1、专题四 解决利用导数研究函数问题（1）【典题导引】例 1已知函数 2()lnfxax（1）当 a时，求函数 ()f的单调递减区间；（2）若函数 ()gf在 1,上单调，求实数 a的取值范围 解:(1)由题意知，函数的定义域为 (0)，当 a时， 2()xfx，当 ()0fx时， ,1，故 的单调递减区间是 (0,)；(2)由题意得 2()agx，函数 ()gx在 1,)上是单调函数若 ()x为 1,上的单调增函数，则 0在 上恒成立，即 2a在 )上恒成立，设 ()x， (x在 1,)上单调递减， max()(1)0， a；若 g为 1,)上的单调减函数，则 ()0gx在 ,上恒成立，不可能实
2、数 a的取值范围为 0,)反思归纳 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 ()fx；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 ()fx的定义域内解(或证明)不等式0f或 f.若已知 ()x的单调性，则转化为不等式 0f或 f在单调区间上恒成立问题求解例 2(2013 福建)已知函数 ()ln()fxaxR（1）当 2a时，求曲线 )yf在点 1,(Af处的切线方程；（2）求函数 f的极值解:函数 ()fx的定义域为 (0,), (fx. (1)当 a时, 2lnfx, 2)1(0)x, (1)()1f, y在点 ()Af处的切线方程为 (1)y, 即 2
3、0xy；(2)由 (),0axfx可知: 当 0时, ()f,函数 ()fx为 ,)上的增函数,函数 ()f无极值； 当 时,由 ,解得 a； ()xa时, 0fx, 时, (0f，f在 处取得极小值,且极小值为 )lna,无极大值. 综上:当 0a时,函数 ()fx无极值；当 时,函数 在 a处取得极小值 lna,无极大值. 例 3(2013 山东)已知函数 2l(,)fbxR（1）设 ，求 ()x的单调区间；（2）设 0a，且对任意 0， )1f试比较 la与 2b的大小解:（1） ()fx的定义域为 (,)，2(axb.当 时， 1()bxf.若 0b，当 时， ()0f恒成立，所以函数
4、 ()fx的单调递减区间是 (,)若 ，当 1xb时， ()fx，当 1b时， ()0f.所以函数 ()f的单调递减区间是 0,，单调递增区间是 ,.当 0a时，由 x得 2lax.解得218,4bxa284b，此时 10x， 2.当 2时， ()0f，当 2时， ()f.所以函数 f的单调递减区间是2(,ba，单调递增区间是28(,)4ba.综上所述：当 0a， 时，函数 (fx的单调递减区间是 (0,)当 ， 时，函数 ()fx的单调递减区间是 1(,)b，单调递增区间是 1(,)b.当 时，函数 f的单调递减区间是280,4a，单调递增区间是28(.)4ba.（2）由题意知：函数 )fx
5、在 1处取得最小值，由（1）知，2a是 (f的惟一极小值点，故2814b，整理得 12ba.令 ()lngxx，则 4()xg，令 ()0g得 14x.当 0时， ()0， 单调递增；当 时， ()0g， ()x单调递减；所以 1()l1ln44x.故 ()a，即 2ln2l0aba，即 ln2ab.例 4. 已知函数 2(3)exfxa.（1）若 x是函数 的一个极值点，求实数 的值；（2）设 0a，当 1,2x时，函数 fx的图象恒不在直线 2ey的上方，求实数 a的取值范围.解：（1）由 (3)efa，得 (2)(3)ex xfa2()3exx(1x.是函数 f的一个极值点， )0f，
6、25e0,解得 5a.经检验，此时 2是函数 f的极小值点，符合题意,故 ；（2）当 1,x时, 函数 x的图象不在直线 2y的上方，即当 时， 2()ef恒成立，即 max()ef.由(1)知 f31)xa，令 0，解得 13,a21x.当 5a时， ， f在 ,2上单调递增，2mx()(1)eff，解得 e，这与 5矛盾，舍去；当 4时， ， fx在 (,)上单调递减，在 (3,2)a上单调递增， ax()f在 ()f或 f取到，而 21e,()faf，故只需2(1)ef，解得 e24a；当 40时， 31， fx在 ,上单调递增， 2maxeff，符合题意.综上所述，实数 a的取值范围
7、e2,0).说明：求 fx在闭区间 1,2上的最大值,只需要比较 fx在 1,2上的极大值(如果有的话)和端点函数值的大小,从而需要研究 fx在 ,上的单调性,从而需要知道(0f的解相对于区间 1,2的分布情况,因为 ()0f的一个解 21x是定值,故只需讨论另一解 13xa相对于区间 ,的分布情况.【归类总结】1. 在求曲线的切线方程时，注意两点：（1）求曲线在点 P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点 P处的切线，一定是以点 P为切点；过点 的切线不管点 P在不在曲线上，点 不一定是切点；（2）当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解2. 利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数 ()fx；（3）若求单调区间(或证明单调性 )，只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明) 不等式0或 f.若已知 f(x)的单调性，则转化为不等式 0或 f在单调区间上恒成立问题求解3. 利用导数研究函数的极值(最值)（1）求函数的最值可结合函数的单调性、极值，有时也可以和图象联系；（2）利用导数方法证明不等式 ()fxg在区间 D上恒成立的基本方法是：构造函数()()hxfgx，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 ()0hx，其中一个重要技巧就是找到函数 ()hx在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口
