，ACD 15 02ODPAB 为O 的直径，ACB90 0BCD90 015 075 0BCD ACDm 5，即存在正实数 ，使 CD 弦最短。16、（1）先证ADEDAE；（2）作 ANBE 于 N，设 FE ，FD ，可x43求 DE ，由 得：AN ，可得xANDEF x8.4EN ，cosAED ；（3）CAEABE， 。4.5772ABCS
